辽宁省抚顺市一中2024届数学高一上期末综合测试试题含解析

辽宁省抚顺市一中2024届数学高一上期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的最大值与最小值分别为()A.3，－1 B.3，－2C.2，－1 D.2，－22．长方体中，，，则直线与平面ABCD所成角的大小A. B.C. D.3．若a，b是实数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（）A.－1<a<1 B.0<a<2C.－<a< D.－<a<5．四棱柱中，，，则与所成角为A. B.C. D.6．已知全集,集合,则A. B.C. D.7．函数在一个周期内的图象如图所示，则其表达式为A. B.C. D.8．在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（）A.众数 B.平均数C.标准差 D.中位数9．棱长分别为1、、2的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为A. B.C. D.10．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.12．已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）13．函数最大值为__________14．已知，则函数的最大值是__________15．锐角中,分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________16．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知二次函数fx（1）当对称轴为x=-1时，（i）求实数a的值；（ii）求f（x）在区间-2,2上的值域.（2）解不等式fx18．计算或化简：（1）；（2）19．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）20．求值：（1）（2）2log310＋log30.8121．已知向量，满足，，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】分析：将化为，令，可得关于t的二次函数，根据t的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，设，则，根据二次函数性质当时，y取最大值2，当时，y取最小值.故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为的形式，根据角的范围求解.2、B【解题分析】连接，根据长方体的性质和线面角的定义可知：是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用锐角三角函数知识可以求出的大小.【题目详解】连接，在长方体中，显然有平面ABCD，所以是直线与平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本题选B.【题目点拨】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力.3、B【解题分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【题目详解】由可得；但是时，不能得到.则是的必要不充分条件故选：B4、C【解题分析】根据新定义把不等式转化为一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得结论【题目详解】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得，故选:C.5、D【解题分析】四棱柱中，因为,所以,所以是所成角，设,则,+=,所以,所以+=,所以，所以选择D6、C【解题分析】由集合,根据补集和并集定义即可求解.【题目详解】因为,即集合由补集的运算可知根据并集定义可得故选:C【题目点拨】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题.7、A【解题分析】由图象得，周期，所以，故又由条件得函数图象的最高点为，所以，故，又，所以，故函数的解析式为．选A8、C【解题分析】分别求两个样本的数字特征，再判断选项.【题目详解】A样本数据是：，样本数据是：，A样本的众数是48，B样本的众数是50，故A错；A样本的平均数是，B样本的平均数是，故B错；A样本的标准差B样本的标准差，，故C正确；A样本的中位数是，B样本的中位数是，故D错.故选：C9、A【解题分析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为，故体积为，选A.10、D【解题分析】在定义域每个区间上为减函数，排除.是非奇非偶函数，排除.故选.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据二分法，取区间中点值，而，，所以，故判定根区间考点：二分法【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间12、【解题分析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【题目详解】，，所以故答案为：13、3【解题分析】分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案为3.点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.14、【解题分析】由函数变形为，再由基本不等式求得，从而有，即可得到答案.【题目详解】∵函数∴由基本不等式得，当且仅当，即时取等号.∴函数的最大值是故答案为.【题目点拨】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.15、【解题分析】由已知条件可得，，再由正弦定理可得，从而根据三角形内角和定理即可求得，从而利用公式即可得到答案.【题目详解】，由得，又为锐角三角形，，又，即，解得，.由正弦定理可得，解得，又，，故答案为.【题目点拨】三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化16、1【解题分析】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有，，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（i）-13；（ii）（2）答案见解析.【解题分析】（1）（i）解方程(a+1)2a=-1即得解；（（2）对a分类讨论解不等式.【小问1详解】解：（i）由题得--(a+1)（ii）fx=-1所以当x∈-2,2时，ff(x)所以f（x）在区间-2,2上的值域为[-5【小问2详解】解：ax当a=0时，-x+1≥0,∴x≤1；当a>0时，(ax-1)(x-1)≥0,∴x当0<a<1时，不等式解集为{x|x≥1a或x≤1}当a=1时，不等式的解集为R；当a>1时，不等式的解集为{x|x≥1或x≤1当a<0时，(ax-1)(-x+1)≤0,∴x所以不等式的解集为{x|1综上，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤1}当0<a<1时，不等式的解集为{x|x≥1a或当a=1时，不等式的解集为R；当a>1时，不等式的解集为{x|x≥1或x≤1当a<0时，不等式的解集为{x|118、（1）（2）1【解题分析】（1）根据指数幂的运算算出答案即可；（2）根据对数的运算算出答案即可.【小问1详解】【小问2详解】19、（1）（2）3333辆/小时【解题分析】（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时20、（1）（2）4【解题分析】（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果.试题解析：(1)，(2)2log310＋log3