2022-2023学年江西省彭泽县高一下学期7月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省彭泽县高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集的结论求解．【详解】因为，所以．故选：C．2．下列各角中与终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接由终边相同角的表示可得解.【详解】与终边相同的角是，故选：D.3．若是线段的中点，则（

）A． B． C． D．以上均不正确【答案】C【分析】由相反向量的定义及向量加法计算即可．【详解】因为是线段的中点，所以和是相反向量，所以，故选：C．4．在中，“”是“为钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用余弦定理可知时，为钝角，推得充分性成立；举反例推得必要性不成立，从而得解.【详解】充分性：当时，，又，所以是以为钝角的钝角三角形；必要性：当为钝角三角形时，取，则，又，故为钝角，但不成立，故不满足必要性.所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：A5．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再解方程即可；【详解】解：所以解得或，由知故选：B6．已知向量，将向量绕坐标原点O逆时针旋转角得到向量（），则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意得到四边形OACB为菱形，且，由两边之和大于第三边判断A选项，利用余弦定理求出B选项，利用模的平方求出模的范围，判断C选项，利用数量积为0判断D选项.【详解】由题意得：，四边形OACB为菱形，且，由两边之和大于第三边，可得：，A正确；因为，所以，故，所以，B正确；，则，，则，故，C错误；，故，D正确.故选：C7．《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除.之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径，公式为，如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得体积公式，由此计算出体积.【详解】依题意，故，其中是球的半径.所以球的体积为.故选：D8．已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，若其侧棱上的八个三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意转化为求一个正棱台的外接球半径，根据正棱台中的直角梯形（或直角三角形）求得棱台的高，外接球的半径，从而计算球表面积．【详解】如第一个图所示，正四棱锥中，其侧棱上的八个三等分点构成正四棱台，且正方形的边长为2，正方形的边长为4；正四棱台中，设、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高．

，，在直角梯形中，，由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，若在线段上（如第二个图所示），由得，因为，，所以方程无实数解，因此在的延长线上（如第三个图所示），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面积为．故选：D【点睛】方法点睛：本题考查立体几何图形的综合应用.几何体的外接球问题要善于寻找球心，通过图形关系求解半径进而求解外接球的表面积或体积.二、多选题9．在复平面内，下列说法正确的是（

）A．实轴上的点表示的数均为实数B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数D．若为实数，则为纯虚数【答案】AC【分析】根据复数的分类和实轴、虚轴的性质进行逐一判断即可.【详解】A：因为实轴上的点表示的数均为实数，所以本选项说法正确；B：因为虚轴上的点（除原点外）表示的数均为纯虚数，所以本选项说法不正确；C：根据共轭复数的定义可知：共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以本选项说法正确；D：当时，，而是实数不是纯虚数，所以本选项说法不正确，故选：AC10．为了得到函数的图象，只要将函数的图象（

）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的D．向左平移个单位长度，纵坐标不变，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来【答案】AC【分析】化为同名函数后，根据图象变换判断．【详解】对于AB：因为，所以将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故A正确，B错误；对于CD：将的图象向左平移个单位长度，得到，然后将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.故C正确，D错误；故选：AC．11．如图所示的各个向量中，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】直接建立坐标系，写出各向量的坐标，依次判断4个选项即可.【详解】如图，建立直角坐标系：易知，，故，A正确；，B错误；，C正确；，D错误.故选：AC.12．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（

）

A．若函数，则函数的最小值为B．的最大值为C．在方向上的投影向量为D．【答案】AB【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A正确；取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，

设，在中，根据余弦定理可得，，整理得到，，，，设，对选项A：，，所以，所以，所以当时，函数有最小值为，A正确；对选项B：取的中点，则，，则，，两式相减得：，由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大，又，所以，所以，所以的最大值为，B正确；对选项C：，，所以，即投影向量为，C错误；对选项D：因为，，所以，又，所以，D错误.故选：AB三、填空题13．若且，则．【答案】【分析】先根据平方关系及商数关系求出，再利用两角差的正切公式即可得解.【详解】因为且，所以，所以，则.故答案为：.14．已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=.【答案】【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值.【详解】由，又A，C，D三点共线，所以且，则，可得.故答案为：15．函数的最小正周期为【答案】【分析】首先化简函数，再根据周期公式求周期.【详解】，函数的最小正周期.故答案为：16．如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为.

