现代控制系统课件第3章

第三章线性控制系统的能控性和能观性Chapter3本章知识点2023/10/913.1能控性的定义3.2线性定常系统的能控性判别3.3线性连续定常系统的能观性3.4离散时间系统的能控性与能观性3.5时变系统的能控性与能观性3.6能控性与能观性的对偶关系3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8线性系统的结构分解3.9传递函数阵的实现问题3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的概念，是卡尔曼在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。2023/10/92----卡尔曼（RE.Kalman)美籍匈牙利人，是现代控制理论的主要奠基人之一。

首先引入状态空间分析法，提出能控能观、最优调节器、卡尔曼滤波、最优控制的反问题等。2023/10/933.1能控性的定义1．线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统：如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。2023/10/94

系统的控制作用能否支配系统状态,即能控性问题系统输出能否反映系统的状态,即能观性问题2023/10/95几点说明：1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指定为零状态。即2)也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间[t0,tf]内，能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情况下，称为状态的能达性。2023/10/963)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将x(t0)驱动到x(tf)，而不计较x的轨迹如何。2．线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统：其能控性的定义与定常系统的定义相同，但是A(t)和B(t)是时变矩阵而非常系数矩阵，其状态矢量x(t)的转移，与初始时刻t0的选取有关，所以在时变系统能控性定义中，应强调在t0时刻系统是能控的。2023/10/973．离散时间系统这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：其中u(k)是标量控制作用，它在(k,k+1)区间内是一个常值，其能控性定义为：若存在控制作用序列u(k),u(k-1),…u(l-1)能将第k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即x(l)=0,其中l是大于k的有限数，那么就称此状态是能控的。

若系统在第k步上的所有状态x(k)都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。2023/10/983.2线性定常系统的能控性判别线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型(

)，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A

阵和B

阵，确定其能控性。3.2.1具有约旦标准型系统的能控性判别1．单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：2023/10/99或式中即n个互异根2023/10/910

为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以剖析。(3)(4)(5)2023/10/9111)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为：明显可见，不受u控制，顾状态不完全能控的，因而为不能控系统。2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：2023/10/912可见虽然与u（t）无直接关系，但它与是有联系的，而却是受控于u（t）的，所以不难推断（4）式的系统是状态完全能控的。3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分子方程组为：可见，x2不受u（t）d的控制，而我为不能控的。2023/10/9132．具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为：1)若令x=Tz，则上式可变换为约旦标准型2)可以证明，系统的线性交换不改变系统的能控性条件3)据此，可以推得一般系统的能控性判据如下：2023/10/914系统矩阵A特征值互异，可转化为对角阵的形式，此时系统能控性的重充要条件是对应的控制矩阵T-1B的各行元素没有全为0的。系统矩阵A特征值有相同的，可转化为约旦阵的形式，此时系统能控性的重充要条件是：①在T-1B中对应相同特征值的部分，它与每个约当块最后一行相对应的一行的元素没有全为0的。②T-1B中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的。2023/10/9154)应指出，A的特征值相同时，其对应的特征矢量也有可能是互异的，故能变换为对角线性。因此，在J=T-1AT中，将出现两个以上与同一特征值有关的约旦块。在这种情况下，我们不能简单第按上述3）的判据确定系统的能控性。不加证明地说，在这种情况下，对于单输入系统是不能控的，对于多输入系统则尚需考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关，若它们线性无关，系统才是能控的。16例

分析下列系统的状态能观测性（1）（2）17（3）2023/10/9183.2.2直接从A与B判别系统的能控性其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵：线性连续定常单输入系统：满秩，即rankM=n。否则，当rankM<n时，系统为不能控的。2023/10/919例：解：

上式是一个三角形矩阵，其对角线元素为1，可以证明，无论a1,a2

为何值，此矩阵均为满秩，故给定系统为状态完全能控的。2023/10/9203.3.1能观性定义3.3线性连续定常系统的能观性能观性所表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即如果对任意给定的输入u,在有限观测时间tf>t0,使得根据[t0,tf]期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0),则称状态x(t0),是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。2023/10/9213.3.2定常系统能观性的判别

定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性，另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。1．转换成约旦标准型的判别方法线性时不变系统的状态空问表达式为：2023/10/922现分两种情况叙述如下：(1)A为对角线矩阵系统用方程组形式表示，有2023/10/923(2)A为约旦标准型矩阵这时，状态方程的解为：从而2023/10/924

由上式可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。2023/10/925

约旦标准型系统具有串联型的结构，如图所示：

充要条件：输出矩阵C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为零。26例

分析下列系统的状态能观测性（1）（2）27（3）（4）2023/10/9282．直接从A、C阵判断系统的能观性线性定常系统为完全能观测rankN=n。其中，n为矩阵A的维数，此矩阵称为能观性矩阵，或称为（A,C）对，当N满秩，则称（A,C）为能观性对。2023/10/9293.4离散时间系统的能控性与能观性3.4.1能控性矩阵M离散时间系统的状态方程如下：当系统为单输入系统时，式中u（k）为标量控制作用．控制阵h为n维列矢量；G为系统矩阵（n×n）；x为状态矢量（n×1）。仿照连续时间系统，记以离散时间系统有解的充要条件是能控性矩阵M的秩等于n。例

设单输入线性离散系统的状态方程为试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。解

系统是能控的

令

若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。2023/10/9323.4.2能观性矩阵N离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。式中,y为m维列矢量；C为m×n输出矩阵。

根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出y（t），就能唯一地确定任意初始状态矢量x（0），则系统是完全能观的，现根据此定义推导能观性条件。上式，有：2023/10/933

若系统能观，那么在知道y(0),

y(1),

…y(n-1)时，时，应能确定出x(0)=[x(0),

x(1),

…x(n]T，现从可得：x(0)有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于n。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。2023/10/934记为2023/10/9353.5时变系统的能控性与能观性3.5.1能控性判别1.有关线性时变系统能控性的几点说明1)定义中的允许控制u(t)，在数学上要求其元在[t0,tf]区间是绝对平方可积的，即这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。2)定义中的tf

，是系统在允许控制作用下，由初始状态x(t0)转移到目标状态(原点)的时刻。2023/10/9363)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。4)非奇异变换不改变系统的能控性。5)如果x0是能控状态，则αx0也是能控状态，α是任意非零实数。上式说明，如果系统在t0时刻是能控的，则对于某个任意指定的非零状态x0，满足上述关系式的u(t)是存在的。2023/10/9376)如果x01和x02是能控状态，则x01+x02也必定是能控状态。7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间，记为Xc。2023/10/938n维连续时间线性时变系统时变系统秩判据设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使2023/10/9392．线性连续时变系统的能控性判别时变系统的状态方程如下：系统在[t0,tf]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵是非奇异的。2023/10/9403.5.2能观性判别1．有关线性时变系统能观性的几点讨论1)时间区间[t0,tf]是识别初始状态x(t0)所需要的观测时间，对时变系统来说，这个区问的大小和初始时刻t0的选择有关。2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。2023/10/9413)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。4)如果x(t0)是不能观测的，α为任意非零实数，则αx(t0)也是不能观测的。5)如果x01和x02是不能观的，则x01+x02也是不能观的。6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子空间，称为不能观子空间，记为。2023/10/942只有当系统的不能观子空间在状态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。2．线性连续时变系统能观性判别时变系统系统在[t0,tf]上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵是非奇异的。2023/10/9433.5.3连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系众所周知，一个矩阵：式中，hi(t0,t)为列矢量，当且仅当由H(t0,t)构成的格拉姆矩阵为非奇异时，hi(t0,t)(i=1,2,…n)列矢量是线性无关的。2023/10/944因此，有这个矩阵的列矢量线性无关与非奇异等价。进而，时变系统与定常系统的能控性判据是形异而实同，是一脉相承的，格拉姆能控性矩阵是（A,B）对能控性矩阵的一般形式。2023/10/9453.6能控性与能观性的对偶关系

能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。2023/10/9463.6.1线性系统的对偶关系两个子系统若满足下述条件，则上述两个子系统是互为对偶的。2023/10/9472023/10/9483.6.2对偶原理系统和是互为对偶的两个系统，则的能控性等价于的能观性，的能观性等价于的能控性。或者说，若是状态完全能控的(完全能观的)，则是状态完全能观的(完全能控的)。2023/10/9493.6.3时变系统的对偶原理

时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复杂得多。

对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到其对偶系统能观性方面的结论。2023/10/9503.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.7.1单输入系统的能控标准艰

对于一般的n维定常系统：如果系统是状态完全能控的，即满足：1．能控标准Ⅰ型若线性定常单输入系统是能控的，则存在线性非奇异变换：2023/10/951使其状态空间表达式化成：其中2023/10/9522023/10/953称形如上式的状态空间表达式为能控标准Ⅰ型。其中为特征多项式的各系数。2023/10/9542.能控标准Ⅱ型若线性定常单输入系统：是能控的，则存在线性非奇异变换：式中2023/10/9552023/10/956并称形如上式的状态空间表达式为能控标准Ⅱ型。其中为特征多项式的各系数。亦即系统的不变量。式中的是相乘的结果，即2023/10/9573.7.2单输出系统的能观标准型

与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即有：系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型，它们分别与能控标准Ⅰ型和能控标准Ⅱ型相对偶。2023/10/9581．能观标准Ⅰ型若线性定常系统：是能观的，则存在非奇异变换：使其状态空间表达式化成：其中2023/10/9592023/10/960

称形如上式的状态空间表达式为能观标准Ⅰ型。其中是矩阵A的特征多项式的各项系数。取变换阵：直接验证，或者用对偶原理来证明。2023/10/9612．能观标准Ⅱ型若线性定常单输出系统：是能观的，则存在非奇异变换：2023/10/962使其状态空问表达式变换为：其中称形如上式的状态空间表达式为能观标准Ⅱ型。2023/10/9633.8线性系统的结构分解3.8.1按能控性分解设线性定常系统是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：则存在非奇异变换：2023/10/964将状态空间表达式变换为：其中($)2023/10/965

可以看出，系统状态空间表达式变换为式($)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中n1维子空间：是能控的，而n-n1维子系统：是不能控的。2023/10/966对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为u对不起作用，仅作无控的自由运动。显然，若不考虑(n-n1)维子系统，便可得到一个低维的能控系统。2023/10/967至于非奇异变换阵：其中n个列矢量可以按如下方法构成，前n1个列矢量R1,R2,…Rn1是能控性矩阵M中的n1个线性无关的列，另外的n-n1个列Rn+1

,…,Rn

在确保Rc为非奇异的条件下，完全是任意的。2023/10/9683.8.2按能观性分解设线性定常系统：其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵的秩2023/10/969则存在非奇异变换：将状态空间表达式变换为：其中2023/10/9702023/10/971可见，经上述变换后系统分解为能观的n1维子系统：和不能观的n-n1维子系统：结构图如下。显然，若不考虑n-n1维不能观测的子系统，便得到一个n1维的能观系统。2023/10/972非奇异变换阵R0是这样构成的，取2023/10/9733.8.3按能控性和能观性进行分解1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性和能观性进行结构分解．但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。2023/10/9743)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成相应的子系统。2023/10/9753.9传递函数阵的实现问题3.9.1实现问题的基本概念对于给定传递函数阵

W(s)，若有一状态空间表达式∑：使之成立则称该状态空间表达式∑为传递函数阵W(s)的一个实现。2023/10/9763.9.2能控标准型实现和能观标准型实现3.7节已经介绍，对于一个单输入单输出系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。本节介绍如何将这些标准型实现推广到多输入多输出系统。为此，必须把m×r维的传递函2023/10/977数阵写成和单输入单输出系统的传递函数相类似的形式，即式中，为m×r维常数阵；分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。

显然W(s)是一个严格真有理分式的矩阵，且当m=r=1时，W(s)对应的就是单输入单输出系统的传递函数。2023/10/978对于式形式的传递函数阵的能控标准型实现为：2023/10/979与此类推，其能观标准型实现为：式中，0m和Im为m×m阶零矩阵和单位矩阵；m为输入矢量的维数。2023/10/9803.9.3最小实现1.最小实现的定义传递函数W(s)的一个实现：如果W(s)不存在其它实现：（@）使的维数小于x的维数，则称式(@)的实现为最小实现。2023/10/9