东南大学概率论与数理统计整套复习课件

概率论1概率论的简史概率论是一门研究随机现象规律的数学分支,起源于17世纪中叶；刺激数学家思考概率论问题确是来自赌博问题。

布莱士·帕斯卡（BlaisePascal1623—1662）法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。主要贡献是在物理学上，发现了帕斯卡定律，并以其名字命名压强单位。费马(PierredeFermat，1601～1665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。2赌徒分赌金问题两赌徒A、B下赌金后约定谁先赢满6局，谁就获得全部赌金，赌了半天，A赢了5局，B赢了2局，时间很晚了，他们都不想赌了。假设每一盘甲获胜的概率为p，乙为1-p。

问：赌金应该怎么分？3Pascal和Fermat从不同理由出发，在1654年给出正确的解法。1657年，荷兰数学家惠更斯亦用自己的方法解决这一问题，更写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论中最早的论著。三人提出的解法中都首先涉及到数学期望这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。4江山代有人才出，各领风骚数百年使概率论成为数学分支的另一奠基人是瑞士的数学家雅各布-伯努利（1654-1705）他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理。我们称之为“伯努利大数定理”。这一定理在他死后1713年发表在他的遗著《猜度论》中。51750年，法国数学家棣莫弗（1667-1754）出版其著作《分析杂论》，当中包含著名的“棣莫弗-拉普拉斯定理”，这就是概率论中第二个极限定理的原始初形。1812年法国数学家拉普拉斯（1749-1827）出版的《概率分析理论》中，首先明确地对概率做了古典的定义。6另一个在概率论史上的代表人物是法国数学家泊松（1781—1840），他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出一种新的分布，即泊松分布。概率论即他们之后其中心课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。7忽如一夜春风来千树万树梨花开最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦（1880—1968）和奥地利数学家冯·米西斯（1883—1953）。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。作为测度论的奠基人，博雷尔（Borel）在1905年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列，服从强大数定律的条件问题。8博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科尔莫戈罗夫（1903—1987）的研究最为卓著．他给出了概率的公理化定义。概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根，直接扎在实际应用环境的大地上．“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”。正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯（1835—1882）所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为。”9现实中有趣的概率的例子以1年365天计（不考虑闰年因素），你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同，那么需要多少人？大家不难得到结果，366人，人数只要超过365人，必然会有人生日相同。但如果一个班有50人，他们中间有人生日相同的概率是多少？10据统计，飞机旅行是目前世界上最安全的交通工具，它绝少发生重大事故，造成多人伤亡的事故率约为三百万分之一，假如你每一天坐一次飞机，这样飞上8200年，你才有可能会不幸遇到一次飞行事故，三百万分之一的事故概率，说明飞机这种交通工具是最安全的，它甚至比走路和骑自行车都要安全。走路时被汽车撞死：危险概率是1／40000；骑自行车时死于车祸：危险概率是1／130000；死于车祸：危险概率是1／5000。11“36选7”玩法的头奖命中概率为1/8347680，七乐彩中一等奖的概率为203万分之一，双色球全中红球的中奖概率为110万分之一，而双色球中一等奖的概率大概是1800万分之一。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。科学日益发展，数学于生活中之应用愈来愈广，概率统计在我们的生活中几乎无处不在，学好概率确是较难，可探究过程于我们却是受益匪浅。12第一章随机事件及概率

随机事件随机事件的概率古典概率模型（等可能概率模型）条件概率随机事件的独立性13§1.1随机事件一、随机试验随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象，称为随机现象。例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情况。思考：随机现象是否有规律？14（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知道。－－必然性（统计规律性）随机试验必需满足：（1）在相同条件下，可以进行大量次重复试验。――可重复性（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不能预先知道发生哪种结果。――偶然性随机试验一般用字母E表示。15例1E1：掷一枚硬币，观察其正面（H）和反面（T）出现的情况。试验的条件是掷一枚硬币，条件实现（一枚硬币掷出）就完成一次试验。例2E2：将一枚硬币掷2次，观察正、反面出现的情况。试验的条件就是把硬币掷2次，条件实现（硬币掷了2次）就完成一次试验。16随机事件：一个随机试验E中可能发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件（简称事件）通常用字母A、B、C等表示。

基本事件：试验E的每一可能的结果叫做基本事件，一般用ω表示。样本空间：基本事件的全体组成的集合称为该试验的样本空间。

二、随机事件17必然事件：每次试验中必然发生的事件称为必然事件，记为Ω。不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为Φ。（1）样本空间的构成是由试验的条件和观察的目的所决定。注意18（2）基本事件是事件的一种，一般的事件是由若干个基本事件共同组成的，因而是样本空间的子集，通常又称其为复合事件。（3）随机事件的另一个定义：样本空间Ω的某个子集。事件A发生当且仅当试验中出现A的某个基本事件。19三、事件之间的关系和运算

