2024届湖北武汉市华中师大一附中高一上数学期末经典试题含解析

2024届湖北武汉市华中师大一附中高一上数学期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列命题中，其中不正确个数是①已知幂函数的图象经过点，则②函数在区间上有零点，则实数的取值范围是③已知平面平面，平面平面，，则平面④过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若有，则点是的内心A.1 B.2C.3 D.42．已知，则的大小关系为A. B.C. D.3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.4．函数，则的最大值为（）A. B.C.1 D.5．函数y＝的单调增区间为A.（-，） B.（，+）C.(－1，] D.[，4）6．若集合，集合，则（）A.{5，8} B.{4，5，6，8}C.{3，5，7，8} D.{3，4，5，6，7，8}7．已知，则（）A.－ B.C.－ D.8．已知是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为（）A. B.C. D.9．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（）A. B.C. D.10．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（）A. B.1C. D.2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域为_______________12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：每户每月用水量水价不超过12m的部分3元/m超过12m但不超过18m的部分6元/m超过18m的部分9元/m若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为____________.13．设向量不平行，向量与平行，则实数_________.14．满足的集合的个数是______________15．在平面直角坐标系中，点在单位圆O上，设，且.若，则的值为______________.16．设向量，，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，（1）若函数在区间上存在零点，求正实数的取值范围；（2）若，，使得成立，求正实数的取值范围18．已知平面直角坐标系中，，，Ⅰ若三点共线，求实数的值；Ⅱ若，求实数的值；Ⅲ若是锐角，求实数的取值范围19．化简求值：（1）（2）.20．如图，在三棱柱中，侧棱平面，、分别是、的中点，点在侧棱上，且，，求证：（1）直线平面；（2）平面平面.21．在①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，______.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】①②因为函数在区间上有零点，所以或,即③平面平面，平面平面，，在平面内取一点P作PA垂直于平面与平面的交线,作PB垂直于平面,则所以平面④因为,且,所以,即是的外心所以正确命题为①③,选B2、D【解题分析】,且,,,故选D.3、B【解题分析】分析：利用函数的单调性即可判断.详解：因为函数为偶函数且在(−∞,0)上单调递减，所以函数在(0,+∞)上单调递增，由于，所以.故选B.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系4、C【解题分析】，然后利用二次函数知识可得答案.【题目详解】，令，则，当时，，故选：C5、C【解题分析】令，，（）在为增函数，在上是增函数，在上是减函数；根据复合函数单调性判断方法“同增异减”可知，函数y＝的单调增区间为选C.【题目点拨】有关复合函数的单调性要求根据“同增异减”的法则去判断，但在研究函数的单调性时，务必要注意函数的定义域，特别是含参数的函数单调性问题，注意对参数进行讨论，指、对数问题针对底数a讨论两种情况，分0<a<1和a>1两种情况，既要保证函数的单调性，又要保证真数大于零.6、D【解题分析】根据并集的概念和运算即可得出结果.【题目详解】由，得.故选：D7、D【解题分析】根据诱导公式可得，结合二倍角的余弦公式即可直接得出结果.【题目详解】由题意得，，即，所以.故选：D.8、C【解题分析】首先画出函数的图象，并当时，，由图象求不等式的解集.【题目详解】由题意画出函数的图象，当时，，解得，是偶函数，时，，由图象可知或，解得：或，所以不等式的解集是.故选：C【题目点拨】本题考查函数图象的应用，利用函数图象解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于几次题型.9、A【解题分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.【题目详解】因为，所以，即；由正弦定理可得，所以；当时，取到最大值.故选：A.10、D【解题分析】解方程即得或，再检验即得解.【题目详解】解：由题得或.当时，上单调递增，符合题意；当时，在上单调递减，不符合题意.所以.故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题可知，解不等式即可得出原函数的定义域.【题目详解】对于函数，有，即，解得，因此，函数的定义域为.故答案为：.12、【解题分析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可.【题目详解】解：当用水量为时，水费为，而本月交纳的水费为66元，显然用水量超过，当用水量为时，水费为，而本月交纳的水费为66元，所以本月用水量不超过，即有，因此本月用水量为，故答案为：13、-2【解题分析】因为向量与平行，所以存在，使，所以，解得答案：14、4【解题分析】利用集合的子集个数公式求解即可.【题目详解】∵,∴集合是集合的子集，∴集合的个数为，故答案为：.15、【解题分析】由题意，，，只需求出即可.【题目详解】由题意，，因为，所以，，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到三角函数的定义及配角的方法，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16、【解题分析】，故，故填.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）结合函数的单调性及零点存在定理可得结论；（2）由题意可得在，上，，由函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围【小问1详解】函数，因为在区间上单调递减，又，所以在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，若在区间上存在零点，则.【小问2详解】存在，，，使得成立，等价为在，上，由在，递增，可得的最小值为，又，所以在，递减，可得的最大值为，由，解得，所以；综上可得，的范围是18、(Ⅰ)-2；(Ⅱ)；(Ⅲ)，且【解题分析】Ⅰ根据三点共线，即可得出，并求出，从而得出，求出；Ⅱ根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值；Ⅲ根据是锐角即可得出，并且不共线，可求出，从而得出，且，解出的范围即可【题目详解】Ⅰ，B，P三点共线；；；；；Ⅱ；；；Ⅲ若是锐角，则，且不共线；；，且；解得，且；实数的取值范围为，且【题目点拨】本题主要考查向量平行时的坐标关系，向量平行的定义，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于中档题．利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.19、（1）（2）【解题分析】（1）根据对数运算公式计算即可；（2）根据指数运算公式和根式的性质运算化简.【小问1详解】原式【小问2详解】原式.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】（1）由中位线的性质得出，由棱柱的性质可得出，由平行线的传递性可得出，进而可证明出平面；（2）证明出平面，可得出，结合可证明出平面，再由面面垂直的判定定理即可证明出结论成立.【题目详解】（1）、分别为、的中点，为的中位线，，为棱柱，，，平面，平面，平面；（2）在三棱柱中，平面，平面，，又且，、平面，平面，而平面，故.又，且，、平面，平面，又平面，平面平面.【题目点拨】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.21、（1）选条件①②③任一个，均有；（2）选条件①②③任一个，函数在上的单调递增区间均为，.【解题分析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为，得到；再选择一个条件求解出；（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.【题目详解】解：函数的图象相邻对称轴间的距离为，，，.方案一：选条件①为奇函数，，解得