复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换复习提纲 -w=第一章复变函数、复变数和复变函数fQ）=U（X,y）+iv（X,y）、复变函数的极限与连续极限limf（z）=A连续limf（z）=f（z）0zF0zFz0第二章解析函数、复变函数W=f（z）=u（x,y）+iv（x,y）可导与解析的概念。、柯西——黎曼方程U=V掌握利用C-R方程《X，判别复变函数的可导性与解析性。U=-VyXf'(Z)=—=u+iv= =-iu+V掌握复变函数的导数： SXxxiSy yy=u—iu iv +vX y Xy三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。1、幂函数与根式函数w=Zn=rn（cosθ+iSinθ）n=rn（cosnθ+iSinnθ）=rnemθ 单值函数„ 1 argZ+2k兀w=nz=rnen(k=0、1、2、….、n-1)n多值函数2、指数函数：w=ez=eχ(CoSy+iSiny)性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，（e）'=e（3）以2兀i为周期3、对数函数W=Lnz=ln∣z∣+i（argZ+2kπ）=lnZ+i2kπ （k=0、±1、±2 ）1性质：（1）多值函数，（2）除原点及负实轴处外解析，（3）在单值解析分枝上:（lnZ）'=-kzkeiz+e-iz eiz-e-iz4、三角函数：cosZ=——-——Sinz=--——2 2i性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界5、反三角函数（了解）,- 1r/• 、反正弦函数W=ArcSinZ=二Ln(ιz+v1-Z2)i, L/ ;——7、反余弦函数攻=ArcCoSz=-Ln(z+√z2-1)i性质与对数函数的性质相同。U皿aN物zs=esLnz=es[lnlzl+(2k兀+argz)i]6、一般幂函数：四、调和函数与共轭调和函数：(k=0、±1∙∙∙)i)调和函数:V2U(X,y)=02)已知解析函数的实部(虚部)，求其虚部(实部)有三种方法：a)全微分法b)利用C-R方程C)不定积分法第三章解析函数的积分复变函数的积分 JfQ)dz=JUdx-vdy+iJvdx+Udy存在的条件。ll1、2、l复变函数积分的计算方法沿路径积分：Jf(z›d(zζc闭路积分：a)JfSdzc利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。b)J[u(x,y)+iv(x,y)]dz 利用参数积分方法c三、柯西积分定理：JfQdz=0c推论1：积分与路径无关JfQ›dh=Jz2f(z)dzc z1推论2：利用原函数计算积分Jz2f(z)dz=F(z)—F(z)21z1推论3：二连通区域上的柯西定理JfQdz=JfQdzc1c2推论4：复连通区域上的柯西定理[fQdz=ZJfQdzck=1 ck四、柯西积分公式：f(zX！，筌)WJ1^f(zdd=2兀if(z0)0n! 於)7匕五、高阶导数公式：f)(z)=而JcHd&解析函数的两个重要性质：解析函数fQ)在任一点Z的值可以通过函数沿包围点Z的任一简单闭合回路的积分表示。解析函数有任意阶导数。本章重点：掌握复变函数积分的计算方法沿路径积分JfQ)dz1)利用参数法积分2)利用原函数计算积分。闭路积分JfQ)dz 利用留数定理计算积分。第四章解析函数的级数、幂级数及收敛半径： £a(z-b)nnn=01、一个收敛半径为R(W0)的幂级数，在收敛圆内的和函数f(Z)是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：代)=£naQ-b)n∣z-b]<Rn=1JzfQ›dZz=∑JzaQ-b∖dz=∑0 n=0ln2、收敛半径的计算方法n=0-α^~1Zn+ι∣z-b∣<R1)比值法：R=limIa/a\n n+1n→∞2)根值法：R=1/limnannn→∞、泰勒(TayIor)级数1、如函数f(z)在圆域IZ-b<R内解析，那么在此圆域内f(z)可以展开成Taylor级数f(Z)=£a(Z-b)n=£匈Q-b)

n n!n=0 n=01)展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor级数。2)收敛半径是展开点到f(Z)的所有奇点的最短距离。fn(b)3)展开式的系数可以微分计算：a=^—~nn!4)解析函数可以用Taylor级数表示。2、记住一些重要的泰勒级数：1E="Zn-Zn=03)sinZ=E(-1) Z(2n+1)(2n+1)!ΣZn一n!n=0E(T)4)CoSZ=- Z2n(2n)!n=0三、罗兰(LaUrent)级数如果函数f(Z)在圆环城R1<∣Z-b∣<R2内解析，则f(Z)=ECn(Z-b)nCn=-xɪJfLdZ2RiI(Z-b/+1(n=0、±1、±2 )展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幕级数即为Laurent级数。展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幕级数，通过代数运算把函数展开成Laurent级数。注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。四、孤立奇点1、定义：若b是f(Z)的孤立奇点，则f(Z)在0<∣z-b∣<δ内解析。在此点f(Z)可展开为罗兰级数，f(z)=ECQ一b)=ECQ一b)+ECQ一b)nn=-∞2、分类：nn=∞'可去奇点：无负幂项,ReS[f(Z),b]=0孤立奇点<极点：有限负幂项本性奇点：无穷多负幂项,Res[f(Z),b]=C

