走马灯的性质-合肥亳州路小学课件

神奇的“缺8数”合肥市亳州路小学郑美琴神奇的“缺8数”合肥市亳州路小学缺8数定义：

顾名思义，缺8数就是12345679，在自然数12345679中没有8，所以被称为“缺8数”，它有非常多奇妙的性质。你可别小看这8个数字的组合，它的变化可神奇了！缺8数定义：首先，清一色性质：菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是8，却是7。于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢数字7吗？请拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”接着，这人就用“缺8数”12345679乘以63，顿时，清一色的777777777映入了马科斯先生的眼帘。实际上“缺8数”并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9，18……直到81）去乘它，则111111111，222222222……直到999999999都会相继出现。首先，清一色性质：菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是8，却是7第二、三位一体的性质：“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×57=703703703第二、三位一体的性质：“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人第三、回文的性质：“回文结对携手同行”，这一“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：

12345679×4=49382716

12345679×5=61728395前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。）这样的“回文结对，携手并进”现象，对13、14；22、23；31、32；40、41；49、50；58、59；67、68；76、77等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：12345679×13=16049382712345679×14=17283950612345679×67=82716049312345679×68=839506172第三、回文的性质：“回文结对携手同行”，这一“缺8数”的“精第四、走马灯的性质：冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其顺序完全不变，表现为周期性的重复。而“缺8数”也有此种性质，但其乘积是相当奇异的。当乘数为10时，其乘积是123456790,当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。深入的研究发现，当乘数成一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123第四、走马灯的性质：冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊第五、轮流休憩的性质：所谓轮流“休息”就是当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质，乘积的各位数字均无雷同，缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况是不存在。

先看一位数的情形：

12345679×1=12345679（缺0和8）

12345679×2=24691358（缺0和7）

12345679×4=49382716（缺0和5）

12345679×5=61728395（缺0和4）

12345679×7=86419753（缺0和2）

12345679×8=98765432（缺0和1）上面的乘积中，都不缺数字3，6，9，而都缺0。缺的另一个数字是8,7,5,4,2,1，且从大到小依次出现。

第五、轮流休憩的性质：所谓轮流“休息”就是当乘数不是3的倍数

再让我们看一下乘数在区间[10～17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。

12345679×10=123456790（缺8）

12345679×11=135802469（缺7）

12345679×13=160493827（缺5）

12345679×14=172869506（缺4）

12345679×16=197530864（缺2）

12345679×17=209876543（缺1）

再让我们看一下乘数在区间[10～17]的情况，其中1

当乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。

12345679×19=234567901（缺8）

12345679×20=246913580（缺7）

12345679×22=271604938（缺5）

12345679×23=283950617（缺4）

12345679×25=308641975（缺2）

12345679×26=320987654（缺1）乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！当乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的第六、一以贯之的性质：当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子：（1）乘数为9的倍数时例如：12345679×243=2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”的性质。（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数时例如：12345679×84=1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”性质。（3）乘数为3k+1或3k+2时

12345679×98=1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但根据上面所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，正好是“缺1”数，此时正好轮到1休息，结果与理论又完全吻合。第六、一以贯之的性质：当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，缺8数其特性的原因：缺8数其特性的原因：

为什么会有这些性质呢？其实也并没什么特别。只要把12345679分解质因数就看出来了。

因为12345679=37×333667而37×3=111，333667×3=1001001。因此12345679×9=111×1001001=111111111。

也就是说，这些看似神奇的东西，经过我们的分析其实是很平凡的结果。至于后面乘以其它数的结果就更是平凡了。为什么会有这些性质呢？其实也并没什么特别。只要缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为：1/81=0.012345679012345679012345679……，缺8数和1/81的循环节有关。在以上小数中，为什么别的数码都不缺，而唯独缺少8呢？我们看到，1/81=1/9×1/9，把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9=0.111111111……1/9×1/9，即无穷个1的自乘。不妨先从有限个1的平方来看：很明显，11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。缺8数12345679实际上与循环小数是一根藤上的瓜但无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。那么，缺8数乘以9的倍数得到“清一色”就很好理解了，因为：1/81×9=1/9=0.111111111……缺8数乘以3的倍数得到“三位一体”也不难理解，因为：1/81×3=1/27=0.037037037……，一开始就出现了三位的循环节。但无穷个1的平方，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？利