2022-2023学年湖南省怀化市中方中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省怀化市中方中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或 C．0或 D．参考答案：C【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．2.已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，1）参考答案：C【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣2x＞0，求得函数的定义域，且f（x）=g（t）=logt，根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间，利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．3.函数的定义域是（

）.A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为，求其定义域，只需，解得.故选D【点睛】本题主要考查求函数定义域，只需使解析式有意义即可，属于基础题型.4.已知集合A={x|x2＜2﹣x}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）参考答案：B【考点】并集及其运算．【分析】求出不等式x2＜2﹣x的解集，从而求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2＜2﹣x}={x|﹣2＜x＜1}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∪B=（﹣2，2），故选：B．5.已知是上的减函数，那么的取值范围是（

）

A.

B．

C．

D．参考答案：C略6.函数y=ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，1） C．（2，0） D．（2，2）参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点；指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】令x﹣2=0，即x=2时，y=a0﹣1=0，故可得函数y=ax﹣2﹣1（a＞0且a≠1）的图象必经过点．【解答】解：令x﹣2=0，即x=2时，y=a0﹣1=0，∴函数y=ax﹣2﹣1（a＞0，且a≠1）的图象必经过点（2，0），故选为：C【点评】本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题．7.已知数列的前项的乘积为，其中为常数，，若，则（）．A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A，∴．选．8.设对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.或

D.参考答案：A9.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.参考答案：D分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．10.（5分）函数f（x）=log2x﹣+a的一个零点在（1，4）内，则实数a的取值范围为（） A． （﹣，2） B． （4，6） C． （2，4） D． （﹣3，﹣）参考答案：A考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由题意可知函数f（x）=log2x﹣+a在上单调递增且连续，从而求解．解答： 易知函数f（x）=log2x﹣+a在上连续，且函数f（x）=log2x﹣+a在上单调递增，故f（1）?f（4）＜0，即（0﹣2+a）（2﹣+a）＜0；故实数a的取值范围为（﹣，2）；故选A．点评： 本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则?=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】法一：选定基向量，将两向量，用基向量表示出来，再进行数量积运算，求出的值．法二：由余弦定理得可得分别求得，又夹角大小为∠ADB，，所以=．【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==法二：由题意可得BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+1+2=7，∴BC=，∴cosB===AD==，∵，∴=．故答案为：﹣．12.如图是一正方体的表面展开图.B、N、Q都是所在棱的中点.则在原正方体中：①MN与CD异面；②MN∥平面PQC；③平面MPQ⊥平面CQN；④EQ与平面AQB形成的线面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值为.其中真命题的序号是______.参考答案：①②④【分析】将正方体的表面展开图还原成正方体，利用正方体中线线、线面以及面面关系，以及直线与平面所成角的定义和二面角的定义进行判断.【详解】根据条件将正方体进行还原如下图所示：对于命题①，由图形可知，直线与异面，命题①正确；对于命题②，、分别为所在棱的中点，易证四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，命题②正确；对于命题③，在正方体中，平面，由于四边形为平行四边形，，平面.、平面，，.则二面角所成的角为，显然不是直角，则平面与平面不垂直，命题③错误；对于命题④，设正方体的棱长为2，易知平面，则与平面所成的角为，由勾股定理可得，，在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为，命题④正确；对于命题⑤，在正方体中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角为，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命题⑤错误.故答案为：①②④.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面关系的判断以及线面角、二面角的计算，判断时要从空间中有关线线、线面、面面关系的平行或垂直的判定或性质定理出发进行推导，在计算空间角时，则应利用空间角的定义来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.13.函数的定义域为

.参考答案：14.在等比数列中，，则

☆

．参考答案：15.在△ABC中，，，，则

____

，△ABC的面积为

．参考答案：；，所以解得，又，则，所以，所以。

16.已知等差数列的前n项和为，若．则下列四个命题中真命题是

▲

．(填写序号)⑴

⑵

⑶

⑷参考答案：（1）（2）（4）17.定义运算，例如，，则函数的最大值为

.参考答案：【详解】由；所以，此函数图象如图所示，所以最大值是；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的最大值为2.（1）求函数在上的单调递减区间；（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，求△ABC的面积．参考答案：（1）（2）试题分析：(1)根据辅助角公式，函数的最大值为令其为2，即可求得m，利用正弦函数的单调性可求得此函数的递减区间，找到［0,π］上的单调递减区间即可；（2）本小题关键是求得边a与b的乘积，利用正弦定理，把化为边a与b的关系，另一方面已知C=60°，c=3，由余弦定理，可得边a与b的另一关系，两式联立解得ab（当然也可解得a与b的单个值，但计算量大），利用可求得面积.试题解析：(1)由题意，f(x)的最大值为所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函数的单调性及周期性可得x满足即所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为(2)设△ABC的外接圆半径为R，由题意，得化简得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9="0."②将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故考点：辅助角公式,正弦函数的单调性,正弦定理,余弦定理,方程思想，三角形面积公式：.19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M为平面上任一点，A，B，C三点满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知A(1,sinx)、B(1+sinx,sinx)，M(1+sinx,sinx)，x∈(0,π)，且函数的最小值为，求实数m的值．参考答案：解：（Ⅰ）证明：由=+，得﹣=2（﹣），∴=2，且、有公共点C，∴A，B，C三点共线，如图所示；∴===3；（Ⅱ）A（1，sinx）、B（1+sinx，sinx），M（1+sinx，sinx），x∈（0，π），∴=（1，sinx）=（1+sinxsinx）=（sinx0）∴函数f（x）=?+（2m﹣）?||=（1+sinx）+sin2x+（2m﹣）?sinx=sin2x+2msinx+1；设sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1），∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1﹣m2；讨论﹣m＜0即m＞0时，此时y没有最小值；当0≤﹣m≤1即﹣1≤m≤0时，当t=﹣m有ymin=1﹣m2=，解得m=﹣；当﹣m＞1即m＜﹣1时，此时y没有最小值；综上，得m=﹣．

20.(本小题满分16分)设函数，，且函数f(x)的图象关于直线对称。(1)求函数f(x)在区间[0,4]上最大值；(2)设，不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；(3)设有唯一零点，求实数a的值。参考答案：解析：(1)因为关于直线对称，所以故………2分所以，函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以当时，。所以在区间上的最大值为10

………5分(2)可化为，化为，令，则,

………7分因故，记，因为，故，所以的取值范围是………10分(3)由题意得：，所以故，即为的对称轴，

………12分因为有唯一的零点，所以的零点只能为，即，解得。

………14分当时，，令，则，从而，即函数是上的增函数，而，所以，函数只有唯一的零点，满足条件。故实数的值为.………16分

21.某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？参考答案：解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为A，B，C，两个“低碳小区”为m，n，用（x，y）表示选定的两个小区，x，y∈{A，B，C，m，n}，则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是（A，B），（A，C），（A，m），（A，n），（B，C），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n），（m，n）用D表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D中的结果有6个，它们是：（A，m），（A，n），（B，m），（B，n），（C，m），（C，n）．故所求概率为．（II）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”．由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.07+0.23+0.46=0.76＞0.75，所以三个月后小区A达到了“低碳小区”标准．略22.已知数列{an}满足,．（Ⅰ）求证：数列