[ -1把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-13、极点留数计算n=0na)nn=0如果b是f(Z)的一阶极点，则Res[f(Z),b]=lim(Z-b)f(Z)ZTbb)如果b是f(Z)的m阶极点，则Res[f(Z),b]= lim^m-[Q-bTfQ)(m-11ZTbdZm-1C)如b是fQ)=^p(^的一阶极点，且P(b)≠0，那么ReSP(b)

QWd)Res[f(z),切=-Res[f(1),,0]ZZ2pQ)Qb,b=e)若Z=8是f(z)的可去奇点，并且limf(Z)=0,Z→∞Res[f(Z),∞]=—C=—limzf(Z)—1Z→∞关系：全平面留数之和为零。£ReSfQ)b1+∑ReSfQ)∞]=0kk=1本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。函数在解析圆环城内展开成Laurent级数。孤立奇点(包含Z=∞点)的判定及其留数的计算。第五章留数定理的应用一、J2πR(Sinθ,cosθ》θ0条件：(1)R(sinθ，cosθ)为cosθ与sinθ的有理函数(2)R(•)在［0，2π］或者［-π，π］上连续。令Z=eiθ，贝Usinθ=Z_z-1，cosθ=Z+Z1，dθ=—2i 2 iZJ2πR(Sinθ,cosθdθ=J R0 z=1I高∖JIZ罢JdZ=JZ=1fQZdJZyLZ Z=2πiΣReSfQ)Z1∣Z|<1k=1注意留数是计算单位圆中的奇点。二、J∞fQZdx条件：(1)fQz=pQ)QQ)PQ)QQ)是X的多项式。(2)QQ)≠0(3)分母阶次比分子阶次至少高二次则j∞f(X)dx=2πiΣReSfQ)b1b是f(Z)在上半平面的奇点。kk—∞R=1三、J∞R(X)侬dx (α>0)—∞条件：(1)RQZ=PQ)Q(x)，且QQ)比pQZ至少高一阶,(2)QQ)≠0,(3)α>0I=J∞R(X%ioχdx=2πiΣRes^RQ%iαZ,b-IImb>0k k—∞k=1JSRQ)cosaxdx=ReI-∞,JSRQ)sinaXdX=ImI-∞重点关注第一和第三种类型第七章Fourier变换、傅立叶变换F(ω)=J∞f(X)-jωtdt-∞fQ)=ɪJ∞F(ω∖jωtdω2兀-∞、B函数的傅立叶变换%bQ)]=J∞δ(Xe-jωxdx=1.-∞-J∞ejωXdω=δ(X)

2兀-∞三、一些傅立叶变换及逆变换%[H(X)]=ɪ+πδ(ω)

iω%-1[iω]=H(X)-2四、性质:%LfQ)]=fω1、相似性质%[fQx)]=1F僧]aIa)2、%[fQ土X)]二e±jωX0F(ω)延迟性质0%e+jω0XfQN=F(ω士ω)位移性质03、微分性质%f'(x)]=jωF(ω)%LjXf(X)]=F'(ω)%fQ)(xU=(jω)nF(ω)%[j-Xn)f(X1=CinFg)dωn4、积分性质%JXf(X)dx=-X 一01——F(ω)

Jω由Fourier变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier变换求解微积分方程。四、卷积和卷积定理f(X)*f(X)=J∞f(τ)f(XY)dT1 2 -∞1 2%[f(X)*f(X)]=F(ω)F(ω)

1 2 1 27[f(X)f(X)]=ɪF(ω)*F(ω)1 2 2兀1 2*五、三维Fourier变换及反演本章重点：利用定义计算Fourier变换第八章Laplace变换、拉普拉斯变换上[fQ)]=ffQe-Ptdt=F(P)0、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换乂H()]=1乂一ιɪ=HQ)P \_PXL±αt]=——i——X-11-——-——]=e干atP干aIp±aXIcosat]=p/ X-ι/P2+a2PP2+a2=cosatXISinat〕=a/ XT——a =sinat/P2+a2 P2+a2X[tm]=mV X[δQ)I=1JPm+1四、拉普拉斯变换的性质1、X[f(t-1)]=e-Pt0F(P)02、XL+P0tf(t)]=F(P士P)03、X[f()]=PF(p)-f(0)XfQU=P2F(P)-Pf(0)-f,(0)XduF(p)dpn4、XJtfQ)dt=-F(P)L0 」PX[2dt]=JcoF(P)dp五、卷积：f(t)*fQ)=Jf)fQ-t)dτ1 2 01 2X[fIQ)*f2Q)]=F1(P)F2(P)六