2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市职业技术教育中心学校高二数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市职业技术教育中心学校高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法的正确的是 A.经过定点的直线的方程都可以表示为 B.经过定点的直线的方程都可以表示为 C.不经过原点的直线的方程都可以表示为 D.经过任意两个不同的点的直线的方程都可以表示为 参考答案：D2.偶函数在（）内可导，且，，则曲线在点（）处切线的斜率为A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知函数f（x）=ax3﹣6x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4） B．（4，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（4，+∞）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）＞0，解出即可．【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣12x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x（﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣12x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x（﹣∞，）（，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）=a（）3﹣6（）2+1＞0，化为a2＞32，∵a＜0，∴a＜﹣4．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣4）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．4.观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：B略5.在频率分布直方图中各小长方形的面积表示（

）A、落在相应各组内的数据的频数

B、相应各组的频率C、该样本所分成的组数

D、该样本的容量参考答案：B6.若，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案。【详解】由题意，因为，则当且仅当且即时取得最小值.故选：B．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理化简，熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。7.曲线在点(1,－3)处的切线方程为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据导数的几何意义，求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程。【详解】，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选A。【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及曲线在某点处的切线求法。8.在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（）A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形参考答案：A因为，由正弦定理当可得，，因为，所以，的形状为直角三角形，故选A.

9.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，…，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1,820]的人做问卷A，编号落入区间[821,1500]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（

）A.23 B.24 C.25 D.26参考答案：C【分析】先求出做A,B卷的人数总和，再求做C卷的人数.【详解】由题得每一个小组的人数为，由于，所以做A,B卷调查的总人数为75，所以做C卷调查人数为100-75=25.故选：C【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10.椭圆上的点到直线（为参数）的最大距离是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AC＝2，O为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机投一点，则此点落在阴影部分的概率为________．参考答案：

略12.已知，且向量与的夹角为30o，则=

．参考答案：27【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件进行数量积的计算，便可求出的值．【解答】解：根据条件，=．故答案为：27．13.不等式的解为

▲

．参考答案：14.某校有教师200人，男生1200人，女生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知女生抽取的人数是80人，则

▲

．参考答案：略15.设是函数的导函数的导数，定义：若，且方程有实数解，则称点为函数的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：设，则（1）函数的对称中心为

；（2）

．

参考答案：；2014略16.由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是______．参考答案：【分析】由题意，作出图形，确定定积分，即可求解所围成的图形的面积．【详解】解析：如图所示，S＝x2dx＝1＝(33－13)＝.【点睛】本题主要考查了定积分的应用，其中根据题设条件，作出图形，确定定积分求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题．17.若直线与直线互相平行，那么的值等于▲

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：此题考察函数的求导和利用导数研究函数单调性．（1）可由公式求导，得出a和b的关系式．（2）求导，根据f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．该题又用到二次函数的知识分类讨论．解答： 解：（1）由f′（x）=x2+2ax+b，∴f′（﹣1）=1﹣2a+b=0∴b=2a﹣1（2）f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x，∴f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1）令f′（x）=0，得x=﹣1或x=1﹣2a①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1当x变化时，根据f′（x）与f（x）的变化情况得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）②当a=1时，1﹣2a=﹣1，此时有f′（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R、③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）综上：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）点评：此题是常规题型，难点是通过f′（x）的符号，确定f（x）的单调区间19.在正项等比数列{an}中，a1=4，a3=64．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）记bn=log4an，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）记y=﹣λ2+4λ﹣m，对于（2）中的Sn，不等式y≤Sn对一切正整数n及任意实数λ恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由a1=4，a3=64可求公比，根据等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；（2）由于bn=log4an=n，所以数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列，故可求和；（3）先求得Sn取得最小值Smin=1，要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立，即﹣λ2+4λ﹣m≤1，分离参数得m≥﹣λ2+4λ﹣1恒成立，故可求参数的范围．【解答】解：（1）∵，解得q=4或q=﹣4（舍去）∴q=4…∴an=a1qn﹣1=4×4n﹣1=4n…

（q=﹣4没有舍去的得2分）（2）∵bn=log4an=n，…∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=1的等差数列∴…（3）由（2）知，，当n=1时，Sn取得最小值Smin=1…要使对一切正整数n及任意实数λ有y≤Sn恒成立，即﹣λ2+4λ﹣m≤1即对任意实数λ，m≥﹣λ2+4λ﹣1恒成立，∵﹣λ2+4λ﹣1=﹣（λ﹣2）2+3≤3，所以m≥3，故m得取值范围是[3，+∞）．…20.如图四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点。（1）求证：平面；

（2）当E为PB中点时，求证：//平面PDA;（3）当且E为PB的中点时，求与平面所成的角的大小。参考答案：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，又平面AEC

∴平面.（2）∵四边形ABCD是正方形，，在中，又

//，又//平面PDA，（3）∵，，又所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz。设AB=1.则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），从而，，，设平面PBC的一个法向量为。由得令z=1，得。设AE与平面PBC所成的角，则与平面PBC所成的角的正弦值为。21.已知函数（1）若函数是偶函数，求k的值；（2）若函数在[－1,2]上，恒成立，求k的取值范围.参考答案：(1);（2）【分析】(1)利用偶函数的定义判断得解；（2）对x分三种情况讨论，分离参数求最值即得实数k的取值范围.【详解】由题得，由于函数g(x)是偶函数，所以，所以k=2.（2）由题得在上恒成立，当x=0时，不等式显然成立.当，所以在上恒成立，因为函数在上是减函数，所以.当时，所以在上恒成立，因为函数在上是减函数，在上是增