定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为:B

A或A

B。

（1）事件的包含关系结论：若事件A

B且A

B，则称事件A和事件B相等，记为A＝B。即：事件A、B所包含的基本事件是一样的。

20定义：事件A，B至少有一个发生，称为事件A与B的和（或称为并），记为A∪B（2）事件的和定义：2个事件A，B都发生，称为事件A与B的交（或积），记为A∩B（或AB）。

（3）事件的交定义：“事件A发生而事件B不发生”也是一个事件，称为A与B的差。记为A－B。

（4）事件的差

21定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，即AB＝Ф，则称事件A、B是互不相容的事件。结论：从基本事件说，互不相容事件就是没有公有的基本事件。显然，在一次试验中，两个基本事件不能同时发生，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。

（5）事件的互不相容性22定义：若A∪B＝Ω

，AB＝Ф，则称A、B为相互对立的事件（简称互逆），事件A的逆事件又可记为。结论：A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

（6）逆事件(对立事件)23交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C)，(A∪B)C＝(AC)∪(BC)

（7）事件的运算规律德摩根公式：24例1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，每种球都不止一个，一次任取两个球，观察它们的颜色。设A＝{两个同色球}，B＝{至少一个红色球}，问A∪B由哪些基本事件组成？例2、设A、B、C为三个事件，试将下列事件用A、B、C表示出来。（1）三个事件都发生；（2）三个事件都不发生；25（3）三个事件至少有一个发生；（4）A发生，B、C不发生；（5）A、B都发生，C不发生；（6）三个事件中至少有两个发生；（7）不多于一个事件发生；（8）不多于两个事件发生。

26§1.2随机事件的概率一、事件的频率定义：如果在n次重复随机试验中，事件A发生了nA次，那么就称比值fn(A)为事件A发生的频率，其中，nA称为A在这n次试验中发生的频数。对任意随机试验E，频率具有性质：27（1）对任意事件A，。（2）。（3）对任意有限多个互不相容的事件A1、A2…Am

有。说明由频率的定义可见，如果事件A发生的可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率还有稳定性，即当n很大时，频率稳定在一个固定值附近摆动。28二、概率的定义（1）概率的统计定义定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数p

附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末数p就表示事件A发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作。29（2）概率的公理化定义定义2：设E是随机试验，Ω是E的样本空间，对于E的每一个事件A对应唯一的实数值，记为，称为事件A的概率，如果集合函数

满足下列条件：（1）非负性：（2）规范性：30（3）可列可加性：是任意无穷多个互不相容的事件，有

这3条也是概率的三个基本性质，此外概率还有一些其他性质：313233概率的加法公式可推广到有限个事件的并的情形。如：这个式子称为“多除少补原理”.34§1.3等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一个随机试验E具有如下的特征，则称为等可能概型。（1）基本事件的全集是由有限个基本事件组成的；（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的。35定义：在古典概型中，若样本空间包含的基本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事件个数为k，则事件A的概率为

古典概型中概率的计算36例1、甲，乙两人各出8元赌注，采用抛硬币作为赌博手段。正面向上甲得1分，反面朝上乙得1分，谁先达到预先规定的分数就获得全部的16元赌注。当甲差2分，乙差3分时他们不愿意再赌下去，请问如何公平的分配这16元赌注？例2、盒中有a个黑球，b个白球，从中分不放回和有放回的抽取n个球，求事件A：“刚好取到k个黑球”的概率。

37例3、n个球随机放到N个盒子中，求下列事件发生的概率（1）A:某指定的n个盒子中每盒有1球；（2）B:任意的n个盒子每个盒子刚好有1个球；（3）C:第一个盒子刚好有k个球。38例4、(抽签的公平性)盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1≤k≤a＋b）次取到黑球”的概率。

例5、一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。

39解：显然，这是一个古典概型的问题，样本空间的大小为；而要求概率的事件A所包含的基本事件个数就不容易计算了，但可考虑其逆事件，包含的基本事件数为：40例6、从1，2，…，9中有放回的取n个数，求取到的n个数的乘积能被10整除的概率。41

§1.4条件概率与乘法公式一、条件概率的定义在实际问题中，除了要知道事件A的概率外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者称为条件概率，记为：42例1、设10件产品中有2件次品，8件正品。现每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求下列事件的概率。（1）前两次均取到次品（2）第一次、第二次取到次品（3）已知第一次取到次品的条件下第二次也取到次品43定义：A，B两个事件，P(A)>0，称为A发生的条件下，事件B发生的条件概率。如：注意：（1）条件概率也是概率，所以，它满足概率的一切性质。44（2）一般的，概率与条件概率之间没有大小关系，但是有一种情况例外。（3）在古典概型中，设样本空间是由n个基本事件组成，若事件B包含m个基本事件(m>0)，AB包含k个基本事件，则45例2：有10个产品，其中4个是次品，从中不放回的抽取2个，已知取出的一个是次品的条件下另外一个也是次品的概率。46二、概率的乘法公式