【答案】/【分析】作出相关面的外心，利用面面垂直的性质、勾股定理以及正弦定理即可得到答案.【详解】作出底面的外心，侧面的外心，取中点，连接，因为平面平面，面平面，因为是边长为2的等边三角形，所以，又因为平面，所以平面，由球的性质可得平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，故，在中，因为，，则，设的外接圆半径为，根据正弦定理有，则，设三棱锥外接球的半径为，则，则外接球的表面积为.故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用正弦定理与球的截面性质求得的外接圆半径与，从而利用勾股定理即可得解.四、解答题17．已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)5(2)【分析】先求出，结合切弦互化即分式的分子、分母同时除以或即可.【详解】（1）由，解得.原式；（2）原式.18．已知复数（是虚数单位）．(1)求复数的共轭复数；(2)若，求、的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得出；（2）利用复数的除法和复数相等可得出关于、的方程组，即可解得、的值.【详解】（1）解：，所以z的共轭复数．（2）因为，即，也即，所以，解得．19．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，对人群的心血管安全构成威胁．国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度是否健康．某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民的体检数据，得到相应的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的中位数；(2)现利用分层抽样的方法，从样本两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．【答案】(1)，23(2)【分析】（1）依据频率分布直方图意义求出，可得满足频率恰为0.5的位置；（2）求出按照分层抽样在、抽取的人数，利用列举法和古典概型概率计算公式可得答案．【详解】（1）依据频率分布直方图意义，得，即，∴,∵的频率之和为0.2，而的频率为0.4，∴满足频率恰为0.5的位置为；（2）由频率直方图知的频数为16，的频数为32，按照分层抽样抽取6人，则在抽取2人，编号为1，2．在抽取4人，编号为3，4，5，6．从6人随机抽取2人，样本空间为：，设事件“从6人抽取2人的数值不在同一组”，则故，∴两人的值不在同一组的概率为．20．已知函数的图象如图所示.

(1)求函数的解析式；(2)若函数的图象在区间上恰好含10个零点，求实数b的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由图象确定函数周期求得，再利用特殊点坐标代入函数表达式，可求得，即得答案；（2）函数的图象在区间上恰好含10个零点转化为与的图象在区间上恰好含有10个交点，结合正弦函数的性质列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意可得，的最小正周期为，故，又图象过点，故，则，即，而，故，所以；（2）由（1）知，令，由，得，因为函数的图象在区间上恰好含10个零点，等价于与的图象在区间上恰好含有10个交点，设，即与的图象恰有10个交点，故，即.21．如图，两点都在河的对岸（不可到达），为了测量两点间的距离，在两点的对岸选定两点，测得，并且在两点分别测得，，，，

(1)求两点间的距离；(2)设与相交于点，记与的面积分别为，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦理定依次求得，再利用余弦定理即可求得，由此得解；（2）在中，利用正弦定理求得，再在与中，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，又，所以由，得，在中，，，所以，则.（2）在中，，，则，由，得，，所以在中，，，则，在中，，，则，所以.22．如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.

(1)当为线段的中点时，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；(2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由.【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）(2)存在，【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质可推导出平面，可得出，利用勾股定理可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（ii）取的中点为，的中点为，连接、、，计算出点到平面的距离以及线段的长，即可得出直线与平面所成角的正弦值；（2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，是二面角的平面角，计算出三边边长，利用勾股定理求出的值，即可得出结论.【详解】（1）（i）由题意，四边形为直角梯形，且，，所以，所以，取的中点，连接，则且，且，故四边形为矩形，则，且，所以，又由，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，，则，所以，又，、平面，所以平面.

（ii）取的中点为，的中点为，连接、、，过在平面内作垂直于，垂足为，又平面平面，平面平面，，所以平面，为的中点，所以，所以平面，平面，所以，又因为，，、平面，所以平面，平面，所以，，平面，得平面，因为，，，所以，由等面积法可得，延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点，

设点到平面的距离为，直线与平面所成