基于网络鲁棒性指数的道路网络脆弱性辨识

基于网络鲁棒性指数的道路网络脆弱性辨识

0路网脆弱性的判定道路网络是维持城市正常运作的生命线。由于降雨、下雪以及交通事故等原因,北京、上海等诸多大中城市频繁发生大面积交通瘫痪,充分暴露了中国城市路网交通的脆弱性。例如,2009年10月28日,杭州市文晖路和湖墅南路交叉口附近发生路面塌陷引发的水管破裂,近半个杭州城陷入交通瘫痪,使得抢修车辆难以进入事发地点进行抢修。道路网络脆弱性表现在,某些路段通行能力丧失,将导致该路段车辆排队溢出,引发关联路段车辆连锁排队,进而形成大面积的道路网络堵塞。大面积交通拥堵不仅阻碍了受灾人群的紧急疏散,而且延误了救援人员和物资输送,错过了将灾害损失降至最小的时机。然而值得注意的是,并不是任一路段失效均会造成大面积的交通瘫痪。原因在于,不同路段的失效将导致路网交通功能不同程度的下降,特定的路段失效将导致路网交通大面积破坏。因此,辨识交通网络的脆弱性,判断哪条路段失效会对路网交通运行造成致命破坏,成为提升道路网络防灾减灾能力的前提。为使交通网络防灾减灾规划、应急疏散和救援管理更具预见性和针对性,通过辨识交通网络脆弱性,判定引起路网交通功能严重下降的路段,对于城市交通防灾减灾规划和道路抢修资源分配有着重要的实践意义。随着研究的推进,对道路网络脆弱性的认识不断加深。Berdica认为脆弱性是网络对导致其服务水平大幅下降事件的敏感性,而服务水平就是在给定时段内路段或网络可以被使用的可能性。由于对道路网络的破坏取决于交通灾害的发生概率和后果的严重程度,利用历史数据能掌握灾害发生概率,但是大样本历史灾害数据获取困难,所以用概率来衡量脆弱性难以奏效。Due10bEste等认为脆弱性应该只考虑灾害的后果,即小部分路段失效显著降低节点可达性的严重程度,此处可达性指标即为节点的脆弱性。而Holmgren就将脆弱性直接定义为对危险的敏感性。综上可知:目前关于脆弱性的概念已初步取得共识,即指受到交通灾害引起路网交通功能降低的敏感性。研究路网脆弱性有2种思路。第1种是轮流路段失效方法,即通过扫描方式,轮流失效单条路段,依据交通均衡配流结果评价每条路段受损对交通网络服务能力的影响,通过比较确定脆弱性显著的路段。沿用这一思路,Due10bEste等基于连通性的脆弱性评价方法,比较各路段受损引起的总阻抗值增加值以确定脆弱性路段位置;Sohn等对马里兰交通网络进行了基于可达性的脆弱性路段判定,还根据经济损失脆弱性指标,对NewMadrid地震区域路段进行了脆弱性评价;Jenelius等为了分析道路网络脆弱性,引入了路段重要性的概念及其计算指标,依次断裂每条路段,再根据弹性需求下无约束用户均衡(UE)模型计算路段重要度;Scott等提出了网络鲁棒性指数(NRI),以3个具有不同连接度的网络为例,基于标准的无约束UE模型分别计算其NRI,该方法既考虑了路网的流量和空间性,也兼顾了网络的连通度;Sullivan等进一步引入了修正的鲁棒性指数法和网络旅行脆弱性(NTR)法,这些方法的优势在于可以直接比较具有不同规模、空间拓扑和连通性的网络,因此能用来研究具有孤立路段的运输网络;中国学者最近也开始了探索,刘思峰等提出了重要路段辨识模型。第2种是基于博弈论的分析方法,该方法借鉴了博弈论思想,利用标准的无约束UE模型构造零和博弈,确定对交通网络脆弱性影响最为显著的受损路段位置。Bell等利用博弈论,基于标准的无约束随机的UE模型,提出了最大-最小对偶模型确定路网脆弱性的方法;Pamela等基于博弈论提出了双层网络规划模型来寻找脆弱路段的方法。道路网络发生灾害时往往出现2个最显著的交通现象:其一,路段往往出现车辆超长排队甚至路段排队溢出情形;其二,路段通行能力往往出现不足因而制约着交通流的运行。由于路段上车辆排队的容量以及路段通行能力总是有限的,这就要求面向灾害的道路网络交通流模型必须能考虑这2个约束。而上述研究建立的均为无约束模型,无法描述灾害期间道路网络上这2个最显著特征。因此,为了克服上述研究缺陷,本文中将分析路段的通行能力以及排队容量存在约束的道路网络,引入描述道路网络鲁棒性指数以识别关键路段,通过分析路段的断面通行能力和路段排队容量之间的关系,建立存在约束的网络交通流模型,利用Lagrange对偶算法,把有约束问题转化为无约束问题进行求解。