上海实验学校2024届高一上数学期末综合测试模拟试题含解析

上海实验学校2024届高一上数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.2．函数是A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数3．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）A.16 B.8C.4 D.24．在下列函数中，最小值为2的是（）A.（且） B.C. D.5．已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（）A. B.C. D.6．若指数函数，则有（）A.或 B.C. D.且7．若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是A.1 B.－2C.1或－2 D.8．函数的图像的大致形状是（）A. B.C. D.9．下列命题中正确的是（）A.第一象限角小于第二象限角 B.锐角一定是第一象限角C.第二象限角是钝角 D.平角大于第二象限角10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与A1D1所成的角是A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，，则有最大值为__________12．函数f(x)＝＋的定义域为____________13．函数在区间上的单调性是______．（填写“单调递增”或“单调递减”）14．函数（且）的图像恒过定点______.15．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是_______.16．已知，则的值为________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，计算下列各式的值.（1）；（2）.18．已知函数，其中是自然对数的底数，（1）若函数在区间内有零点，求的取值范围；（2）当时，，，求实数的取值范围19．已知点，，.（1）若，求的值；（2）若，其中为坐标原点，求的值.20．已知函数，.（1）若在区间上是单调函数，则的取值范围；（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.21．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.(1)当切线的长度为时，求线段PM长度.(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段长度的最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】可分析单调递减,即将题目转化为在上单调递增,分别讨论与的情况,进而求解【题目详解】由题可知单调递减,因为在上单调递减,则在上单调递增,当时,在上单调递减,不符合题意,舍去；当时,,解得,即故选C【题目点拨】本题考查对数函数的单调性的应用,考查复合函数单调性问题,考查解不等式2、C【解题分析】根据题意，由于函数是，因此排除线线A,B，然后对于选项C，D，由于正弦函数周期为，那么利用图象的对称性可知，函数的周期性为，故选C.考点：函数的奇偶性和周期性点评：解决的关键是根据已知函数解析式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题3、A【解题分析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.【题目详解】当时，，所以函数的图像恒过定点记，则有，解得所以.故选：A4、C【解题分析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.【题目详解】选项A，当时，，所以最小值为不正确；选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确；选项C，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确.故选：C.【题目点拨】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.5、C【解题分析】根据已知不等式可以判断函数的单调性，再结合四个选项进行判断即可.【题目详解】因为，所以由，构造新函数，因此有，所以函数是增函数.A：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意；B：，当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；C：，显然符合题意；D：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意，故选：C6、C【解题分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【题目详解】因为是指数函数，所以，解得.故选：C7、A【解题分析】分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求【题目详解】①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得综上可得故选A【题目点拨】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则且或且8、D【解题分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【题目详解】根据，是减函数，是增函数.在上单调递减，在上单调递增故选：D.【题目点拨】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9、B【解题分析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解.【题目详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A错误；因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；因为钝角，平角，为第二象限角，故CD错误.故选：B.10、B【解题分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,由此能求出结果.【题目详解】因为AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,因为是等腰直角三角形,所以.故选:B【题目点拨】本题考查异面直线所成的角的求法,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】分析：直接利用基本不等式求xy的最大值.详解：因为x+y=4,所以4≥，所以故答案为4.点睛：（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.12、【解题分析】根据题意，结合限制条件，解指数不等式，即可求解.【题目详解】根据题意，由，解得且，因此定义域为.故答案为：.13、单调递增【解题分析】求出函数单调递增区间，再判断作答.【题目详解】函数的图象对称轴为，因此，函数的单调递增区间为，而，所以函数在区间上的单调性是单调递增.故答案为：单调递增14、【解题分析】根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可.【题目详解】由，.此时.故图像恒过定点.故答案为：【题目点拨】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题.15、【解题分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后由题意可得，解不等式可求出的取值范围【题目详解】解：函数的对称轴方程为，因为函数在区间上是单调递增函数，所以，解得，故答案为：16、【解题分析】∵，∴，解得答案：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）将分子分母同除以，再将代入，得到要求式子的值（2）先将变形为，再将分子分母同除以，求得要求式子值【题目详解】∵，∴∴（1）将分子分母同除以，得到；（2）【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题18、（1）；（2）.【解题分析】（1）解法①：讨论或，判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可求解；解法②：将问题转化为在区间上有解，即e有解，讨论或解方程即可求解.（2）解法①：分离参数可得，令，，求出的最大值即可求解；解法②：不等式转化为恒成立，令，，可得函数，，讨论或即可求解.【题目详解】（1）解法①：当时，，没有零点；当时，函数是增函数，则需要，解得.，满足零点存在定理.因此函数在区间内有一个零点综上所述，的取值范围为.解法②：的零点就是方程的解，即在区间上有解方程变形得，当时，方程无解，当时，解为，则，解得，综上所述，的取值范围为（2）解法①由题意知，，即因为，则，又，令，，则（当且仅当时等号成立），所以，即的取值范围是.解法②由题意知，，即，令，，即，当时，显然不成立，因此.对于函数，，，则，解得，即m的取值范围是.19、(1)；(2).【解题分析】（1）因为，，，所以，.因为所以，化简即可得的值；（2）因为，，所以，因为，所以，平方即可求得的值.试题解析：（1）因为，，，所以，.因为所以.化简得因为（若，则，上式不成立）.所以.（2）因为，，所以，因，所以，所以，所以，，因为，所以，故.20、（1）或；（2）存在，且的取值范围是.【解题分析】（1）分、两种情况讨论，根据函数在区间上单调可出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围；（2）分、、、四种情况讨论，分析两个函数在区间上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：当时在上单调递减.当时，是二次函数，其对称轴为直线，在区间上是单调函数，或，即或，解得：或或.综上：或.【小问2详解】解：①当时，单调递减，单调递增，则函数单调递增，因为，，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，此时，函数与函数在区间上的图象有唯一的交点，合乎题意；②当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，所以，在上单调递减，单调递增，则函数在上单调递增，要使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，则，解得，此时；③当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，则在上单调递减，在上单调递增，则函数上单调递增，要使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，则，解得，此时；④当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，所以，在上单调递增，在上单调递增，则，，所以，在上恒成立，此时，函数与函数的图象在区间上没有交点.综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21、（1）8（2）（3）【解题分析】（1）根据圆中切线长的性质得到；（2）设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆N的方程为化简求值即可；（3）（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值.解析：（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设PA是圆的一条切线，(2)设，经过A,P