定理：两个事件的交的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。即：P(AB)=P(B)P(A∣B)＝P(A)P(B∣A)这是两个事件的交，我们可以推广到求有限多个事件的交：47例3：把3个球随机地放到4个盒子中，A表示有球盒子的最小号码为3，求P(A)。48三、全概率公式和贝叶斯公式

1、划分：设Ω为随机试验E的样本空间，为E的一组事件，若

（1）（2）则称为样本空间的一个有穷划分（或称为完备事件组）。

49设Ω为随机试验E的样本空间，为样本空间的一个划分。则：

2、全概率公式与贝叶斯公式50例4、设有一箱同类型的产品是由三家工厂所生产的，已知其中有的产品是由第一家工厂生产的，其它二厂各生产；又知第一第二两厂生产的有2％是次品，第三家工厂生产的有4％是次品，现从箱中任取一件产品，问拿到的是次品的概率为多少？51例5、产品整箱出售，每箱20个。各箱有0，1，2个次品的概率分别为0.7，0.2，0.1。一位顾客欲购买一箱产品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客从中任取4只检查，若无次品，则买下该箱产品，否则退货，求（1）顾客买下该箱产品的概率；（2）已知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？52例6、袋中N个球，其中红球个数从0～N等可能，每次从中任取1球，观察其颜色后放回，如此重复了k次。结果k次都观察到红球，问袋中全是红球的概率。53一、两个事件的独立性§1.5事件的独立性例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个产品，求（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取得次品的概率；（2）第二次取得次品的概率。54解：设事件A＝{第一次抽到次品}，事件B＝{第二次抽到次品}，（1）因是有放回的：P(B|A)＝;（2）因是有放回的：P(B)＝P(B|A)＝所以，P(B|A)＝P(B)。55定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，若满足，则称事件A、B互相独立，记为i.d.。

定理：若事件A与B相互独立，且56独立扩张定理：若事件A与B独立，则、也相互独立。57二、多个随机事件的独立性

定义：设事件，若有则称相互独立。58（1）相互独立，则其中任取k个事件也相互独立；反之不一定。注意59例2、假若每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。解：设Ai＝{第i个人的血清中含有肝炎病毒}，可以认为它们是相互独立的。60

设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图所示），每个元件正常工作的概率（元件的可靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保持连通的概率）。例3、（系统可靠性）61例4、甲、乙、丙3人同时独立的对飞机进行射击，3人击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞机被1人击中而被击落的概率为0.2，被2人击中而被击落的概率为0.6，若3人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。62例5、由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2％，损坏10％，损坏90％的概率分别为0.8，0.15，0.05。现从中任取3件，发现3件都是好的，求此次物品运输被损坏了2％的概率。（假设运输的物品足够多，不放回抽取近似地看成有放回抽取）632、设，且，则（）。3、设A、B、C为随机事件，且，，

0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是

。

1、已知，则（A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。

644、设，，若事件A与B互逆，则

；若事件A与B独立，则

。

657、有来自三个地区的考生报名表各10份，15份和25份，其中女生报名表分别为3份，7份，5份。现任取一个地区的报名表，再从中取一份，求：（1）该表为女生表的概率；（2）已知该表为男生表，它来自第二个地区的概率为多少？66第二章随机变量及其分布随机变量随机变量的分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布67从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊的函数；为了能用变量，函数及微积分等工具来得出事件发生的概率、研究随机现象，引进了概率论中的另一重要概念――随机变量。§2.1随机变量68例1、抛一枚硬币1次，观察正(H)、反(T)面朝上的情况。例2、从含有2个黑球，3个白球的盒子中任取3个球，观察取出球的情况。69若令X表示取出的3个球中黑球的个数例3、观察某网站在一段时间内被点击次数。例4、观察某厂生产灯泡的使用寿命t.70定义：设E是一个随机试验，Ω＝是其样本空间，如果对每一个，有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X是E的一个随机变量。（1）由定义可知，随机试验E的随机变量不是唯一的。例2中，我们也可以定义随机变量Y：“3个球中白球的个数”，则Y也是随机试验E的一个随机变量。说明71（2）引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中取的值来表示。所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。72§2.2随机变量的分布函数对于随机试验而言，仅仅知道它可能的出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。相对于随机变量X来说，就是X取什么值不重要，重要的是X取这些值的概率有多大。73注意（1）分布函数的定义域为一切实数；（2）分布函数在x处的取值所表示的是随机变量X在上的概率。定义：设X是一个随机变量，是一个实数，函数就称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。74分布函数的性质：（1）单调不减，即若，则有（2）且（3）右连续，即特别需要说明的是：随机变量的分布函数具有上述3条性质；反之也成立。75例1、判断以下函数是否为分布函数：76关于分布函数还有一些常用公式：（1）（2）（3）（4）77§2.3离散型随机变量离散型随机变量：随机变量的可取值范围，有的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。78定义：如果离散型随机变量X的一切可能取值为，则称P(X=xk)＝pk为随机变量X的概率分布列，简称分布列或分布律。分布律又常常表示为表格的形式：Xx1x2

