2022-2023学年江西省宜春市高一下学期6月期末数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省宜春市高一下学期6月期末数学试题一、单选题1．已知集合，，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案.【详解】因为，所以，或，当时，，满足集合元素的互异性，满足要求；当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当时，，，与集合元素的互异性矛盾，舍去.故选：A.2．角是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据条件，再利用终边相同角的集合即可求出结果.【详解】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，又是第二象限角.故选：B.3．已知球的半径是3，则该球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据球的体积公式计算可得.【详解】因为球的半径，所以球的体积.故选：D4．向量（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量加减法的运算法则求解即可．【详解】．故选：D.5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.【详解】由，得，解得.故选：B6．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函数图像变换规则解题即可.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到图象对应的函数解析式为，将的图象向左平移个单位得到的图象对应的解析式为.故选：B.7．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得.【详解】因为向量与的夹角为，且，，所以，所以在方向上的投影向量为.故选：C8．三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点为，连接，证得平面.找出外接圆的圆心为，求出.设为三棱锥外接球的球心，，，在以及中，根据勾股定理，列出关于的关系式，求解得出的值，根据球的面积公式，即可得出答案.【详解】如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接.因为，，中点为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面.设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面.因为，，所以，，，.设，，过作交于点，连接，则，.又平面，，在中，有.又在中，有.所以，有，解得，所以，.所以，三棱锥外接球的表面积为.故选：B.【点睛】关键点睛：找出外接圆的圆心，根据面面垂直的性质定理得出平面的垂线，过作垂线的平行线，可知球心在该条线上.二、多选题9．下列说法中，错误的是（

）A．两个复数不能比较大小B．在复数集内，的平方根是C．是虚数的一个充要条件是D．若是两个相等的实数，则是纯虚数【答案】ACD【分析】ACD选项，可举出反例，B选项，可根据得到B正确.【详解】A选项，当两个复数的虚部为0时，两个复数为实数，可以比较大小，A错误；B选项，在复数集内，，故的平方根是，B正确；C选项，不妨设，此时为实数，则，满足，故C错误；D选项，不妨设，，不是纯虚数，D错误.故选：ACD10．已知向量，，，设的夹角为，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据向量的坐标运算得到，，计算，A错误，，正确，与不平行，C错误，计算夹角得到D正确，得到答案.【详解】设，，则，，故，，解得，，故，，对选项A：，故，错误；对选项B：，故，正确；对选项C：，故与不平行，错误；对选项D：，正确；故选：BD.11．已知圆锥的高为1，母线长为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（

）A．圆锥的体积为B．圆锥侧面展开图的圆心角大小为C．圆锥截面SAB面积的最大值为D．若圆锥的顶点和底面圆周上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为【答案】ABD【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径，体积，侧面展开图的弧长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论．【详解】解：因为圆锥的高为1，母线长为2，所以圆锥的底面半径为，高为，则：对于A，圆锥的体积，故A正确；对于B，设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，则，，故B正确；对于C，，因为截面的面积为：，当时，截面的面积最大，，故C错误；对于D，圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球，设圆锥外接球半径为，由球的性质可知：，即，解得，所以外接球的体积．故D正确．故选：ABD.12．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（

）

A．若的周长为2，则∠MCN的正切值等于1B．若的面积为，则∠MCN正切值的最小值为C．若的周长为2，则的最小值为D．若的面积为，则的最大值为【答案】ABC【分析】的周长为2时，求得∠MCN的正切值判断选项A；求得的最小值判断选项C；的面积为时，求得∠MCN的正切值的最小值判断选项B；求得的最大值判断选项D.【详解】当的周长为2时，延长至P，使，连接.则，则，，又,则，则,又由，可得，则，则

选项A判断正确；以A为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系，则，，则,当的周长为2时，，由，可得（当且仅当时等号成立）则则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立），故的周长为2，则的最小值为.选项C判断正确；当的面积为时，，即，则（当且仅当时等号成立），则（当且仅当时等号成立）.故的面积为时，则的最大值为1.选项D判断错误；由，可得由，可得，，则，又，则故的面积为时，∠MCN正切值的最小值为.选项B判断正确.

故选：ABC三、填空题13．若，则.【答案】【分析】根据诱导公式得到，结合同角三角函数关系和正弦二倍角公式求解.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：14．已知，，与平行，则实数的值为.【答案】【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以，又与平行，所以，解得.故答案为：15．已知函数的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值是.【答案】7【分析】根据正弦型函数的最小正周期列不等式即可得答案.【详解】函数的最小正周期，解得则正整数k的最小值是.故答案为：.16．在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为.【答案】/【分析】先由球的表面积求得其半径，再利用球的截面性质求得的外接圆的半径，从而求得的取值范围，进而求得二面角正切值的取值范围，由此得解.【详解】依题意，设的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，则，则（负值舍去），因为平面，，所以，即，则（负值舍去），因为，所以为的外接圆的直径，即，过作交于，连接，如图，

设，则由，得，故，得，当且仅当时，等号成立，故由三角形面积相等得，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，则，即二面角正切值的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用基本不等式求得的取值范围，再推得为二面角的平面角，从而得解.四、解答题17．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）在所求分式的分子、分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值；（2）利用诱导公式化简所求代数式，结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式.（2）解：原式.18．已知为虚数单位，复数．(1)若复数满足，求的虚部；(2)设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据复数相等可得答案；（2）求出，根据复平面内表示复数的点位于第二象限可得答案．【详解】（1）设，则由可得，整理得，所以，解得，，所以的虚部为；（2），因为复平面内表示复数的点位于第二象限，所以，即的取值范围为．19．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.

(1)用向量与表示向量；(2)若，求证：三点共线.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.【详解】（1）是的中点，；.（2），与平行，又与有公共点，三点共线.20．如图，在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，求证：

(1)平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，证明出线线平行，得到线面平行；（2）利用锥体体积公式进行求解.【详解】（1）取中点G，连接EG，BG，因为为的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，故，因为G为的中点，F为中点，所以因为，所以四边形为平行四边形，故，所以，因为平面，平面，所以；

（2）因为，又⊥平面，且，则．21．为进一步落实国家乡村振兴政策，某网红村计划在村内一圆形地块中种植油菜花，助推乡村旅游经济．为了让油菜花种植区与观赏路线布局合理，设计者们首先规划了一个平面图，如图所示，与是油菜花种植区，其中，（不计宽度）是观赏路线．在四边形中，，，.

(1)若时，求路线的长；(2)当时，求路线的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得；（2）在中求出，在中，由正弦定理求得，进而得，利用两角和的余弦公式求得，在中，由余弦定理可得.【详解】（1）因为四边形ABCD内接于圆，又，所以，在中，由余弦定理得：所以．在中，由余弦定理得：即，即，所以(舍)或．

（2）因为四边形ABCD内接于圆，，则，因为，故．由（1）知，在中，，则，所以在中，由正弦定理得，即，所以，因为，所以，所以．在中，由余弦定理得：，所以.22．已知，，其中，函数的最小正周期为.(1)求函数的单调递增区间；(2)若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示，结合三角恒等变换化简，可得到表达式，利用函数周期求得参数，即可得函数解析式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；（2）将化简整理，从而将恒成立问题转化为函数最值问题，即分离参数后得，对恒成立，令，从而可构