信号与系统第二章连续时间系统的时域分析

第2章连续时间系统的时域分析主讲教师：卢亚玲

系统分析的任务:在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。

连续信号与系统的时域分析:是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。

系统时域分析法包含两方面内容：微分方程求解；利用单位冲激响应求系统输出零状态响应。2.1系统的数学模型及系统响应的时域求解(微分方程建立、复习解法、重点说明解的物理含义)2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应的物理含义2.3卷积及其性质2.4用算子符号表示微分方程§2.1系统数学模型的建立和微分方程求解2.1.1、R.L.C上的e(t)~i(t)1.电阻数学模型2.电感数学模型3.电容数学模型4、求和5、分支2.1.2LTI连续时间系统的数学模型一、电路微分方程的导出：

列方程的基本依据：

1、元件特性约束：ＶＣＲ方程。

2、网络拓扑约束：KCL、KVL方程。

列方程的基本方法：节点分析法和回路分析法。例2-1、图2-1所示为RLC并联电路，求并联电路的端电压与激励源间的关系图2-1对整个电路，根据基尔霍夫电流定律有代入它们的数学表达式并化简得到电路的数学模型是常系数的微分方程结论：LTI系统可以用常系数的微分方程来描述二、LTI系统的输入-输出方程的一般形式

式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均为常数。什么是起始状态、初始条件响应区间：激励信号加入之后系统状态变化的区间。一般把激励加入的时刻定为t=0所以系统的响应区间为注意：这就是系统响应r(t)的定义域起始状态：系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态称为系统的起始状态（0-状态）注意：时刻点是0-包含系统的全部过去信息初始条件：系统在激励信号加入后瞬间有一组状态称为系统的初始条件（0+状态）注意：时刻点是0+，它是系统响应区间内的一组状态，所以用它来确定完全响应中的常数三微分方程的解（一）、经典法：（P45—47）全解分解：全解=齐次解+特解方法：Step1:由特征方程求特征根得齐次解通式；Step2:由输入定特解；Step3:由初始条件定通解的常数,求出全解。step1.齐次解

齐次解满足齐次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0得到n个根λ1，λ2，…，λn

(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解(2―11)(2―12)n阶微分方程的齐次解的系数n个系数由初始条件确定

例2―2求微分方程的齐次解。y″(t)+3y’(t)+2y(t)=f(t)解：由特征方程：λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1，λ2=-2。因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2e-2t

例2―3求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=-1，因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2te-t

Step2:特解

特解的函数形式与激励函数的形式有关。

表2―1列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解，具体步骤如下：(1)由激励查表2-1(书上P46表2-2)试选特解(2)将激励代入原方程右边，整理得自由项；并将试选特解代入原方程左边(3)根据方程两端对应幂次的系数应相等，即可解出中待定系数Pi

表2―1激励函数及所对应的解例2―4若输入激励f(t)=e-t，试求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。解:查表2―1，因为f(t)=e-t，α=-1与一个特征根λ1=-1相同，因此该方程的特解将特解yp(t)代入微分方程，有Step3:求出完全解

完全解是齐次解与特解之和

（1）如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为(2―15)（2）

当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个根均为单根时，方程的全解为(2―16)如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为式(2―15)，将给定的初始条件分别代入到式(2―15)及其各阶导数，可得方程组y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)

…

y(n-1)(0)=λ1n-1c1+λ2n-1c2+…+λnn-1cn+y(n-1)p(0)解方程组，由此可求出要求的待定常数ci(i=1,2…n)例2―25求微分方程r″(t)+3r′(t)+2r(t)=f(t)的齐次解,若输入激励f(t)=e-t,试求微分方程的特解。设

求系统的全解解：由特征方程解得特征根因此该方程的齐次解

查表2―2（P46），因为f(t)=e-t中α=-1，与一个特征根λ1=-1相同，因此该方程的特解

所以系统的全响应为用初始条件确定常系数：由初始条件得到一组方程组解得：全解：经典法解的意义：系统的自由响应系统的强迫响应特征根称为系统的固有频率或自由频率、自然频率，它决定了自由响应的全部形式只与激励函数的形式有关表示解区间由起始状态(0-状态)求初始条件(0+状态)方法一：根据元件特性约束和网络拓扑约束与换路定理求初始条件P57例2-6方法二：冲激函数匹配法当系统已有微分方程时使用该法。