…

xk

…Pp1p2

…

pk

…一、离散型随机变量的分布列79例1、一射手对某一目标进行射击，一次击中的概率为0.8（1）求一次射击的分布列；（2）

求到击中目标为止所需的射击次数的分布列。解（1）

设{X=0}＝{击不中目标}，{X=1}＝{击中目标}，则：80

p1＝P(X=0)＝0.2，p2＝P(X=1)＝0.8所以分布列为：X01

pk

0.20.8（2）

设射击到击中目标为止，射击的次数是随机变量Y，则Y∈{1,2,3,…,k,…}。81所以Y的分布律为：pk＝P(Y=k)＝0.2k-1×0.8，k=1,2,…或者Y的分布律用表格表示为

Y12…k…

pk0.80.2×0.8…0.2k-1×0.8…82例2、把3个球任意的放到4个盒子中，令X表示落到第1个盒中球的个数，求X的分布列。解：83分布律的性质：反之，若数列满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量的分布律。（1）（2）84例3、设离散型随机变量X的分布列为求正数a的值。解：根据性质所以，85例4、设离散型随机变量X的分布列其中，为已知，求常数C。解：86对随机变量而言，除了要研究其分布列以外，还要研究其分布函数。根据上一节的内容可得离散型随机变量X的分布函数为

从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型87例5、求例2中的随机变量X的分布函数。

X的分布列为X0123分布函数为：88

二、常见的离散型随机变量

（1）（0-1）分布：设随机变量X只可能取0和1两个数值，它的分布律为其中，则称X

服从（0-1）分布。89（2）二项分布：若随机变量X的分布律为

其中，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为，当时，就是（0-1）分布。90定义：把试验E在相同的条件下重复进行n次，各次试验的结果有限且互不影响，则称这n次试验为n次独立试验。如果每次试验只有两个结果，则n次独立试验又称为n重伯努利试验。91定理：设X是n重伯努利试验中成功（A发生）的次数，则X~B(n,p)，其中p=P(A)例6、在正常情况下，某种家禽感染某种疾病的概率为0.3，现发明一种疫苗，将其给40只健康的家禽注射后发现有5只家禽受到感染，问应如何评价这种疫苗的作用。92定理：X~B(n,p)，则此时X的取值即为事件A最可能成功的次数，当k为最可能成功的次数时，称P(X=k)为二项分布的中心项。93例7、为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人。现有同类设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率为0.001，在通常情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故障后但不能及时维修的概率小于0.01？94解：设需要配备N名工人。记同一时刻发生故障的设备数为X，则。问题的实质是求最小的N，使此时我们用二项分布公式来计算，很难得出结果，因此必须找另外的方法。95查表得:N+1=3,即N=2。因此，为满足要求，至少需配备2名工人。定理：96（3）泊松（Poisson）分布：设随机变量X可能取的一切值为0，1，2，…，而取各个值的概率为，其中是常数，则称X服从参数为λ的泊松（Poisson）分布，记为X～P（）。97定理：

，则①当是整数时，②当不是整数时，98（4）超几何分布：若X的分布律为则称随机变量X服从超几何分布，记为99（5）几何分布：若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布，记为。（6）负二项分布：若随机变量X的分布律为其中0<p<1已知，则称随机变量X服从负二项分布，记为。100一、连续型随机变量的概念如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量称为连续型随机变量。§2-4连续型随机变量101定义：设随机变量X

的分布函数为。若存在非负可积函数，使得对于任一实数x

有①则称X

是连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数，简称为概率密度。102概率密度的性质：（1）（2）反之，任何一个函数满足了（1），（2），则由①定义的也一定是某个连续型随机变量的分布函数。103解：由概率密度函数的性质知例1：设连续型随机变量X的概率密度函数为：

