2021年陕西省西安市长庆石油勘探局长庆第八中学高三数学理模拟试题含解析

2021年陕西省西安市长庆石油勘探局长庆第八中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（

）A．函数在区间上单调递增 B．图像关于直线对称C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称参考答案：C由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于A中，由，则，则函数在区间上单调递增是正确的；对于B中，令，则，∴函数图像关于直线对称是正确的；对于C中，，则，则函数在区间上先减后增，∴不正确；对于D中，令，则，∴图像关于点对称是正确的，故选C．2.已知是双曲线（）的两个焦点．若双曲线上存在一点P，使得，，成等差数列，则双曲线离心率的取值范围是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知，是非零向量，它们之间有如下一种运算：?=||||sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．给出下列命题：①?=?；②λ（?）=（λ）?；③（+）?=?+?；④⊥??=||||；⑤若=（x1，y1），=（x2，y2），则?=|x1y2﹣x2y1|．其中真命题的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算；2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用新定义直接判断①②的正误；利用向量的运算判断③的正误；利用新定义判断④的正误；利用新定义化简求解判断⑤的正误；【解答】解：∵，是非零向量，它们之间有如下一种运算：?=||||sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于①，?=||||sin＜，＞，?=||||sin＜，＞，∴?=?，∴①正确；对于②，λ（?）=λ||||sin＜，＞，（λ）?=|λ|||sin＜λ，＞，λ≥0时相等，λ＜0时，两式不相等，∴②不正确；对于③，（+）?=?+?，满足加法对乘法的结合律，∴③正确；对于④，⊥，∴sin＜，＞=1??=||||；∴④正确；对于⑤，设和的起点均为O，终点为A、B，=（x1，y1），=（x2，y2），则?=2S△OAB=|x1y2﹣x2y1|．∴⑤正确；正确命题有4个．故选：C．4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：.考点：1、程序框图与算法；5.设，则的值是（

）

A、 B、

C、

D、参考答案：C略6.若集合S={}，T={}，则ST等于（

）A．(-1，2)

B.(0，2)

C．(-1，)

D.(2，)参考答案：D略7.函数的图象（

）A、关于原点对称

B、关于直线y=－x对称

C、关于y轴对称

D、关于直线y=x对称

参考答案：A略8.函数y=的值域为（）A．[0，+∞） B．（0，1） C．[0，1） D．[0，1]参考答案：C【考点】函数的值域．【分析】由题意得0≤1﹣＜1，从而求函数的值域．【解答】解：∵0≤1﹣＜1，∴0≤＜1，即函数y=的值域为[0，1）；故选C．9.某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场，乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（

）A.24种 B.144种 C.48种 D.96种参考答案：D【分析】先安排甲有2种方案，再安排乙和丙有种方案，最后安排剩余的三个演员有种方案，根据分步计数原理可得.【详解】第一步，先安排甲有种方案；第二步，安排乙和丙有种方案；第三步，安排剩余的三个演员有种方案，根据分步计数原理可得共有种方案.故选D.【点睛】本题主要考查计数原理，先明确是利用分步计数原理还是分类计数原理，再求解每一步不同的方案，特殊元素，特殊位置优先考虑安排，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.10.设a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边。已知，c＝2，且asinA＝2bcosAcosC＋2ccosAcosB，则a＝A.1

B.2

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．参考答案：解：设，∵为中点，，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴是三棱锥的高，，∴，，在中，，，∴，，∴．，当且仅当时取等号，∴三棱锥体积的最大值为．故答案为．12.已知函数f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0,则a的取值范围是_______________.参考答案：1<a<

13.已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）?f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥1或a【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】化简所求f（x）?f（1﹣x）≥1为+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），讨论对称轴和区间的关系，列出不等式，解出它们，求并集即可．【解答】解：由于函数f（x）=﹣x，f（x）?f（1﹣x）≥1即为（﹣x）（﹣1+x）≥1，则+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），则上式即为+t﹣a﹣1≥0，即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），对称轴t=﹣a，若a，则区间（0，]为增，则f（0）≥0，即有a2﹣a≥0，解得a≥1；若﹣a即a，则区间（0，]为减，则f（）≥0，即16a2﹣8a﹣3≥0，解得a或a则有a；若0＜﹣a≤，则有f（﹣a）≥0，即有≥0，解得，a∈?．综上可得，a≥1或a．故答案为：a≥1或a．14.已知等比数列的前三项依次为,则

参考答案：15.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则

．参考答案：3/416.设向量满足,,则

参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．1解：∵,,

∴分别平方得两式相减得，

即，故答案为：1．【思路点拨】将等式进行平方，相加即可得到结论．17.若，则

．参考答案：,∴，平方得：，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）数列满足：，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：(Ⅰ)

又,

数列是首项为4,公比为2的等比数列.

既

所以…………6分（Ⅱ）.由(Ⅰ)知：

令赋值累加得,

∴……12分19.某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试．①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图．（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率．②由题意得，ξ=0，1，2，3，分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵第四组的人数为60，∴总人数为：5×60=300，由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300=30人，又为公差，∴第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（Ⅱ）①设事件A=甲同学面试成功，则P（A）=…..②由题意得，ξ=0，1，2，3，，，，，分布列为：ξ0123P…..20.设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2﹣an，数列{bn}满足，b1=2a1，（1）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的通项公式；（3）求数列的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）当n=1时，由a1=S1=2﹣a1，可求a1，n≥2时，由an=Sn﹣Sn﹣1，可得an=与an﹣1之间的递推关系，结合等比数列的通项公式可求an（2）由，可得，结合等差数列的通项公式可求，进而可求bn（3）由（1）（2）可求，利用错位相减求和即可求解【解答】（本小题满分14分）证明：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣a1，解得a1=1．

…当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣an，即2an=an﹣1．∴．

…∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即．

…解：（2）b1=2a1=2．

…∵，∴，即．

…∴是首项为，公差为1的等差数列．

…∴，…（3）∵，则．

…所以，…即，①…则，②…②﹣①得，…（13分）故．

…（14分）【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式、等差数列与等比数列的通项公式的应用，还考查了错位相减求和方法的应用21.已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD（2）若PA=1，求点A到平面PFD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）连接AF，通过计算利用勾股定理证明DF⊥AF，证明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后证明DF⊥PF．（2）通过VA﹣PFD=VP﹣AFD，转化求解点A到平面PFD的距离即可