黑龙江省哈尔滨市南岗区哈尔滨三中2024届数学高一上期末学业水平测试试题含解析

黑龙江省哈尔滨市南岗区哈尔滨三中2024届数学高一上期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则()A. B.1C. D.22．函数的图像的一个对称中心是A. B.C. D.3．在空间直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点坐标为（）A. B.C. D.4．下列函数是幂函数的是（）A. B.C. D.5．若，，，则有A. B.C. D.6．若，，则等于（）A. B.C. D.7．函数的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A.2， B.2，C.4， D.4，8．已知直线与直线平行，则的值为A.1 B.-1C.0 D.-1或19．将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（）A. B.C. D.10．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数，若关于x方程有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.12．已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________.13．函数的图像恒过定点的坐标为_________.14．已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______15．幂函数的图像在第___________象限.16．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片的腰长为3，正方形纸片的边长为1，其中B、C、D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位，.设两张纸片重叠部分的面积为S.（1）求关于a的函数解析式；（2）若，求a的值.18．已知直线l的方程为2x-y+1=0（1）求过点A3,2，且与直线l垂直的直线l（2）求与直线l平行，且到点P3,0的距离为5的直线l19．揭阳市某体育用品商店购进一批羽毛球拍，每件进价为100元，售价为160元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每星期可多卖出20件.（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元?（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?20．函数的定义域为,定义域为.（1）求；（2）若,求实数的取值范围.21．已知是定义在上的奇函数.（1）求实数和的值；（2）根据单调性的定义证明：在定义域上为增函数.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算法则计算可得；【题目详解】解：，，，，故选：D2、C【解题分析】令，得，所以函数的图像的对称中心是，然后赋值即可【题目详解】因为的图像的对称中心为.由，得，所以函数的图像的对称中心是.令，得.【题目点拨】本题主要考查正切函数的对称性，属基础题3、B【解题分析】先由题意设点的坐标为，根据空间中的两点间距离公式，列出等式，求出，即可得出结果.【题目详解】因为点在轴上，所以可设点的坐标为，依题意，得，解得，则点的坐标为故选：B.4、C【解题分析】由幂函数定义可直接得到结果.【题目详解】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.5、C【解题分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别将与作比较，从而得到结果.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的大小关系得到所求的大小关系.6、D【解题分析】根据三角函数的诱导公式即可化简求值.【题目详解】∵，，，，，.故选：D.7、B【解题分析】根据图象的两个点、的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果【题目详解】解：由图象可得：，∴，∴，又由函数的图象经过，∴，∴，即，又由，则故选：B【题目点拨】本题考查由部分图象确定函数的解析式，属于基础题关键点点睛：本题解题的关键是利用代入点的坐标求出初相.8、A【解题分析】由于直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，经检验成立.故选A.9、B【解题分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【题目详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得.故选：B.10、A【解题分析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.【题目详解】根据函数平移变换,由变换为,只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.【题目点拨】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或或【解题分析】作出函数的图象，设，分关于有两个不同的实数根、，和两相等实数根进行讨论，当方程有两个相等的实数根时，再检验，当方程有两个不同的实数根、时，或，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.【题目详解】作出函数的简图如图，令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，（1）当方程有两个相等的实数根时，由，即，此时当，此时，此时由图可知方程有4个实数根，此时不满足.当，此时，此时由图可知方程有6个实数根，此时满足条件(2)当方程有两个不同的实数根、时，则或当时，由可得则的根为由图可知当时，方程有2个实数根当时，方程有4个实数根，此时满足条件.当时，设由，则，即综上所述：满足条件的实数a的取值范围是或或故答案为：或或【题目点拨】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.12、【解题分析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.【题目详解】设扇形所在圆的半径为，扇形弧长为，即，由扇形面积得：，解得，所以该扇形的圆心角(正角)为.故答案为：13、(1,2)【解题分析】令真数，求出的值和此时的值即可得到定点坐标【题目详解】令得：，此时，所以函数的图象恒过定点，故答案为：14、或2【解题分析】先讨论范围确定的单调性，再分别进行求解.【题目详解】①当时，，得；②当时，，得，故或2故答案为：或2.15、【解题分析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限.【题目详解】由解析式知：定义域为，且值域，∴函数图像在一、二象限.故答案为：一、二.16、【解题分析】把4个球编号，用列举法写出所有基本事件，并得出2球颜色相同的事件，计数后可计算概率【题目详解】2个红球编号为，2个白球编号为，则依次取2球的基本事件有：共6个，其中2球颜色相同的事件有共2个，所求概率为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解题分析】（1）讨论、、分别求对应的，进而写出函数解析式的分段形式.（2）根据（1）所得解析式，将代入求a值即可.【小问1详解】如下图，延长到上的，又，则，∴，当时，；当时，；当时，.综上，.小问2详解】由（1）知：在上，；在上，，整理得，解得（舍）或.综上，或时，.18、（1）（2）或【解题分析】1直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；2设所求直线方程为2x-y+c=0，由于点P(3,0)到该直线的距离为5，可得|6+c|22+解析：（1）∵直线l的斜率为2，∴所求直线斜率为-1又∵过点A(3,2)，∴所求直线方程为即x+2y-7=0（2）依题意设所求直线方程为2x-y+c=0，∵点P(3,0)到该直线的距离为∴|6+c|22+(-1)2所以，所求直线方程为2x-y-1=0或2x-y-11=019、（1）4800（2）将售价定为150元，最大销售利润是5000元.【解题分析】（1）由销售利润=单件利润×销售量，即可求商家降价前每星期的销售利润；（2）由题意得销售利润，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.【小问1详解】由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；【小问2详解】设售价定为元，则销售利润.当时，有最大值5000∴应将售价定为150元，最大销售利润是5000元.20、（1）；（2）.【解题分析】（1）求函数的定义域，就是求使得根式有意义的自变量的取值范围，然后求解分式不等式即可；（2）因为，所以一定有，从而得到，要保证，由它们的端点值的大小列式进行计算，即可求得结果.【题目详解】（1）要使函数有意义，则需，即，解得或，所以；（2