，－∞<x<+∞，求常数C。104例2、设连续型随机变量X的分布函数为求常数A及其概率密度函数。解：由分布函数的性质可知，在处是连续的，所以在处其左、右极限都应该是1，因此A＝1。（3）若在x处连续，则105显然而所以，即概率密度函数为:106我们还可以看，它们也都满足概率密度函数的性质，所以，本题的密度函数也可以取为或。107注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概率密度函数可以有许多，但它们除了在有限个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。也即连续型随机变量X的概率密度函数是“几乎处处”唯一的。108所以对连续型随机变量X而言，概率为0的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事件。（4）连续型随机变量X在一个点上取值的概率恒为0。109二、几个重要的连续型随机变量

1、均匀分布

(Uniformdistribution)记为。设有连续型随机变量X，其概率密度为则称X在区间上服从均匀分布，110分布函数：例3、设随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布，现对其进行4次独立观察，求至少有一次观察值大于2/3的概率。1112、指数分布若随机变量X具有密度：其中，是常数，则称X

服从参数为λ

的指数分布。记为：X～。（指数分布又常被称为寿命分布）分布函数：112指数分布有一个特性：无记忆性。我们看下面的例子：例6、某种电器元件的使用寿命X服从参数为λ＝1/2000的指数分布（单位：小时）（1）任取一个元件，求能正常使用1000小时以上的概率。（2）求其正常使用1000小时后还能使用1000小时的概率。113解：X的密度为（1）（2）114由本题可见，指数分布的无记忆性；其实，不仅是指数分布有这样的性质，几何分布也同样具有这样的性质。一般的，有1153.正态分布

定义：连续型随机变量X的密度函数为：其中μ、σ都是常数(－∞<μ<+∞，σ>0)，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，记为：X～N(μ,σ2)。116正态曲线具有以下性质：（1）曲线位于x轴的上方，以直线x=μ为对称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以x轴为渐近线；（2）当x=μ时曲线处于最高点，当x向左右远离μ时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现“中间高、两边低”的形状；117（3）参数σ决定了正态曲线的形状，σ愈大，曲线愈“矮胖”(即分布愈分散)，σ愈小，曲线愈“高瘦”(即分布愈集中于μ的附近)。参数μ确定曲线的位置，反映了分布的集中点，由于曲线关于直线x=μ对称，所以称μ为正态分布的分布中心。σ反映了分布的分散程度。注118特殊的：当μ＝0、σ＝1时的分布称为标准正态分布，记为N(0,1)，则其密度函数为：分布函数为：119正态分布与标准正态分布的联系：重要公式：定理：设X～，则服从。120例7、某科统考成绩近似服从正态分布在参加统考的人中，及格者100人，（及格分数为60分）计算：（1）不及格人数。（2）估计第10名的成绩。解：（1）设考生的成绩为X，显然：121若参加考试人数是n，则有122（2）设第10名的成绩为

a

分，则123例8、测量某一目标的距离时，测量误差X(cm)～N(50,1002)，求：（1）测量误差的绝对值不超过150厘米的概率。（2）在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过150厘米的概率。124解：（2）在3次测量中，令Y表示误差不超过150(cm)的次数，则Y~B(3，0.8185)125α分位点：给定常数α

，若存在数满足，则称为随机变量X的上α分位点；当时，称为随机变量X的中位数。yxo126一般的,上α分位点可查表得到例:在其它一些书上,也有将上α分位点称为临界点。1272-5随机变量函数的分布问题的一般提法：已知随机变量X的分布，是一连续函数，求的分布。1、X

是离散型随机变量：X

x1

x2…xk…P

p1p2…pk

…128则的分布列为：

g(x1)

g(x2)…g(xk)…Pp1p2…pk

…129例1：设随机变量X

的分布列为：

X

－2－1013

（1）确定常数a

的值；（2）求的分布列。130解：根据分布列的性质得：（2）131所以，的分布列为：例2、设随机变量X～P(λ)，求Y=X2的分布律。1322、X

是连续型随机变量：设X

的密度函数为，则随机变量的分布函数为再对y

求导即可得Y

的密度函数。(套路)例3、设随机变量X～U(0,1)，求的分布。133X的密度为解：X

是连续型的，而Y

是离散型的。显然Y

的可取值为1，2，…N。134所以，Y

的分布列为135136所以，X~N(0,1)时，求Y=X2的分布。137例7、设随机变量X

的概率密度为求的概率密度。解：由知138139所以，随机变量Y的密度为：140第三章多维随机变量及其分布二维随机变量的联合分布边缘分布条件分布随机变量的独立性n维随机向量简介随机向量函数的分布1413.1.1二维随机变量及其分布定义3.1：设Ω＝｛ω

｝是随机试验E

的样本空间，X和Y是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的二维向量（X，Y）称为E

的一个二维随机变量。§3.1多维随机变量及其分布142定义3.2：设（X，Y）是二维随机变量，对一切(x,y)，称二元函数为（X，Y）的联合分布函数，或称为（X,Y）的分布函数。联合分布函数的性质：（1）143（2）对x、y

