2024届广东深圳罗湖外国语学校高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届广东深圳罗湖外国语学校高一数学第一学期期末达标检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知是第四象限角，是角终边上的一个点，若，则（）A.4 B.-4C. D.不确定2．已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（）A. B.C. D.3．若直线与直线互相垂直,则等于(

)A.1 B.-1C.±1 D.-24．表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（）A. B.C. D.5．满足不等式成立的的取值集合为（）A.B.C.D.6．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵．那么前3个儿子分到的绵的总数是（）A.89斤 B.116斤C.189斤 D.246斤7．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）A B.C. D.8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（）A.4 B.C. D.29．已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.10．已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（）A.如果积等于定值，那么当时，和有最大值B.如果和等于定值，那么当时，积有最小值C.如果积等于定值，那么当时，和有最小值D.如果和等于定值，那么当时，积有最大值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为__________.12．若，则___________；13．已知，，则___________.14．函数恒过定点________.15．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________16．若，则的值为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完（1）写出利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？18．设，其中（1）当时，求函数的图像与直线交点的坐标；（2）若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；（3）若函数在上不具有单调性，求a的取值范围19．已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为.（1）求圆的方程，并判断圆与圆的位置关系；（2）若横截距为-1且不与坐标轴垂直的直线与圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.20．已知函数的图象过点与点.（1）求，的值；（2）若，且，满足条件的的值.21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1的中点（1）证明：A1B1⊥C1D；（2）若AA1＝4，求三棱锥A﹣MDE的体积

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】利用三角函数的定义求得.【题目详解】依题意是第四象限角，所以，.故选：B2、C【解题分析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解.【题目详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，要使得函数在上具有单调性，所以或，解得或故选：C.3、C【解题分析】分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可【题目详解】解：①当时，利用直线方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；③，当时，此两条直线的斜率分别为，两条直线相互垂直，，化为，综上可知：故选【题目点拨】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题4、B【解题分析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.【题目详解】由题意可知是的零点，易知函数是（0，）上的单调递增函数，而，，即所以，结合性质，可知.故选B.【题目点拨】本题考查了函数的零点问题，属于基础题5、A【解题分析】先求出一个周期内不等式的解集，再结合余弦函数的周期性即可求解.【题目详解】解：由得：当时，因为的周期为所以不等式的解集为故选：A.6、D【解题分析】利用等差数列的前项和的公式即可求解.【题目详解】用表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，所以，解之得所以，即前3个儿子分到的绵是246斤故选：D7、D【解题分析】根据函数单调性结合零点即可得解.【题目详解】为上的奇函数，且在上单调递增，，得：或解得.故选：D8、B【解题分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱【题目详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，所以该四棱锥的最长棱为故选B【题目点拨】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．熟悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力9、B【解题分析】由在上最大值为，讨论可求出，从而，若有4个零点，则函数与有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【题目详解】若，则函数在上单调递增，所以的最小值为，不合题意，则，要使函数在上的最大值为如果，即，则，解得，不合题意；若，即，则解得即，则如图所示，若有4个零点，则函数与有4个交点，只有函数的图象开口向上，即当与）有一个交点时，方程有一个根，得，此时函数有二个不同的零点，要使函数有四个不同的零点，与有两个交点，则抛物线的图象开口要比的图象开口大，可得，所以，即实数a的取值范围为故选：B【题目点拨】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出的值，然后将问题转化为函数与有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题10、D【解题分析】根据基本不等式计算求出和的最小值与积的最大值，进而依次判断选项即可.【题目详解】由题意知，，A：，则，当且仅当时取到等号，所以有最小值，故A错误；B：，则，当且仅当时取到等号，所以有最大值，故B错误；C：，则，当且仅当时取到等号，所以有最小值，故C错误；D：，则，有，当且仅当时取到等号，所以有最大值，故D正确；故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据扇形面积公式计算即可.【题目详解】设弧长为，半径为，为圆心角，所以，由扇形面积公式得.故答案为：12、1【解题分析】根据函数解析式，从里到外计算即可得解.【题目详解】，所以.故答案为：113、【解题分析】根据余弦值及角的范围，应用同角的平方关系求.【题目详解】由，，则.故答案为：.14、【解题分析】根据函数图象平移法则和对数函数的性质求解即可【题目详解】将的图象现左平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到的图象，因为的图象恒过定点，所以恒过定点，故答案为：15、【解题分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案【题目详解】根据题意，，则，根据单调性可得先减后增，所以当时，取得最小值2，则有，则，因为为减函数，必有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为．【题目点拨】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．16、0【解题分析】由，得到∴sin∴2sin+4两边都除以，得：2tan故答案为0三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【解题分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.【小问1详解】由题意可知，当时，，当时，，故有；【小问2详解】当时，，即时，，当时，有，当且仅当时，,因为，所以时，，答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.18、（1），（2）（3）【解题分析】（1）联立方程直接计算；（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解；（3）根据二次函数单调性可得参数范围.【小问1详解】当时，，联立方程，解得：或，即交点坐标为和.【小问2详解】由有两个不相等的正数零点，得方程有两个不等的正实根，，即，解得；【小问3详解】函数在上单调递增，在上单调递减；又函数在上不具有单调性，所以，即.19、（1）相交（2）【解题分析】（1）根据条件求得圆心和半径，从而由圆心距确定两圆的位置关系；（2）设，与圆联立得，用坐标表示斜率结合韦达定理求解即可.试题解析：（1）设圆心为，则，（2）联立，，(2)法二：联立假设存在则，故存在)满足条件.20、（1），；（2）.【解题分析】(1)由给定条件列出关于，的方程组，解之即得；(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.【题目详解】（1）由题意可得，解得，，（2）由（1）可得，而，且，于是有，设，，从而得，解得，即，解得，所以满足条件的.21、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）通过证明AB⊥CD，AB⊥CC1，证明A1B1⊥平面CDC1，然后证明A1B1⊥C1D；（2）求出底面△DCE的面积，求出对应的高，即点到底面DCE的距离，然后求解四面体M-CDE的体积，由三棱锥A﹣MDE的体积就是三棱锥M﹣CDE的体积得结论.【题目详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC