自考00020高等数学（一）密训高频考点汇总

1第二章极限与连续 3第三章导数与微分 5第四章微分中值定理和导数的应用 6第四章微分中值定理和导数的应用 7第六章多元函数微积分 9第一章函数知识点名称一元二次方程★未知量x满足的形如ax2+bx+c=0(a干0)的方程称为一元二次方程，Δ=b2-4ac称为此方程2Δ>0时，方程有两个不同的实根x2a; 2a.时，方程有一个二重实根时，方程有一对共轭虚根x=b2a; -b+i2a,若记一元二次方程的两个根分别为x1,x2，则有2,x1x2.理★★若记一元二次方程的两个根分别为x1,x2，则有：aa（简单计算题）二元一次方程组★两个未知函数x,y满足〈lax+2y时，方程组有唯一解，两直线相交；时，方程组有唯一解，两直线相交； c2时，方程组无解，两直线平行 c2时，方程组无解，两直线平行； c2集合★A与B的交集（AnB）A与B的并集（AUB）B在A中的余集A\B{x|xeA且xeB}{x|xeA或xeB}一些逻辑符号★设p,q是两个判断，若（1）p成立可断定q也成立，则称p能推出q或说p蕴含q，记作p牵q；（2）p牵q成立，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件；（3）p牵q和q牵p同时成立，则称p与q等价或互为的充分必要条件，记作p常q隐函数的定义★由变量x,y满足的方程确定的函数y=f(x)称为隐函数.函数图形的概念★函数y=f(x),x=D的图形指的是xOy平面上的点集{(x,y)y=f(x),x=D}周期函数★设函数f(x)的定义域为R，若存在正数T>0，使得对任意的x=R都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)是一个周期函数，T称为函数f(x)的周期.一般说的周期指的是最小正周期.反三角★y=arcsinx是y=sinx在区间-,上的反函数，定义域为[-1,1]，值域为-,，在定义域上单调增加；反余弦函数y=arccosx的定义域为[-1,1]，值域为[0,π]；反正切函数则它存在逆映射ߨD）→D①直接函数的单值性无法保证其反函数的单值性，但如果是单调函数那么可以保证其单值ߨ（y）与指数函数★xyx+y,aaxaa,,aa1a.对数函数★logaaxay,log x yx-logy,logaxr=rlogax,logbxlogbaa，a，基本初等函数★常见的六类函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数.常数函数y幂函数y=指数函数y对数函数y三角函数：主要有以下正弦函数y余切函数y6个：=sinx；余弦函数y=cos=cotx；正割函数y=secx；正切函数y=tanxx；余割函数y=cscx此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。（6）反三角函数：主要有以下6个：反正弦函数y=arcsinx；反余弦函数y=arccosx；反正切函数y=arctanx反余切函数y=arccotx；反正割函数y=arcsecx；反余割函数y=arccscx四则运算★★全微分的近似计算：Δz~dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy第二章极限与连续知识点名称函数在一点的极限★★★定义1设函数f(x)在x0的某个去心邻域Nx0内有定义，A是一个常数.若对任意的ε>0，总存在δ>0，使得当xeNx0且0<0xx0<<δf(x)一A<ε成立，则称函数f(x)limf(x)=A在x喻x0时的极限是limf(x)=A函数在一点的极限与限的关系★定理1设函数f(x)在点x0附近有定义，则fx)=Alim一f(x)=Ax喻x0，且x喻x0.数列的极限★★★设{an}是一个无穷数列，当下标n越来越大时，其对应的值an越来越接近一个常数A，而且可以无限接近，我们称数列{an}的极限是A，记作limalimann喻伪存在时，称数列{an}收敛；当极限an不存在时，称数列{an}发散.函数极限的性质★1.极限值的唯一性limf(x)limf(x)=A定理1若极限x喻x0存在，则其值唯一.定理1说明，如果x喻x0f(x)=B，则A=B.2.函数在极限存在点附近的有界性lim定理2若极限x喻x0函数ff(x)存在，则函数f(x)在x0的一个去心邻域内有界.一个去心邻域内有界指的是：存在M>0，δ>0，使得对任意的xe(x0δ,x0)u(x0,x0+δ)都有f(x)<Mlimf(x).定理2说明：如果x喻伪存在，存在M>0，X>0使得对任意的xe(-伪,Xf(x)<M.定理2反映的是极限存在点附近函数的局部有界性，对数列来说，结论为：定理3若极限件.limann存在，则数列{an}有界.定理3说明，数列有界是数列收敛的必要条3.函数极限的保号性定理4若极限ff(x)在x0的一个去心邻域内大于零；若在x0的一个去心邻域内f(x)之0，且极限f(x)存在，则f(x)之0.定理4说明，利用极限值的正、负号，可得到函数在极限点附近（除去极限点）的正、负号；另一方面说明，极限值的正、负号不能与函数极限点附近（除去极限点）的值的正负号相反.注意:当函数f(x)满足：在x0的一个去心邻域内f(x)>0，且极限f(x)存在时，结论limf(x)之0limf(x)>0仍为x喻x0，而不是x喻x0.