分别是单调不减的。（4）对任意的点（3）关于x

右连续，关于y

右连续。即144性质（4）正是一维随机变量与二维随机变量的不同之处。也就是说，一个函数仅满足了前三条性质，仍未必是二维随机变量的分布函数。就是不满足性质（4）。例如：145如果，二维随机变量（X，Y）的一切可取值为有限多对，或可列多对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。定义3.3：设二维离散型随机变量（X，Y）所有可能取得值为（xi

，yj），i，j＝1，2，…，则称：3.1.2、二维离散型随机变量146为（X，Y）的联合分布律，或称为（X，Y）的分布律。（X，Y）的分布律也可以用如下的表格表示：YX147例1（二维0－1分布）设一个袋中有2个黑球，3个白球，从中任取2个球，X

表示第一次取出的白球个数，Y

表示第二次取出的白球个数，分别求出（1）有放回抽取，（2）不放回抽取时,（X，Y）的联合分布律。148解：直接用表格表示为：（1）YX（2）YX149例2、抛一枚硬币3次，令X表示头两次出现正面的次数，Y表示3次总共出现正面的次数，求(X,Y)的联合分布律。150例3、把5个球任意的放到3个盒子中，令X表示落在第一个盒子中球的个数，Y落在第二个盒子中球的个数，求(X,Y)的联合分布律。解：（X,Y）=（i,j）（其中i,j=0,1,…,5；i+j≤5）151分布律的性质：（1）（2）1523.1.3二维连续型随机变量定义3.4：设是二维随机变量（X，Y）的分布函数，若存在着非负可积函数，使对一切的有153则称（X，Y）是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的联合概率密度函数。密度函数有如下性质：（1）（2）154（4）设G是xy

平面上的一个区域,向量落在G内的概率为：其中（1），（2）为联合密度函数的基本性质。（3）若在点处连续，则有：155例4、设随机变量（X，Y）的概率密度为求：P(X≤Y)156例5（二维正态分布）：设对给定的常数定义函数：可以证明是一个概率密度函数。157例6（二维均匀分布）设G是xy平面上的区域，S是G的面积，定义二元函数：显然该函数满足密度函数的性质（1），（2），故其是二维连续型随机向量的联合密度函数，并称(X,Y)服从二维均匀分布。158§3.2边缘分布一、边缘分布函数定义：设是（X，Y）的联合分布函数，称分别为（X,Y）关于X，Y的边缘分布函数。定理：159二、边缘分布律定理：设（X,Y）是二维离散型随机向量，其联合分布律为：160例1：在3-1例1中，分别求出（X，Y）关于

X

和Y的边缘分布。有放回抽取时：（1）YXp·jpi·161（2）不放回抽取时：YXp·jpi·162求X,Y的边缘分布律。163例3、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率为p，令X

表示首次击中目标所需的射击次数，Y

表示第二次击中目标所需的射击次数，求（X，Y）的联合分布律和边缘分布律。显然，（X，Y）可能取的一切值为164设每次击中目标记为事件A，由于射击是独立的，所以第

i

个第j

个（令）我们再求其边缘分布律：165166三、边缘概率密度函数由3.2.1定理知：而由分布函数的定义知：167例2：在[0,1]区间上任意取两点，令X

和Y

分别表示这两点的坐标（设X≥Y），求（X，Y）的联合概率密度及（X，Y）关于X和Y

的边缘概率密度。

所以：168解：由题意可知，其面积为S，则另一方面，X、Y

是任取得两点，所以（X，Y）在

G

上服从二维均匀分布，故其联合概率密度为Go11yx169那么，边缘密度为：170171定义3.6：设X、Y

是两个随机变量，若有，对任意的，称为在X＝x

下，Y

的条件分布函数，记为：，同样可以定义：（3.16）一、条件分布函数§3.3条件分布172但当X是连续型随机变量时，由于式3.16无意义，因此，在一般情况下，设（X，Y）的联合分布函数为，若下列极限存在，则称此极限为在X＝x下，Y

的条件分布函数。173二、离散型随机变量的条件分布律设（X，Y）的联合分布律为其边缘分布律为pi·

和p·j

，称为在条件下随机变量X的条件分布律。174并称为在条件下随机变量Y

的条件分布律。求条件分布律P(Y=j|X=1)175例2、向一目标进行独立射击，每次击中目标的概率为p，令X

表示首次击中目标所需的射击次数，Y

表示第二次击中目标所需的射击次数，求（X，Y）的条件分布律。解：由前面的解题过程可知，联合分布律为：176（令）其边缘分布律：177由条件分布律的定义得：178三、连续型随机变量的条件密度设（X，Y）是二维连续型随机变量，其联合分布密度为，边缘概率密度分别为、，则在条件Y＝y

下的随机变量X

的分布函数为：179同理可得：而：180由上可知：例2、设二维随机变量（X，Y）在区域上服从均匀分布，求条件概率密度。181解：因为（X，Y）服从均匀分布，且圆面积为π。所以，联合概率密度为：边缘分布为：182所以，当时，条件分布为：183184例3、设（X，Y）的联合密度为求：185解：即从而186所以187定义3.7：设及分别是二维随机变量（X，Y）的联合分布和边缘分布函数，若对一切的，有则称随机变量X

和Y

是相互独立的。§3.4随机变量的独立性188例1、一电子仪器由两部分构成，以X

和Y

分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X

和Y

的联合分布函数为（1）问X

和Y

是否独立；（2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。189由知，X

与Y

相互独立。（2）解（1）190191相互独立的两个充要条件：定理3.4：设（X，Y）是二维离散型随机变量，则：192而且（1）求X

和Y

的联合分布律；（2）问X

和Y是否独立？例2、已知随机变量X

和Y

的分布律为：193定理3.5：设（X，Y）是二维连续型随机变量，则：194§3.5

n维随机变量简介一、

n维联合分布定义1

设(X1,…,Xn)为n维随机变量，对任意n个实数x1,x2,…,xn，称n元函数为n维随机变量(X1,…,Xn)的联合分布函数。195定义2

如果(X1,…,Xn)只取有限或可列无穷多组向量值，则称(X1,…,Xn)为n维离散型随机变量，称为(X1,…,Xn)的联合分布律。196定义3

如果存在非负可积函数f(x1,…,xn),使得(X1,…,Xn)的分布函数对一切实数x1,…,xn成立,则称(X1,…,Xn)为n维连续型变量。称f(x1,…,xn)为(X1,…,Xn)的联合概率密度。197（3）对n维连续型变量(X1,…,Xn)，落在n维空间某区域G内的概率为198二、k维边缘分布及条件分布定义4

称(X1,…,Xn)中任意k个分量所构成的k维随机变量的分布为(X1,…,Xn)的k维边缘分布。例如，称(X1,X2,X3)的分布函数为(X1,…,Xn)关于(X1,X2,X3)的三维边缘分布函数.199三、独立性定义5

设(X1,…,Xn)的分布函数为F(x1,…,

xn),一维边缘分布函数为FXi(xi)(i=1,2,…n),若对所有实数x1,…,xn,有则称X1,…,Xn相互独立。200201§3.6随机变量函数的分布问题：已知Z=g(X,Y)以及

(X,Y)的联合分布，如何求出Z的分布？1、(X,Y)为二维离散型随机变量例1设二维随机变量(X,Y)的分布律为下表0103/103/1013/101/10XY202例2、已知随机变量独立同分布并且试求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。2032042052062、二维连续型随机变量的函数的分布思路：设二维连续型随机变量的函数为Z=g(X,Y),显然Z是一维随机变量，其分布函数为如果设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则207例5、设(X,Y)的联合概率密度函数为求的概率密度。利用Z的分布函数与Z概率密度之间的关系，可以最终求出Z=g(X,Y)的概率密度。208设是的分布函数，记区域：根据连续型随机变量在平面上的一个区域内取值得概率等于其联合概率密度在这个区域上的二重积分。有xyoG209G*uyz（此时的积分区域就是右图的G*）交换积分次序有210两边对z求导得显然，由对称性也可写成由于X、Y相互独立，其概率密度分别为，所以有卷积公式211例6、设X、Y

是两个相互独立同服从标准正态分布的随机变量，求的概率密度函数。解：X、Y

的密度为212由卷积公式得：由的密度可见，更一般的结论，见教材P100。213例7、设随机变量X,Y独立同分布于U(0,1),求Z=X+Y的密度函数。214215216例9、设X、Y

是两个相互独立同服从分布的随机变量，求的概率密度函数。例10、设随机变量X,Y独立同分布于U(0,1),求Z=XY的密度函数。217例11、设X1,X2,…,Xn

相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),…,Fn(x),求M=max(X1,X2,…,Xn)，N=min(X1,X2,…,Xn)的分布。特别地,

当X1,X2,…,Xn

i.i.d.时,分布函数为F(x),

则

FM(z)=(F(z))n

,FN(z)=1-(1-F(z))n.218离散型随机变量没有密度函数，但是对于上式的分布函数公式仍然成立。219第四章数字特征数学期望方差协方差和相关系数矩与协方差矩阵220§4.1数学期望