1确定关键路段准确识别路网中的关键路段可以为制定防灾减灾预案和道路网络改造提供决策依据。传统的方法是依据路段饱和度(即流量、通行能力比,V/C)来评估路段的拥挤程度,依据饱和度大小确定道路建设和改造方案。该方法单独考查某条路段并改善该路段,并未考虑改善路段对整个网络的影响。实际上,对某一路段的改造将引起各路段流量发生关联变化,引起相邻路段的饱和度发生变化。因此根据文献,则存在图1所示的局限。图1中仅有1个OD对,从节点1到节点2有2条路段,路段1的通行能力为C=100veh·h-1,流量V=60veh·h-1,则V/C=0.6;路段2通行能力为C=1veh·h-1,流量V=1veh·h-1,则V/C=1。若用流量与通行能力比来衡量,路段2比路段1更拥挤,应优先改善。但是,路段1的流量是路段2的3倍,如果路段2不能通行,路段2的流量仍可以从路段1上通过,反之,路段2却不能分流路段1的流量,否则可能形成堵塞。因此,路段1应该是关键路段。这表明,通过饱和度不一定能得到正确的关键路段,因此需要引入更有效的方法。为了克服上述局限,本文中将路段受损前后路网总阻抗的变化作为受损路段对整个路网的鲁棒性指数来鉴别关键路段。道路网络处于完好状态时,定义初始道路网络的总阻抗为c=∑ataxa,其中,xa和ta=ta(xa)分别表示网络中路段a的流量和阻抗。定义ca为当且仅当断裂路段a后网络的总阻抗,即ca=∑ata′xa′δa,其中,xa′和ta′分别为路段a阻断后网络的流量和阻抗;如果路段a未断裂,则δa=1,否则为0。路段a受损时的道路网络鲁棒性指数Ba为仅当路段a断裂后道路网络总阻抗与初始道路网络总阻抗之差,即Ba=ca-c。可以看到,鲁棒性指数不仅能考虑网络路段的连通性,而且兼顾了道路网络的数量特征和空间拓扑特征。因而,鲁棒性指数方法能反映灾害期间道路网络的功能损失程度。2模型设计2.1假设各路段的划分道路网络受到灾害破坏,在路段上往往出现车辆超长排队现象,这也是灾害条件下道路网络上最显著的交通现象。对此,本文中做出如下几点假设以明确建模条件:(1)假设交通网络中节点连接充分,即每对起讫点之间至少存在1条路径,不存在孤立路段。(2)假设路段上的每辆车均有相同物理长度,其长度不为0,这区别于传统车辆点排队假设(即假设车辆长度为0),更加符合实际情况。(3)假设网络中每条路段的断面通行能力和路段排队容量都是有限的。即每条路段的断面流量不仅不能超过路段通行能力,也不能容纳无限多车辆排队。(4)假设每车道上的车辆单列行驶,即同一车道上不会出现多辆车并列行驶的情形。(5)为了简化灾害对道路所造成的破坏影响,假设路段受损时的断面通行能力完全下降至0。该假设已被许多相关研究所采用,如文献和。2.2算法1:ls+q路段交通流量、通行能力与路段排队容量之间存在密切关系。Vandaele等的研究表明,排队论模型是解析三者间关系的有力工具。利用排队论,文献和便把路段交通流视为M/M/1排队系统和M/G/C/C排队系统。根据文献和可知,无论对于M/M/1或M/G/C排队系统,Little公式Ls=λW始终成立,其中,Ls为系统平均排队长度;W为平均等待时间;λ为顾客平均到达率。类似于文献和,将路段交通流视为如图2所示的排队系统,对其应用Little公式则有L=qt,其中,L为某路段上的车辆总数;t为车辆在该路段上的行驶时间;q为进入路段的流量,取决于路段上的交通流密度。根据假设3,假设路段能够容纳的最大车辆数即路段排队容量为Nmax,并且堵塞密度和路段排队容量之间满足Namax=kjlLa,其中,Namax为路段a的排队容量;kj为路段阻塞密度;l为路段车道数;La为路段a的长度。很显然,路段a上运行的车辆总数总是要小于路段排队容量,即qata≤Namax,即qa≤Namax/ta,其中,qa为进入路段a的流量。另外,路段上的交通流量总是不能超过路段断面通行能力Ca,即qa≤Ca,因此路段流量实际上应该受制于路段容量及道路断面通行能力双约束(以下简称容量及通行能力双约束),即路段a上的流量qa应该满足2.3基于广义路径的出行保障本文中以鲁棒性指数为依据辨识道路网络脆弱性。