2022-2023学年浙江省衢州市育才职业高级中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年浙江省衢州市育才职业高级中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，在上定义运算：，其中为被3除的余数，，则使关系式成立的有序数对总共有A．１对B．２对C．３对D．４对参考答案：C2.设命题,命题,若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知正方形的边长为4，点位边的中点，沿折叠成一个三棱锥（使重合于点），则三棱锥的外接球表面积为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A4.建立从集合A=﹛1,2,3,4﹜到集合B=﹛5,6,7﹜的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：C5.设，则

A.a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D.b>c>a参考答案：C略6.已知，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知函数，则＝A、－2B、－3C、2D、3参考答案：B8.二项式的展开式中常数项为

；参考答案：9.给出下列命题：①正切函数图象的对称中心是唯一的；②若函数f(x)的图像关于直线对称，则这样的函数f(x)是不唯一的；③若x1，x2是第一象限角，且x1＞x2，则；④若f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期是T，则．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：B10.已知向量满足，则

（

）A.0

B.

C.

4

D.8参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C12.方程lgx=sinx的解的个数为．参考答案：3【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数y=lgx的单调性可知：当0＜x≤10时，lgx≤1；又由正弦函数的有界性可知：sinx≤1．画出当x＞0时的图象即可得出答案．【解答】解：要使lgx有意义，必须x＞0．分别作出函数y=lgx，y=sinx，当x＞0时的图象：由函数y=lgx的单调性可知：当0＜x≤10时，lgx≤1；又sinx≤1．由图象可以看出：函数y=lgx与y=sinx的图象有且仅有3个交点，故方程lgx=sinx的解的个数为3．故答案为3．【点评】熟练掌握对数函数和正弦函数的图象和性质是解题的关键．13.已知函数在实数集R上具有下列性质：①直线是函数的一条对称轴;②;③当时，、、从大到小的顺序为_______.参考答案：14.数列{an}满足：，，且{an}的前n项和为Sn，则Sn=__.参考答案：【分析】先通过求出通项公式，再求前项和为【详解】由得所以，且所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，且所以前项和15.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有种．参考答案：12考点：排列、组合及简单计数问题．

专题：排列组合．分析：根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得答案．解答：解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63﹣8=12种，故答案为：12．点评：本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力，属于基础题．16.（12分）已知点（1）若，求的值；（2）若，其中为坐标原点，求的值。参考答案：解析：（1）A（1，0），B（0，1），

2分，

4分

化简得

（若，则，上式不成立）所以

6分（2），，

8分

10分

12分17.设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，若a4，a3，a5成等差数列，则=．参考答案：5【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠1），根据等比数列、等差数列的通项公式得到：2a1q2=a1q3+a1q4，易求q=﹣2．然后由等比数列的前n项和公式来求所求代数式的值．【解答】解：等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q≠1），∵a4，a3，a5成等差数列，∴2a3=a4+a5，即2a1q2=a1q3+a1q4，整理，得（q+2）（q﹣1）=0，解得q=﹣2或q=1（舍去），则==1+q2=1+（﹣2）2=5．故答案是：5．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式．熟记公式是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知（1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合。（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）………………2分……4分

（Ⅱ）因为对定义域内任一x有

∴=最大为略19.中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：A方案：由三部分组成（表一）底薪150元工作时间6元/小时行走路程11元/公里

B方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小时计费；（2）行走路程不超过4公里时，按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时，由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间，组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行走路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算，行走5.7公里按5公里计算．如表所示：（表二）行走路程（公里）人数510154525

（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资y（单位：元）与日行走路程x（单位：公里）的函数关系（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从(4,8]，(8,12]共抽取5人组成爱心服务队，再从这5人中抽取3人当小红帽，求小红帽中恰有1人来自(4,8]的概率；②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里，如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高？参考答案：（Ⅰ）A方案：，，B方案：；（Ⅱ）①，②建议选A方案.【分析】（Ⅰ）根据题设条件可得两种方案的日工资与日行走路程的函数关系.（Ⅱ）①用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率.②利用（Ⅰ）的函数可得小张的日工资，根据所得工资额的大小关系选择方案.【详解】（Ⅰ）方案：，，方案：，即.（Ⅱ）（ⅰ）因为，依题意从中抽取2人，分别设为，，从中抽取3人，分别设为，，.设“小红帽中恰有一人来自”为事件，则基本事件有、、、、、、、、、共10种.中的基本事件有、、、、、共6种，所以.（ⅱ）“方案”：，方案：.所以建议选方案.【点睛】本题考查一次函数及分段函数在实际问题中应用，也考查了古典概型概率的计算，注意利用枚举法、树形图法或借助排列组合的方法来计数，本题属于中档题.20.在中，三个内角的对边分别为，.

（1）求的值；

（2）设，求的面积.参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）利用正弦定理把化成，再利用余弦定理即可求得角；又因为在三角形中，有，利用三角函数的和差公差展开即可求得的值，继而求得的值；（2）利用正弦定理求得的值，由面积公式即可求得的面积.试题解析：（1）因为由正弦定理得又因为所以，由同角三角函数得因为，所以因为在三角形中所以所以在中考点：正弦定理；余弦定理；三角形面积.21.已知函数，，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f（x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+∞））的单调性，并证明你的结论；（2）设函数若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】（1）先求导数fˊ（x），在函数给定的区间内判定fˊ（x）的符号，即可判定单调性；（2）对m进行分类讨论，然后研究个g（x）的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立”分别可求出g（x1）、g（x2）的值域，使g（x1）的值域为g（x2）的值域的子集，建立不等关系，解之即可．【解答】解：（1）f（x）为单调减函数．证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f1（x）+f2（x）==．由=，且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1（x）和f2（x）在[2，+∞）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）（2）①若m≤0，由x1≥2，，x2＜2，，所以g（x1）=g（x2）不成立．②若m＞0，由x＞2时，，所以g（x）在[2，+∞）单调递减．从而g（x1）∈（0，f1（2）]，即．（a）若m≥2，由于x＜2时，，所以g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，从而g（x2）∈（0，f2（2）），即．要使g（x1）=g（x2）成立，只需，即成立即可．由于函数在[2，+∞）的单调递增，且h（4）=0，所以2≤m＜4．（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，所以g（x）在（﹣∞，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．从而g（x2）∈（0，f2（m）]，即g（x2）∈（0，1]．要使g（x1）=g（x2）成立，只需成立，即成立即可．由0＜m＜2，得．故当0＜m＜2时，恒成立．综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数单调性的应用，属于中档题．22.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，若直线l与y轴不重合，试求λ的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率，顶点坐标，转化求解即可．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，