复合函数的极限★若x喻x0，u喻u，则x喻xu喻u.limg(x)=ulimf(u)=Alimf(g若x喻x0，u喻u，则x喻xu喻u.无穷小量的概念★limf(x)=0x喻x,则称函数f(x)在x喻x0时是一个无穷小量，记作)指的是：当x无限趋于x0时，其对应的函数值无限趋于0.无穷大量的概念★1定义2若函数f(x)在x喻x0时是一个无穷小量，则称函数f(x)在x喻x时是一个无穷大量，记limf(x)=伪作x喻x.当x无限趋于x0时，若fx)>0且无限趋于0，则称函数f(x)在x喻x0时是一个正无穷大量，记作x喻x.作x喻x.当x无限趋于x0时，若fx)<0且无限趋于0，则称函数f(x)在x喻x0时是一个负无穷大量，记作limf(x)=-伪.从无穷大量的定义可看出：无穷大量的倒数是同一极限过程中的无穷小量，非零无穷小的倒数是同一极限过程下的无穷大量.无穷大运算的结论：（1）有界变量与无穷大量之和是无穷大量；（2）两个无穷大量之积是无穷大量；（3）有限个无穷大量之积是无穷大量.及其分类★★★定义3若函数f(x)在点x0处不连续,则称x0为f(x)的间断点.根据函数在间断点处左、右连续的情况,可将间断点分类：（1）第一类间断点若函数f(x)在点x0处的左、右极限均存在，但不连续,则称x0为f(x)的第一类间断点.在第一类间断点中，可分为可去间断点和跳跃间断点.（2）第二类间断点若函数f(x)在x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称x0为f(x)的第二间断点.第三章导数与微分知识点名称基本初等函数的导数公式★★★★★(tanx),=sec2x(cotx),=csc2x(secx),=secx.tanx(cscx),=cscx.cotx(ax),=axlnaaxlnaaxlna函数在一点处的导数★★★定义1设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（x0+Δx也在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)一f(x0)；若Δy与Δx之比当Δx喻0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数，记为f,(x)，f,(x)=limΔy=limf,(x)=limΔy=limf(x+Δ（2）若=伪(这时导数是不存在的),为叙述方便,我们称f(x)在点x0的可导为无穷大.（3）若令x=x+Δx,则Δx喻0时,有x喻x0,说明导数也可简述为差商的极限.f,(x0)=limf(x)一f(x0)x喻xxx0，这是导数定义的另一种形式,（4）导数y,|x=x是函数在点x0处的变化率,它反应了函数随自变量的变化而变化的快慢程度.若函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导，就称函数f(x)在开区间I内可导.对于任一xEI，都对应着f(x)的一个确定的导函数值.构成的这个新的函数称为原函数y=f(x)的导函数,记作y,,f,(x),,).把常用导数定义式中的x0换成x，得到导函数定义式,y=limf(x+Δx)f(x)f,(x)=f(x+一f(x)函数在一点处可导与连续的★定理1若函数y=f(x)在点x处可导,那么函数在该点处必连续.定理1表明:函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件,但不是充分条件,即函数在某点连续却不一定可导;若不连续一定不可导.函数在一点处的微分★定义3设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这个区间内，如果增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示为y=AΔx+o(Δx).其中A是不依赖于Δx的常数,那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而AΔx叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即第四章微分中值定理和导数的应用知识点名称罗尔定理★★费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）.罗尔定理若函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)值相等，即,那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f,(ξ)=0.拉格朗★★若函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f,(ξ)(b-a)成立.推论1若函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数.推论2若函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f,(x)与g,(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内之多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,xe(a,b).