根据第1节的分析,道路网络鲁棒性指数即为路段失效前后路网总阻抗的变化,那么道路网络脆弱性辨识即确定鲁棒性指数相对较大路段的所在位置。基于此,本文中的研究思路是:依次断裂每条路段以模拟路段通行能力丧失,进而依据UE模型分析路网上的交通流量分布以及路网总阻抗变化。假设路段a失效,则阻断前后路段a失效的鲁棒性指数Ba为路段失效将改变出行者的路径选择。为了获得路段a失效前后的网络总阻抗变化,需要获得道路网络上各个路段的流量分布。本文中采用路段有约束的道路网络用户均衡模型约束条件满足式中:A为路网中所有的路段集合;R和S分别为路网中的所有出行的起点集合和终点集合;qrs为起点r与终点s之间的交通需求量;Prs为起点r与终点s之间的有效路径集合;Oa为对路段a的有效约束,即通行能力和路段排队容量约束的最小值;xa为路段流量;fkrs为有效路径流量。xa与fkrs的关系为如果起点r与终点s之间的路径k通过路段a,则δrsak为1,否则为0。显然,根据文献和,模型是凸规划的。因此模型存在唯一的路段流量分布解。类似于文献中的思路,令分别为式(3),(4)的Lagrange算子(或乘子),则上述模型的1阶最优条件为式中:ckrs为起点r与终点s之间路径k的时间;da为式(4)的算子。对应的广义路径时间珓ckrs为而广义路段旅行时间为上述模型给出了新的用户均衡状态:起讫点间所有被使用路径的广义时间相等且最小。广义路段时间由两部分构成:其一是路段a的阻抗;其二是路段约束作用下均衡排队的等待时间,即对应于式(4)的算子da。由式(13)和式(14)可知,当xa=Oa时,da≥0才成立,即驾驶人除了在路段上花费行驶时间外,还包括愿意付出的排队时间(因为da≥0)。他们可以选择其他没有拥挤的路径,但行驶时间长;选择了拥挤路径,行驶时间可以少些,但在拥挤区段需要付出排队时间。这样,所有被选用的路径才能达到广义时间上的均等。由于所有路段的流量及车辆数都不能超过通行能力以及排队容量约束,这就意味着超出路段排队容量约束的车辆将被转移到其他路段上,这更符合灾害期间的交通状况。事实上,如果令路段旅行时间是式(16),解其对应的无约束均衡交通分配问题,则所得到的流量状态与规划问题[式(2)~(6)]的解是一致的。3增广lagrange对偶算法上述模型是含有不等式约束的交通流分配问题,需要反复迭代求解该问题。为简化求解过程,本文中采用增广Lagrange对偶算法,对路段的能力约束实施惩罚或对偶化,将原有约束问题转变成一系列无约束问题来求解。为此,定义增广Lagrange函数为式中:x为路段流量向量;ρ是惩罚参数(ρ>0);μ向量是对偶约束的Lagrange乘子或算子向量。在式(2)中,μa通过式(18)来更新式(18)表明:在某次迭代中,如果xa>Oa,那么μa在下一步迭代中增大(即加大均衡延误惩罚),从而迫使路段a的阻抗提高,将部分流量转移到其他路径;如果xa<Oa-μa/ρ,那么在下一步的迭代中μa=0,这意味着路段a的约束条件冗余,不会出现排队延误。迭代过程会自动调节μa的值,直到它充分逼近最优的对偶解,也就是正确反映均衡排队延迟。增广Lagrange对偶算法的步骤如下:步骤1:初始化。令ta0=ta(0),ue02fa,置外循环迭代次数j=1,其中,ta0是路段a的零流旅行时间。步骤2:根据初始路段阻抗按最短路的Floyd法算出任意起讫对之间的最短路径,再用“全有全无”法将OD矩阵加载上网得{xaj}。步骤3:计算taj=ta(xaj)。步骤4:找可行方向。根据Floyd法获得最短路径,用“全有全无”法将OD矩阵加载上网,结果可记{yaj}。步骤5:令xaj+1=xaj+(yaj-xaj)/j。步骤6:判断收敛性。若满足,则停止迭代,否则,令j=j+1,转步骤14,直到迭代结束,结果记为x0。步骤7:判断Oa,Oa=min{Ca,Namax/ta}。步骤8:选择初始μ值,如取其中,xa0是x0的分量。再设置ρn(ρn>0),置惩罚迭代次数为n=1。步骤9:求解子问题。求解具有增广路段阻抗函数的无能力约束交通分配问题。