2022-2023学年江西省宜春市高安市高一下学期7月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省宜春市高安市高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．集合，，则=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由交集与补集的定义求解即可.【详解】因为集合，所以，所以.故选：B.2．化简的结果为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用根式的运算性质即可得出答案.【详解】，.故选：D3．已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案.【详解】因为，，所以，解得.故选：C.4．已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（

）A．； B． C． D．【答案】B【分析】求出与向量共线的单位向量即可得解.【详解】，，与共线的单位向量是，故选：B5．函数在一个周期内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由正切函数的图象与性质判断，【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A6．某三角形直观图是面积为2的等边三角形，则原三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解法一：根据斜二测法画直观图的步骤，把给出的直观图还原回原图形，然后直接利用三角形的面积公式求解；解法二：根据斜二测画法中直观图与原图形面积的关系求解．【详解】解法一：把边长为的正三角形还原回原三角形如图，

过作垂直于轴于，因为△是边长为的正三角形，所以，过作平行于轴交轴于，则，所以对应的原图形中的点在平面直角坐标系下的纵坐标为，即原三角形底边上的高为，所以．因为三角形的面积为，所以，所以，解法二：由题意直观图是面积为2的等边三角形，即面积为，所以原图形的面积为．故选：C．7．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别在，及应用正弦定理求解.【详解】在中，则在中，因为，所以因为，所以，故.故选：C.8．两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出辅助线，找到球心的位置及点在平面上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球的半径，进而得到球的表面积.【详解】取的中点，连接，因为正三角形与的边长为4，所以⊥，⊥，且，故为二面角的平面角，，所以是等边三角形，取的中点，连接，则⊥，，，因为⊥，⊥，，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，取的中心，则点在上，且，故，则球心在点正上方，连接，过点作⊥于点，则，设，则，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半径，故球O的表面积为.故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．长度相等的向量是相等向量B．零向量的长度等于0C．共线向量是在同一条直线上的向量D．向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件【答案】BD【分析】根据相等向量、零向量、共线向量的定义，结合必要不充分条件的定义逐一判断即可.【详解】相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故A说法错误；B说法显然正确；共线向量可以是在同一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故C说法错误；A，B，C，D四点共线⇒向量共线，反之不成立，所以向量共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故D说法正确.故选：BD10．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】AC【分析】根据周长和面积公式列方程，即可求解、，进而可求解圆心角.【详解】设扇形的半径和弧长分别为、，则由题意可知：，解得或，所以圆心角的弧度数为或.故选：AC11．若，则复数在复平面内对应的点可能在（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】分与两种情况下得到余弦和正弦值的正负，得到答案.【详解】当时，，故复数在复平面内对应的点在第三象限，当时，，故复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：CD12．已知正方体的棱长为4，点分别是的中点则（

）A．直线是异面直线 B．平面截正方体所得截面的面积为C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的内切球的体积为【答案】ACD【分析】对于A，根据异面直线的概念即可判断；对于B，利用平面基本性质作出截面图形，从而可以判断；对于C，利用等体积法求解锥体体积即可判断；对于D，利用体积分割法求出锥体的内切球的半径，代入球的体积公式即可判断.【详解】对于A，如图，取的中点，连接，取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，又因，所以直线是异面直线，故A正确；

对于B，如图，延长交于点，连接交点，连接，因为为的中点，则，所以为的中点，因为，所以为的中点，则，因为，所以为平行四边形，所以，所以，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，在等腰梯形中，，则梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，故B错误；

对于C，连接，则，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又因为为的中点，所以三棱锥的高为，，所以，故C正确；

对于D，由题意，三棱锥为边长的正面体，设其内切球的球心为，半径为.则，又，所以，解得，则三棱锥的内切球的体积为，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．已知，则【答案】/0.5【分析】利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案.【详解】由题意得：.故答案为：.14．在中，，，，若是的重心，则.【答案】7【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解.【详解】如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设，∵，，∴，∵，解得，∴∵是的重心，延长交于点，则为中点，所以,∴，,∴.故答案为：7

15．如图，平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，若，，则矩形的面积为．

【答案】12【分析】根据斜二测画法与原图的联系直接计算.【详解】因为平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，，，所以矩形中，，，所以矩形的面积为.故答案为：1216．已知，.有下列四个说法：①的一个正周期为；②在上单增；③值域为；④图象关于对称.其中，所有正确说法的序号是.【答案】①③④【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.【详解】对于①，因为，所以①正确；对于②，当时，，此时，又，所以在单调递增，因为，为偶函数，所以在单调递减，故②错误；对于③，因为，所以值域为，故③正确；对于④，因为，所以图象关于对称.故答案为:①③④.四、解答题17．（1）化简；（2）已知，.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用诱导公式计算可得；（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】（1）；（2）因为，所以.18．已知，，复数，且，复数在复平面上对应的点在函数的图像上.(1)求复数；(2)若为纯虚数，求实数的值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用复数的四则运算，得到，再根据条件得到，又由题设知，从而求出得到结果；（2）利用（1）中的结果和复数的除法，再结合条件即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，对应的点为，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19．已知向量．(1)若，求λ的值；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解；（2）根据题意，利用向量垂直的坐标表示列出方程求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】（1）解：由向量，因为，所以，解得．（2）解：由题意得，向量，，由，可得，则，即，解得或，因为，所以，可得，所以．20．在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角；(2)若外接圆的半径为，求面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）先根据展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出，进而得出角的值.（2）根据题意和正弦定理可得出边长a的值，再由第一问和余弦定理得出b和c的关系，结合基本不等式即可求出面积的最大值.【详解】（1）由得，，所以，又，所以，所以，因为，所以；（2）由外接圆的半径为，则得，由余弦定理得，，即，所以，解得.所以，故面积的最大值为.21．如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）.

(1)若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；(2)若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）先证明面面平行，利用面面平行的性质得到线线平行，进而得出的长度；（2）利用四棱锥的体积求出高，找到二面角的平面角，结合直角三角形的知识可得答案.【详解】（1）取的中点,连接,因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，，平面，所以平面平面；因为平面平面,平面平面,所以，即为的中点，所以.（2）由图1可知，等腰梯形的高为，所以四边形的面积为；因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于，因为三角形的高为，所以平面平面；取的中点,连接,由图1可知，均为等边三角形，所以,，且;因为,所以平面，因为平面，所以；由图1可知，所以是二面角的平面角，因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以为直角三角形；在中，，所以，即二面角为.

22．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.(1)求的解析式；(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出表达式，根据图像的变换写出变换后的解析式，根据偶函数的条件求参数；（2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解；（3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围.【详解】（1）由，得，则则为偶函数，于是轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以，又，所以，故.（2）因为，所以，故，，而恒成立，即，