函数的最值及其应用★取得最值的位置——对于可导函数f(x)而言，其在区间[a,b]上的最值要么在区间端点取得，f,(x0)=0.要么在区间(af,(x0)=0.（1）求出f(x)在(a,b)内f,(x)=0和f,(x)不存在的点，记为x1,x2,…,xn.（2）计算函数值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b).（3）函数值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b)中的最大者为最大值，最小者为最小值.凹凸性和拐点★★★【判别凹凸性的充分条件】设函数fx在I上二阶可导。①若在I上f''x＞0，则fx在I上的图形是凹的；②若在I上f''x＜0，则fx在I上的图形是凸的。【二阶可导点是拐点的必要条件】【判别拐点的充分条件】数存在，且在该点的左右邻域内f''x变号，则点（x0，fx0）为曲线上的拐点。渐近线★★★★水平渐近线x喻﹢∞x喻﹣∞)，则y＝y0为一条水平渐近线。x喻﹢∞x喻﹣∞铅直渐近线斜渐近线x喻﹣∞的一条斜渐近线；x喻﹣∞的一条斜渐近线；x喻﹢∞x喻﹣∞x喻﹢∞x喻﹣∞x喻﹢∞x喻﹣∞供给弹性★定义3已知某商品的供给函数Q=g(p)在点p0处可导,p表示价格，Q表示供应量.Q0p0称为该商品在p0与p0两点间的供给弹性,Δp喻0Q0p00称为该商品在p0处的供给弹性,记作ε(p)|=ε(p)=g)g,(p).一般而言,供给量Q是价格p的增函数,因此ε(p0)一般是正值.拉格朗★★★若函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)一f(a)=f,(ξ)(b一a)成立（简单计算题）洛必达法则求极限★★★ሻ （计算题、综合题）第四章微分中值定理和导数的应用知识点名称罗尔定理★★费马定义了驻点，称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）.罗尔定理若函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f,(ξ)=0.拉格朗★★若函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f,(ξ)(b-a)成立.推论1若函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数.推论2若函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f,(x)与g,(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内之多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,xe(a,b).函数的最值及其应用★取得最值的位置——对于可导函数f(x)而言，其在区间[a,b]上的最值要么在区间端点取得，要么在区间(a,b)内的点x0取得，这时有f,(x0)=0.（4）求出f(x)在(a,b)内f,(x)=0和f,(x)不存在的点，记为x1,x2,…,xn.（5）计算函数值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b).（6）函数值f(a),f(x1),f(x2),…,f(xn),f(b)中的最大者为最大值，最小者为最小值.凹凸性和拐点★★★【判别凹凸性的充分条件】设函数fx)在I上二阶可导。①若在I上f''x＞0，则fx在I上的图形是凹的；②若在I上f''x＜0，则fx)在I上的图形是凸的。【二阶可导点是拐点的必要条件】设f''x0存在，且点（x0，fx0）为曲线上的拐点，则f''x0)=0【判别拐点的充分条件】数存在，且在该点的左右邻域内f''x)变号，则点（x0，fx0)）为曲线上的拐点。0x≠0，则（x0，渐近线★★★★水平渐近线x喻﹢∞x喻﹣∞y0为一条水平渐近线。x喻﹢∞x喻﹣∞铅直渐近线斜渐近线x喻﹣∞x喻﹢∞的一条斜渐近线；x喻﹣∞x喻﹣∞的一条斜渐近线；x喻﹢∞x喻﹣∞x喻﹢∞x喻﹣∞供给弹性★定义3已知某商品的供给函数Q=g(p)在点p0处可导,p表示价格，Q表示供应量.Q0p0称为该商品在p0与p0两点间的供给弹性,Δp喻0Q0p00称为该商品在p0处的供给弹性,记作ε(p)|=ε(p)=g)g,(p).一般而言,供给量Q是价格p的增函数,因此ε(p0)一般是正值.拉格朗★★★若函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)一f(a)=f,(ξ)(b一a)成立（简单计算题）洛必达法则求极限★★★（计算题、综合题）第六章多元函数微积分知识点名称多元函数的概念★定义1设有三个变量x,y和z，如果当变量x,y在某一区域D内任取一组值时，变量z按照一定的法则f都有唯一的数值与之对应，则称f是D上的二元函数，记为z=f(x,y),x,yex,ye.其中变量x,y称为自变量，变量z称为因变量，x,y的取值区域称为二元函数的定义域.对于D上任意一点(x0,y0)，对应的因变量z的取值z0=f(x0,y0)称为函数在点(x0,y0)处的函数值，函数