一、概念例1、盒子中有6个球（如图），112333从中任取一球再放回，重复了三次，问三次抽到号码的平均值。221定义4.1：如果离散型随机变量X的分布列是，若级数收敛，则称随机变量X的数学期望存在，且称级数的和为X的数学期望，并记为EX，有时也称EX为X的均值。222对连续型随机变量X的数学期望类似的可定义如下：定义4.2：如果连续型随机变量X具有密度函数f(x)，积分收敛，则称X的数学期望存在，否则称X的数学期望不存在。若X的数学期望存在，称积分值为X的数学期望，也记为EX。223注1、若，仍称X的数学期望不存在。2、离散型取有限个值，连续型密度函数只在有限区间上积分，则X的期望一定存在。3、离散型只取非负值，连续型只在x>0时f(x)>0，则只需直接计算期望。224二、常见随机变量的数学期望（1）（0-1）分布p1-pP10X225（2）二项分布b(n,p)226（3）泊松分布P(λ)227（4）几何分布G(p)228（5）均匀分布U(a

,b)229（6）指数分布230（7）正态分布N(μ,σ2)231三、随机变量函数的数学期望

定理4.1：设Y是随机变量X的函数，即（g

是连续函数），（1）若X是离散型随机变量，其分布律为而级数绝对收敛，则有232（2）若X

是连续型随机变量，其密度函数为，若积分绝对收敛，则有233定理4.2：设Z是二维随机变量（X，Y）的函数，即Z＝g（X，Y），则（1）若（X，Y）是二维离散型随机变量，有（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有234例1：设

X～B（n，p），求EX(X－1)。解：因X～B（n，p），则X的分布律为令

Y＝g(X)＝X(X－1)235236例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)例3、（X,Y）的联合密度函数为：求：EY237例4：设随机变量（X，Y）服从二维正态分布，其密度为求

的数学期望。解：238例5：设X、Y相互独立同服从标准正态分布N（0，1），求E（max｛X,Y｝）。解：由题设，(X，Y)的联合密度为xyox<yy<x239240（1）

EC＝C，(C为常数)（2）

E(CX)＝CEX，(C为常数)（3）

E(X+Y)＝EX＋EY

E(aX+b)＝aEX＋b，

E()＝（4）若X、Y是相互独立的随机变量，则E(X·Y)＝EX·EY。四、数学期望的性质241例6、设X的分布律为：例7、把r各球放到n个盒子中，令X表示有球盒子的个数，求EX.求EX242§4.2随机变量的方差

一、方差的定义

对随机变量的特征进行考察，除了数学期望外，还要考察X的可取值与EX的偏离情况，由于X－EX可正可负，因此用[X－EX]2

来考虑。

243定义4.3：设X是一个随机变量，若(X－EX)2

的数学期望存在，则称E(X－EX)2为X的方差，记为DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2

离散型随机变量：连续型随机变量：244方差的计算公式：二、几种常见的随机变量的方差（1）（0－1）分布p1-pP10X245（2）二项分布：（3）泊松分布：（4）均匀分布：246（5）指数分布：247（6）正态分布：248三、方差的性质

（1）D(C)＝0，(C为常数)

（2）D(CX)＝C2DX，(C为常数)

（3）若X、Y是相互独立的随机变量，则

D(X+Y)＝DX＋DY（4）DX＝0249例1、已知X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、Y相互独立，求：X-2Y+3的数学期望和方差。

250定理：切比雪夫不等式251§4.3协方差与相关系数一、协方差与相关系数的概念

我们在证明方差的性质时看到，当两个随机变量X和Y相互独立时，有但当X和Y不相互独立时，它们之间的关系呢？252称

为

X、Y

的相关系数。定义4.4：设X、Y

是两个随机变量，称为随机变量X、Y

的协方差，记为即：253相关系数的特征：是一个无量纲的量。它描述的是

X、Y

之间的线性相关程度。特殊的，当时，称X,Y不相关。结论：X、Y相互独立，则其一定不相关；但若X，Y不相关，却未必相互独立。254二、协方差与相关系数的性质1、协方差的性质:2552、相关系数的性质:（1）||≤1;（2）||=1的充要条件为

X与

Y以概率1线性相关。即存在常数

a、b，a≠0，使256例1、已知随机变量X,Y相互独立，且求

3X-Y与

X+Y的相关系数。例2、已知（X,Y）的联合密度函数为：证明：X，Y不相关，X，Y不独立。257例3、设随机变量X的概率密度为

求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否相关？258§4.4矩、协方差矩阵一、矩定义4.5：设X、Y是随机变量，

称为X的k阶原点矩

称为X的k阶中心矩称为X与Y的k+l阶混合中心矩259二、协方差矩阵设n维随机变量

X＝，记

。称

为X的期望向量，记

为

Xi

与Xj

的协方差，则称n阶矩阵Σ为随机变量X的协方差矩阵。260协方差矩阵的性质：（1）（2），即