步骤10:令νaη=xan-1,置内迭代次数为η=1。步骤11:寻找可行方向。根据,利用Floyd法得出任意起讫对之间的最短路径,基于“全有全无”规则将OD矩阵加载到网络上得到流量矩阵珘ỹaη。步骤12:根据MSA算法置νaη+1=νaη+(珘yaη-νaη)/η。步骤13:如果满足,则停止迭代;否则令η=η+1,转步骤11,直到迭代停止,最终得到辅助路段流量,记为vn={νan}。步骤14:若辅助流量满足max{|νan-Oa|/Oa|μna>0}<ε则停止迭代,并根据xan=xan-1+(νanxan-1)/n更新路段流量,利用相对间隙函数来判断Lagrange对偶算法的收敛性,否则转步骤15。步骤15:更新乘子和惩罚参数。由式μan+1=max{0,μan+ρn(νan-Oa)}计算新的μn+1,新的ρn+1计算式为式中:d为比例系数;γ为放大系数。根据Bertsekas的推荐,取2≤d≤10,γ=0.25。令n=n+1,并以xn={xan}作为下次迭代的初始流量,转步骤9。4不同脆弱性路段的改造和灾物资网络结构算例网络由2个OD对、13个节点和19条路段组成(图3)。路段旅行时间采用BPR函数:ta(xa)=ta0[1+0.15(xa/Ca)4]。路段具体参数见表1;网络上的OD需求为图4为相对间隙函数F随迭代次数增加的变化情况。由图4可以看出,随着Lagrange对偶算法迭代次数的增加,迭代间隙值不断下降。迭代100次以后,已经达到了满意的均衡数值解。可见,Lagrange对偶算法能够快速地求解有约束网络均衡模型。为了考察路段通行能力约束以及排队容量约束对辨识结果的影响,本文中分别给出了考虑路段流量在无约束、通行能力约束、容量及通行能力双约束3种情形下的网络交通流模型。表2为采用这3种模型的脆弱性辨识结果。由表2可知:3种模型均能发现最脆弱3条路段,但是后续脆弱性路段的辨识结果却差异较大。这意味着,在最脆弱的3条路段进行道路改造或投放抗灾物资基本没有差异,但在其他脆弱性路段的改造或防灾资源配备上存在较大的不同。例如,在无约束情形下,路段2排第4,Ba为3.771h·veh;而在另2种情形下,路段2却排在第10和第8,Ba分别为8.128,10.772h·veh;同时有约束模型中排第4的都是路段12,Ba分别为14.361,14.617h·veh。若根据无约束模型,应在路段2处改造,而依据考虑路段通行能力约束的模型,则应在路段12处进行改造,并且改造路段12比改造路段2会有更大的效益(以总阻抗为依据)。因此,有能力约束的模型更有实用价值。实际上,最为合理的应为同时考虑容量及通行能力双约束的模型。原因在于,其不仅确保了分配的路段流量不超过其通行能力,而且还保证了路段上的排队车辆一定不超过路段上车辆排队容量。另外,表2的对比结果也表明,不同的脆弱性辨识模型不仅影响着道路网络脆弱性辨识结果,还关系到路网的防灾改造和抗灾物资投放地点的选择。例如,考虑通行能力约束模型中路段15排在第6位,但在有双约束的模型中排第6的是路段5,路段15排在第7,那么抗灾物资应先投放在路段5处。因为一旦路段5丧失通行能力,其影响将大于路段15。本文中还依据传统的饱和度(V/C)指标,分别给出了无约束网络均衡模型、通行能力约束网络均衡模型以及容量及通行能力双约束网络均衡模型的辨识结果。表3为3种模型得到的平均路段饱和度排序。由表3可以看出:这3种模型均能确定最关键的3条路段(排序不一致),但是剩余路段的辨识结果却有较大不同。对比分析无约束模型和有约束模型的结果发现,前者的平均饱和度均小于后者。这意味着无约束模型低估了交通的拥挤程度,这有可能误导城市道路规划以及交通减灾规划,使得部分交通需求无法得到满足。此外,比较表2和表3的双约束模型结果可知,利用不同的指标得到的关键路段排序结果差异更大。比如路段14和路段4,在表3中路段4位列第2,但根据NRI法路段14远比路段4重要,如果优先改造路段4则会出现图1的现象,反而进一步增加了整体路网的时间损失。原因在于,饱和度指标仅考虑局部拥挤,并未考虑相邻路段乃至整个网络上交通流量的转移,因此产生了不同于NRI法的辨识结果。综上所述,依据传统的饱和度指标难以