2022年山东省烟台市清华同方中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年山东省烟台市清华同方中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间A．（2，2．25）

B．（2．25，2．5）C．（2．5，2．75）

D．（2．75，3）参考答案：C2.由曲线围成的封闭图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.若两点A（3，2）和B（—1，4）到直线的距离相等，则实数m等于

。参考答案：略4.已知函数，则它们的图象可能是（

）参考答案：【知识点】函数与导数的关系B11B解析：因为二次函数g(x)的对称轴为x=－1,所以排除A,D，又因为函数g(x)为函数f(x)的导数，由函数单调性与其导数的关系可排除C，所以选B.【思路点拨】发现函数g(x)与f(x)的导数关系是本题解题的关键.5.下列有关命题的叙述，错误的个数为①若pq为真命题，则pq为真命题。②“”是“”的充分不必要条件。③命题P：x∈Ｒ，使得x＋x-1<0，则p:x∈Ｒ，使得x＋x-1≥0。④命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则”。A.1

B.2C.3

D.4参考答案：B若pq为真命题，则至少有有一个为真，所以不一定为真，所以①错误。得或，所以“”是“”的充分不必要条件，②正确。根据特称命题的否定式全称命题知③正确。“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1且x2，则”，所以④错误，所以错误命题的个数为2个，选B.6.若实数，满足条件，则目标函数的最大值为A.6

B.5

C.4

D.3参考答案：B略7.设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=x﹣2，设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2））（x1≥0，x2＞0），若直线PQ∥x轴，则P，Q两点间最短距离为(

) A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；点到直线的距离公式．专题：导数的概念及应用．分析：求出导函数f′（x），根据题意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．解答： 解：x≥0时，f'（x）=ex+cosx≥1+cosx≥0，∴函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵f（x1）=g（x2），所以+sinx1=x2﹣2，∴P，Q两点间的距离等于|x2﹣x1|=||，设h（x）=ex+sinx﹣x+2（x≥0），则h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0），记l（x）=h'（x）=ex+cosx﹣1（x≥0），则l'（x）=ex﹣sinx≥1﹣sinx≥0，∴h'（x）≥h'（0）=1＞0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=3，∴|x2﹣x1|≥3，即P，Q两点间的最短距离等于3．故选：B．点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A. B. C. D.4参考答案：B【分析】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积.【详解】过该圆锥顶点S的截面三角形面积最直角三角形，设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为，则，即，又，所以圆锥的侧面积；故选B.【点睛】本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式，当，即截面是等腰直角三角时面积最大.9.实数满足不等式组，且

取最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值是（

）Ks5u

A．

B．1

C．2

D．无法确定参考答案：B10.若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在区间上的函数满足，则的解析式为

参考答案：12.函数

(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为__________．参考答案：－313.已知复数，,那么=_________。参考答案：14.若变量满足约束条件，则的最大值是

.参考答案：615.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则x+y=

A．

B．

C．

D．参考答案：A略16.阅读右面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是

▲

。参考答案：略17.函数的最小正周期为

．参考答案：，其中为参数，所以周期。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题共13分）如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中

，且为中点.(I)求证：平面；(II)求证：.

参考答案：证明:(I)因为为中点，所以

………1分又，所以有

…2分所以为平行四边形,所以

………3分又平面平面所以平面.

………5分(II)连接.因为所以为平行四边形，

…6分又,所以为菱形，所以，

…7分因为正三角形,为中点，所以，

…8分

又因为平面平面,平面平面，

所以平面，

…10分而平面，所以，[来源:Zxxk.Com]又，所以平面.

…12分又平面，所以.

……13分略19.已知(1)最小正周期及对称轴方程；

(2)已知锐角的内角的对边分别为,且,,求边上的高的最大值.参考答案：【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．L4

【答案解析】(1),；(2)解析：(1)

,(2)由得

由余弦定理得

设边上的高为,由三角形等面积法知

,即的最大值为.

【思路点拨】(1)利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期T，及对称轴;

(2)利用三角形面积公式得到h和bc的关系式，进而利用余弦定理得到b和c的关系式，利用基本不等式的性质求得bc的最大值，进而求得h的最大值．20.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，EF⊥EA，AB=2EF=2，∠AED=90°，AE=ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥平面ABCD；（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角B﹣FD﹣P的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．参考答案：【分析】（1）推导出AB⊥EA，AB⊥AD，从而AB⊥EH，再求出EH⊥AD．由此能证明EH⊥平面ABCD．（2）由AD，OH，HE两两垂直，建立空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（1）因为AB∥EF，EF⊥EA，所以AB⊥EA．因为AB⊥AD，且EA∩AD=A，所以AB⊥平面AED．因为EH?平面AED，所以AB⊥EH．因为AE=ED，H是AD的中点，所以EH⊥AD．又AB∩AD=A，所以EH⊥平面ABCD．解：（2）因为AD，OH，HE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H﹣xyz，则A（1，0，0）D（﹣1，0，0），F（0，1，1），O（0，1，0），C（﹣1，2，0）．设点P（m，2，0）（﹣1≤m＜1），于是有，．设平面PDF的法向量，则，即．令x=2，得y=﹣（m+1），z=m﹣1，所以．平面BDF的法向量，所以，解得m=﹣1．所以点P的坐标为（﹣1，2，0），与点C的坐标相同，所以BP=BC=2．21.(本小题满分12分)已知双曲线：的焦距为，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一直线与双曲线交于，两点，使得为定值？若存在，求出此定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）；................4分（2）当直线的斜率存在时，设直线：，，代入双曲线的方程，，得：，，，.......6分所以，，......8分当时，，解得：，检验：不合题意，满足.......10分当直线的不斜率存在时，直线：，，所以，.......12分22.（本小题共14分）已知函数，．(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；(Ⅱ)求在区间上的最小值；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．参考答案：【知识点】导数的综合运用【试题解析】（Ⅰ）由，定义域为，

得．

因为函数在处取得极值，

所以