2024届吉林省吉林市第五十五中学高一数学第一学期期末联考试题含解析

2024届吉林省吉林市第五十五中学高一数学第一学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量，，且，则A. B.C. D.2．已知直线的斜率为1，则直线的倾斜角为A. B.C. D.3．函数部分图像如图所示，则的值为（）A. B.C. D.4．设a，bR，，则（）A. B.C. D.5．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.30.3，则a，b，c三者的大小关系是（）A. B.C. D.6．若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．缪天荣，浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过年苦心研究，年，他成功研制出“对数视力表”及“分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统，使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“分记录法”将视力和视角（单位：）设定为对数关系：.如图，标准对数视力表中最大视标的视角为，则对应的视力为.若小明能看清的某行视标的大小是最大视标的（相应的视角为），取，则其视力用“分记录法”记录（）A. B.C. D.8．已知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（）A. B.3C. D.49．设a>0，b>0，化简的结果是（）A. B.C. D.-3a10．如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（）A.2 B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．三条直线两两相交，它们可以确定的平面有______个.12．___________13．已知且，则的最小值为______________14．若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是____15．下列说法中，所有正确说法的序号是__________①终边落在轴上角的集合是；②函数图象一个对称中心是；③函数在第一象限是增函数；④为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度16．已知则_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（且）.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若且在上最小值为，求m的值.18．已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为.(1)当切线的长度为时，求线段PM长度.(2)若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段长度的最小值19．计算下列各式的值（1）（2）20．如图，在三棱锥中，.（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥的体积.21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时.（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；（2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】分析：直接利用向量垂直的坐标表示得到m的方程，即得m的值.详解：∵，∴，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该这些基础知识的掌握水平.(2)设=,=，则2、A【解题分析】设直线的倾斜角为，则由直线的斜率，则故故选3、C【解题分析】根据的最值得出，根据周期得出，利用特殊点计算，从而得出的解析式，再计算.【题目详解】由函数的最小值可知：，函数的周期：，则，当时，，据此可得：，令可得：，则函数的解析式为：，.故选：C.【题目点拨】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.4、D【解题分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.【题目详解】因为，则，所以，即，故A错误；因为，所以，则，所以，即，∴，，即，故B错误；∵由，因，所以，又因为，所以，即，故C错误；由可得，，故D正确.故选：D.5、D【解题分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系【题目详解】∵a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.30.3∈（0，1），则a，b，c三者的大小关系是b＞c＞a.故选：D【题目点拨】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6、A【解题分析】解两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【题目详解】解不等式可得，解不等式可得或，因为或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7、C【解题分析】将代入，求出的值，即可得解.【题目详解】将代入函数解析式可得.故选：C.8、B【解题分析】根据，得到，从而得到，进而得到，再利用“1”的代换以及基本不等式求解.【题目详解】解：因为，所以，又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，所以，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B9、D【解题分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.【题目详解】因为，，所以.故选：D.10、D【解题分析】根据题意画出截面，得到截面为菱形，从而可求出截面的面积.【题目详解】取的中点，的中点，连接，因为该几何体为正四棱柱，∴故四边形为平行四边形，所以，又，∴，同理，且，所以过，，三点平面截正四棱柱所得的截面为菱形，所以该菱形的面积为.故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1或3【解题分析】利用平面的基本性质及推论即可求出.【题目详解】设三条直线为，不妨设直线，故直线与确定一个平面，（1）若直线在平面内，则直线确定一个平面；（2）若直线不在平面内，则直线确定三个平面；故答案为：1或3；12、【解题分析】利用、两角和的正弦展开式进行化简可得答案.【题目详解】故答案为：.13、9【解题分析】因为且，所以取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.14、【解题分析】利用平行线之间的距离及两直线不重合列出不等式，求解即可【题目详解】y＝﹣2x﹣k﹣2的一般式方程为2x+y+k+2＝0，则两平行直线的距离d得，|k+6|≤5，解得﹣11≤k≤﹣1，当k+2＝﹣4，即k＝﹣6，此时两直线重合，所以k的取值范围是故答案为【题目点拨】本题考查了两平行直线间的距离，考查两直线平行的条件，考查计算能力，属于基础题.15、②④【解题分析】当时，，终边不在轴上，①错误；因为，所以图象的一个对称中心是，②正确；函数的单调性相对区间而言，不能说在象限内单调，③错误；函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，④正确.故填②④16、【解题分析】因为，所以三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）为奇函数，证明见解析.（2）.（3）.【解题分析】（1）根据函数的奇偶性的定义可得证；（2）由（1）得出是定义域为的奇函数，再判断出是上的单调递增，进而转化为，进而可求解；（3）利用，可得到，所以，令，则，进而对二次函数对称轴讨论求得最值即可求出的值.【小问1详解】解：函数的定义域为，又，∴为奇函数.【小问2详解】解：，∵，∴，或（舍）.∴单调递增.又∵为奇函数，定义域为R，∴，∴所以不等式等价于，，，∴.故的取值范围为.【小问3详解】解：，解得（舍），，令，∵，∴，，当时，，解得（舍），当时，，解得（舍），综上，.18、（1）8（2）（3）【解题分析】（1）根据圆中切线长的性质得到；（2）设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆N的方程为化简求值即可；（3）（Ⅲ）求出点M到直线AB的距离，利用勾股定理，即可求线段AB长度的最小值.解析：（1）由题意知，圆M的半径r=4，圆心M(0，6)，设PA是圆的一条切线，(2)设，经过A,P,M三点的圆N以MP为直径，圆心，半径为得圆N的方程为即，有由，解得或圆过定点(3)圆N的方程，即①圆即②②-①得：圆M与圆N相交弦AB所在直线方程为：圆心M(0,6)到直线AB的距离弦长当时，线段AB长度有最小值.点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；再者在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；圆的问题经常应用的性质有垂径定理的应用，切线长定理的应用.19、（1）；（2）1.【解题分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简计算即得；（2）利用同角关系式、辅助角公式可得原式，再利用诱导公式及二倍角公式，化简计算即得.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.20、⑴⑵.【解题分析】(1)取中点，连接、,是二面角的平面角,进而求出此角度数即可；(2)利用等积法或割补法求体积.试题解析：⑴取中点，连接、，，，，且平面，平面，是二面角平面角.在直角三角形中，在直角三角形中，是等边三角形，⑵解法1：，又平面，平面平面，且平面平面在平面内作于，则平面，即是三棱锥的高.在等边中，，三棱锥的体积.解法2：平面在等边中，的面积，三棱锥的体积.21、（1）；（2）最大值约为3250辆/小时，车流密度约为87辆/千米.【解题分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围（2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得【题目详解】解：（1）由题意知当(辆/千米)时，(千米/小时)，代入得，