2024届湖南雅礼中学高一上数学期末学业质量监测试题含解析

2024届湖南雅礼中学高一上数学期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.2．下列不等式中成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3．函数的零点所在的一个区间是（）A. B.C. D.4．函数的图象可能是A. B.C. D.5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.6．已知，，则的值为（）A. B.C. D.7．下列命题中正确的是（）A.第一象限角小于第二象限角 B.锐角一定是第一象限角C.第二象限角是钝角 D.平角大于第二象限角8．将函数（）的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则（）A.5 B.C.4 D.9．已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（）A. B.C. D.10．下表是某次测量中两个变量的一组数据,若将表示为关于的函数,则最可能的函数模型是234567890.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算_____________.12．已知，，且，则的最小值为________.13．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是__________14．无论取何值，直线必过定点__________15．已知，则的值为______16．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是B，点和点的中点是E，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．义域为的函数满足：对任意实数x,y均有，且，又当时，.（1）求的值，并证明：当时，；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.18．已知函数fx=2sin（1）求fx（2）若fx在区间-π619．已知函数是定义在R上的奇函数（1）用定义法证明为增函数；（2）对任意，都有恒成立，求实数k的取值范围20．某单位安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1，为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为，记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和（1）写出y关于x的函数表达式；（2）求x为多少时，y有最小值，并求出y的最小值21．已知函数是函数图象的一条对称轴.（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的取值集合；（2）求在上的单调递增区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【题目详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，，据此可知选项B错误.故选：A.【题目点拨】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项2、B【解题分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.【题目详解】A.若，则错误，如时，，所以该选项错误；B.若，则，所以该选项正确；C.若，则，所以该选项错误；D.若，则，所以该选项错误.故选：B3、B【解题分析】判断函数的单调性，再借助零点存在性定理判断作答.【题目详解】函数在R上单调递增，而，，所以函数的零点所在区间为.故选：B4、C【解题分析】函数即为对数函数，图象类似的图象，位于轴的右侧，恒过，故选：5、B【解题分析】分析：利用函数的单调性即可判断.详解：因为函数为偶函数且在(−∞,0)上单调递减，所以函数在(0,+∞)上单调递增，由于，所以.故选B.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系6、C【解题分析】分析可知，由可求得的值.【题目详解】因为，则，因为，所以，，因此，.故选：C.7、B【解题分析】根据象限角的定义及锐角、钝角及平角的大小逐一分析判断即可得解.【题目详解】解：为第一象限角，为第二象限角，故A错误；因为锐角，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；因为钝角，平角，为第二象限角，故CD错误.故选：B.8、C【解题分析】先由函数图象平移规律可得，再由为偶函数，可得（），则（），再由可得出的值.【题目详解】由题意可知，因为为偶函数，所以（），则（），因为，所以.故选：C.9、B【解题分析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可.【题目详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足，解得.故选：B.10、D【解题分析】对于，由于均匀增加，而值不是均匀递增，不是一次函数模型；对于，由于该函数是单调递增，不是二次函数模型；对于，过不是指数函数模型，故选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果【题目详解】由题意得故答案为：【题目点拨】易错点睛：本题考查三角恒等化简，本题的关键是通分后用正弦的差角公式，在由化成时注意角的顺序，这是容易出错的地方，考查运算能力，属于中档题.12、12【解题分析】，展开后利用基本不等式可求【题目详解】∵，，且，∴，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12故答案为：1213、【解题分析】，，中点坐标为，圆的半径以为直径的圆的标准方程为，故答案为.14、【解题分析】直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，由求得x=﹣3，y=3，可得直线经过定点（﹣3，3）故答案为（﹣3，3）15、2【解题分析】根据给定条件把正余弦的齐次式化成正切，再代入计算作答.【题目详解】因，则，所以的值为2.故答案为：216、【解题分析】先利用对称性求得点B坐标，再利用中点坐标公式求得点E坐标，然后利用两点间距离公式求解.【题目详解】因为点关于平面的对称点是，点和点的中点是，所以，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析；(2)或.【解题分析】(1)利用赋值法计算可得，设，则，利用拆项：即可证得：当时，；(2)结合(1)的结论可证得是增函数，据此脱去f符号，原问题转化为在上恒成立，分离参数有：恒成立，结合基本不等式的结论可得实数的取值范围是或.试题解析：(1)令，得，令，得，令，得，设，则，因为,所以;(2)设，

,

因为所以，所以为增函数,所以,

即,上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或.18、（1）π；单调递减区间是π3+kπ,5π【解题分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果（2）由（1）知fx=sin2x-π【题目详解】解：（1）由己知，有f=-=3所以fx的最小正周期：T=由π2得fx的单调递减区间是π（2）由（1）知fx=sin所以2x-π要使fx在区间-π6即y=sin2x-π所以2m-π6所以m的最小值为π3【题目点拨】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题19、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）根据函数单调性定义及指数函数的单调性与值域即可证明；（2）由已知条件，利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，然后分离参数，利用基本不等式求出最值即可得答案.【小问1详解】证明：设，则，由，可得，即，又，，所以，即，则在上为增函数；【小问2详解】解：因为任意，都有恒成立，且函数是定义在R上的奇函数，所以对恒成立，又由（1）知函数在上为增函数，所以对恒成立，由，有，所以对恒成立，设，由递减，可得，所以，当且仅当时取得等号，所以，即的取值范围是.20、（1）（2）当时，y有最小值为3.【解题分析】（1）根据y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后每年向自来水公司缴水费之和即可建立函数模型；（2）利用均值不等式即可求解.【小问1详解】解：由题意，