冲激匹配法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。

例2-6已知系统微分方程式为给定0-状态起始值r(0-),确定它的0+状态r(0+)解：由于动态方程式右侧存在冲激信号δ’(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧r’(t)也必须含有δ’(t)。所以设将r′(t)代入方程得到解得：a=3,b=-9,c=27所以该方法要注意两个问题：第一，注意△u(t)的意义1.时刻为0-到0+时刻；2.在这段时间具有单位阶跃信号的函数特点，所以其微分是单位冲激信号，而其积分第二，冲激函数匹配法的关键是设出响应最高阶的表达式：响应的最高阶=方程右端最高阶及其依次积分项的线性叠加。冲激函数匹配法也是对微分方程右端含有冲激函数或其各阶导数的方程求解的方法。

（二）零输入响应和零状态响应系统的全解分解成：零输入响应：（zero—inputresponse）没有外加激励信号的作用下，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。Thezero—inputresponseistheresponsethatexistsduetoinitialcondition(orinitialstate)alonewiththeinpute(t)=0.零输入响应的解的形式：它是齐次解的一部分，其常系数由起始状态确定零输入响应满足方程及起始状态的解。零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用下（起始状态为零），由系统外加激励信号所产生的响应。Thezero--stateresponsecomponentduetosourcesorinputs.零状态响应满足方程及起始状态

零状态响应的解的形式：它含有齐次解的一部分及强迫响应。零状态响应的求解：时域解法同经典法解方程；

卷积法系统全解为：（三）瞬态响应和稳态响应Definition:当时，响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应，保留下来的那部分分量称为稳态响应。例2-2中全部都是瞬态分量，稳态分量为0总结：由于研究方法和目的的不同可以有不同的解的分解形式。全解＝零输入响应＋零状态响应＝暂态响应＋稳态响应(transientresponse)+(steady-stateresponse)＝自然响应＋强迫响应(naturalresponse)+(forceresponse)

2.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应1、冲激响应定义：Impulseresponse,denotedh(t),ofafixed,linearsystemassumedinitiallyunexcited,istheresponseofthesystemtoaunitimpulseappliedattimet=0.

冲激响应是系统对单位冲激信号输入时的零状态响应。记为：可见，冲激响应满足：（1）微分方程：（2）起始条件：2、冲激响应的时域求解：将冲激响应分解成：方程右边在时都等于零解特征方程，注意：当时，与齐次解的形式相同当时，由特征方程解的特征根得的是齐次解。其中还应含有冲激响应及其相应的各阶导数。求得的中还有待定系数，待定系数由确定二.阶跃响应1、阶跃响应的定义：Stepresponseisazerostateresponseofafixed,linearsystemtoaunitstepfunctionappliedattimet=0.阶跃响应是系统对单位阶跃信号输入时的零状态响应。阶跃响应记作g(t)。2、阶跃响应和冲激响应的关系：3、阶跃响应的求解方法一：用求解零状态响应的方法。方法二：利用与的关系求解。三、冲激响应的重要意义1、任意信号都可以用冲激信号的组合表示2、线性时不变系统的输入与其相应零状态响应之间的关系（1）设系统变换为T[]，系统输入为，则系统的零状态响应为：（2）设系统变换为T[]，系统输入为，则系统的零状态响应为：系统变换的变量是t系统是线性时不变系统所以有称为卷积系统的单位冲激响应可以表示系统特性，单位冲激响应的性质可以表示系统的因果性和稳定性，它是分析LTI系统的重要手段。2.3卷积积分2.3.1卷积的定义

设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，我们将积分定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为即

式中，τ为虚设积分变量，积分的结果为另一个新的时间信号。积分限根据f1(t)和f2(t)的作用时间范围而变化2.3.2卷积的图解机理

信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。第二步，将f2(τ)波形反褶，得到f2(-τ)波形。第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0时，波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。

第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是式(2.2-1)卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。例2.3–1给定信号求y(t)=f1(t)*f2(t)。图2.2–1f1(t)和f2(t)波形图2.2–2卷积的图解表示当t<0时，对任一τ，乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。当0<t<3时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(d)所示。当t>3时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在0<τ<3范围内，乘积f1(τ)f2(t-τ)不为零，故有

当t<0时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(c)所示，对任一τ，乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。当0<t<3时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(d)所示。

当t>3时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在0<τ<3范围内，乘积f1(τ)f2(t-τ)不为零，故有

2.3.3卷积的性质(一)时移性质和卷积代数

1.时移f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0)

=f1(t-t0-t1)*f2(t)

=f1(t)*f2(t-t0-t1)(2.3-7)

令τ-t0=x，代入上式，得

同理可证式(2.5-7)的其它形式。当f1(t)、f2(t)、f3(t)分别满足可积条件时，一些代数性质也适合卷积运算。证

2.交换律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)(2.3-8)图2.3-3交换律的实用定义3.分配律f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3