2022-2023学年江苏省淮安市淮阴区高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省淮安市淮阴区高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】根据向量平行的坐标运算公式直接求解即可.【详解】因为向量，，所以，得.故选：C2．一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（

）A． B．23 C． D．19【答案】D【分析】根据力对物体所做的功是平面向量的数量积，计算即可.【详解】由题意知，，，所以对物体所做的功为，故选：D.3．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意得，.故选：B4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式以及三角函数在各个象限的符号即可求解.【详解】由于,所以，进而可知，故选：B5．在中，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理求出，再运用定义法求数量积.【详解】在中，根据余弦定理得，，所以.故选：C6．在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正弦和角公式求出，再用正弦定理得到，进而运用三角形面积公式计算面积.【详解】由题意得，，在中，由正弦定理得，，所以，又因为所以的面积为.故选：B7．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正切二倍角公式展开，再切化弦，化简得到，进而求解.【详解】显然，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即，化简得，，因为，所以，所以.故选：A8．如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】连接,则,用余弦定理求出，再利用数量积的公式计算即得解.【详解】连接,则,在中，由余弦定理得：.所以.故选：C二、多选题9．关于函数，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．是的一个的零点 D．是的一条对称轴【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意，函数，因此函数的最大值为，最小正周期为，A错误，B正确；由于，则是的一个的零点，C正确；由于，则是图象的一条对称轴，D正确.故选：BCD10．已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则【答案】BC【分析】根据平面向量定义、数量积的计算公式、向量平行的定义等知识直接求解.【详解】对于A，若，则，则，但与不一定相同，所以得不到，无法得到，故A错误；对于B，若，平方得，即，所以，故B正确；对于C，若，，则显然成立，故C正确；对于D，，，若，则，若，原式不成立，故D错误.故选：BC11．已知，，分别是两边上的动点，若，则面积的可能取值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根据余弦定理找出三个边长的关系，运用基本不等式得范围，进而用三角形面积公式求解答案.【详解】设，，在中，由余弦定理得，，即，即，当且仅当时等号成立，所以，显然，A和B符合，C和D不符合.故选：AB12．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.【详解】，故，根据正弦定理：，即，，故，，.，化简得到，解得或，若，故，故，不满足，故..故选：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、填空题13．与向量方向相反的单位向量的坐标为．【答案】【分析】根据单位向量求解得坐标公式直接计算.【详解】因为，所以与向量方向相反的单位向量的坐标为.故答案为：14．如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数．

【答案】【分析】根据给定条件，求出，再借助数量积的定义列式计算作答.【详解】在四边形中，由，得，而，则，因此，解得，所以实数.故答案为：15．已知，是方程的两根，则．【答案】【分析】由一元二次方程韦达定理找出和的关系，再利用正切的和角公式求出，再利用余弦二倍角公式和齐次式的弦化切求值即可.【详解】因为，是方程的两根，所以，，所以，所以.故答案为：16．在中，点是边BC的中点，，，则的最大值为．【答案】【分析】根据余弦定理算出，再运用基本不等式求最值即可.【详解】因为，所以，设，

在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：四、解答题17．已知.求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用两角和差公式展开整理，根据同角三角函数的基本关系可求的值；（2）根据二倍角公式求出，再利用两角和差公式展开，代入即可得出结论.【详解】（1），即，化简得，①又sin2α+cos2α=1，②由①②解得cosα=或cosα=，因为，所以.（2）因为，cosα=，所以sinα=，则cos2α=1-2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=，所以.【点睛】本题主要考查了两角和差公式以及二倍角公式.属于较易题.18．任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”，即：在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，则，，．(1)用余弦定理证明：；(2)用正弦定理证明：；(3)用向量的方法证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由余弦定理边角互化即可化简求证，（2）由和差角公式结合正弦定理边角化即可求证，（3）由向量的线性表示，结合数量积的运算即可求证.【详解】（1）证明：根据余弦定理，右边左边,所以．（2）证明：△中有，则所以由正弦定理,得．（3）证明：中有,所以所以,即19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）；（II）【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.结合余弦定，∴，即，即，即，即，∵为锐角三角形，∴，∴，所以，又B为的一个内角，故.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由，结合正弦定理可得：为锐角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因为，并利用余弦定理整理得，即.结合，得.由临界状态（不妨取）可知.而为锐角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化简得故的取值范围是.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：.由可得：，，则，.即的取值范围是.【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.20．已知在直角梯形ABCD中，，，若点在线段AC上．(1)若，求；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意建系，得到，进而得到向量坐标，根据数量积的坐标公式计算即可；（2）根据坐标计算向量的模，结合二次函数图像求解最值即可得到取值范围.【详解】（1）以为坐标原点，AB，AD所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，设，则．

若，则，所以，所以（2）由（1）知：，．则，所以，．当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，所以的取值范围为21．已知，，，直线经过A，B两点，我们把向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，则向量在直线的法向量上的投影向量的模就是点到直线的距离．(1)求直线的一个法向量；(2)运用上述方法，求点到直线的距离．【答案】(1)（答案不唯一，满足向量坐标满足即可）(2)【分析】（1）根据题意设出向量，利用向量垂直的坐标计算公式计算即可；（2）根据题目中所给信息，结合向量坐标计算公式，求出投影向量的模即可.【详解】（1）设直线的法向量．由题知直线的一个方向向量为．由直线的法向量与直线垂直，则．所以，取，则直线的一个法向量．（满足即可）（2）向量在法向量上的投影向量．所以．又因为，．所以．则点到直线的距离为.22．如图，中，，的平分线AD交BC于．

(1)若，求的余弦值；(2)