2022年湖南省郴州市金江中学高三数学理模拟试题含解析

2022年湖南省郴州市金江中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.条件，条件，则p是q的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B2.已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{an}：首次出现时为数列{an}的A.第44项 B.第76项 C.第128项 D.第144项参考答案：C【分析】从分子分母的特点入手，找到出现前的所有项，然后确定的项数.【详解】观察分子分母的和出现的规律：，把数列重新分组：，可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.3.已知函数

,若则实数的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：4.对于函数，下列说法正确的是（

）A.

函数图像关于点对称

B函数图像关于直线对称.

C将他的图像向左平移个单位，得到的图像.

D.将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图像参考答案：B【知识点】三角函数图像变换三角函数的图像与性质【试题解析】对A：故A错；

对B：图像关于直线对称，故B正确；

对C：将他的图像向左平移个单位，得到的图像，故C错；

对D：将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的倍，的图像，故D错。

故答案为：B5.已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称参考答案：D【考点】正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据函数f（x）在x=处取得最小值，求得a=b，f（x）=asin（x﹣），可得f（﹣x）=asinx，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．6.设集合，，R是实数集，则（

）A. B. C.或 D.参考答案：A【分析】先求出集合，再求解并集和补集.【详解】因为，所以，即，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.7.已知幂函数的图象经过点，则的值为()A．

B． C． D．

参考答案：B8.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展与沿线国家的经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体、责任共同体。“一带一路”经济开放后，成绩显著，下图是2017年一带一路沿线国家月度出口金额及同比增长，关于下图表述错误的是（

）[注]同比增长率一般是指和上一年同期相比较的增长率。A.2月月度出口金额最低 B.11月同比增长最大C.2017年与2016年的月度出口金额相比均有增长 D.12月月度出口金额最大参考答案：C【分析】根据图表逐一对各个选项进行分析得到答案.【详解】由图可知，2月份的月度出口金额同比增长率为，即与2016年相比是减少的,错误而A,B,D选项从图标中观察知皆正确.故选C.【点睛】本题考查了对于图表的读取和理解,注重数学知识的实际应用,属于简单题.9.已知等差数列各项都不相等，

A.0B.

C.2

D.0或

参考答案：B略10.（5分）函数f（x）=ex+x的零点所在一个区间是（） A． （﹣2，﹣1） B． （﹣1，0） C． （0，1） D． （1，2）参考答案：B考点： 函数零点的判定定理．专题： 函数的性质及应用．分析： 由函数f（x）是R上的连续函数，且f（﹣1）?f（0）＜0，根据函数的零点的判定定理得出结论．解答： ∵函数f（x）=ex+x是R上的连续函数，f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=1＞0，∴f（﹣1）?f（0）＜0，故函数f（x）=ex+x的零点所在一个区间是（﹣1，0），故选B．点评： 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为

.参考答案：(]略12.已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为，动点分别在和上，且，则过三点的动圆扫过的区域的面积为

▲

．参考答案：18π略13.已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：14.已知（x2﹣）6的展开式中的常数项为15a，则非零实数a的值是

． 参考答案：±1【考点】二项式定理的应用． 【分析】在展开式通项中令x的指数为0，求出常数项，再解关于a的方程即可． 【解答】解：的展开式的通项为Tr+1==（﹣a）rC6rx12﹣3r，令12﹣3r=0，得r=4，常数项（﹣a）4C64=15a4=15，解得a=±1 故答案为：±1． 【点评】本题考查二项式定理的应用，方程的思想，属于基础题． 15.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为=

。参考答案：8略16.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为

．参考答案：0.032；17.不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为_________.参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知要使直线与区域有公共点，则有直线的斜率，由得，即。又，所以，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）在某校高中学生的校本课程选课过程中，规定每位学生必选一个科目，并且只选一个科目．已知某班一组与二组各有6位同学，选课情况如下表：科目组别甲乙一15二24总计39现从一组、二组中各任选2人．（Ⅰ）求选出的4人均选科目乙的概率；（Ⅱ）设X为选出的4个人中选科目甲的人数，求X的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）设“选出的4人均选科目乙”为事件A，即事件A为“一组的确良人和二组的2人均选科目乙”，根据题意，得P（A）===．（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）===，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）===，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P ∴EX==1．19.某人的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了某人在去年1月到12月的流量使用情况．其中横轴代表月份，纵轴代表流量．（Ⅰ）若在一年中随机取一个月的流量使用情况，求使用流量不足180M的概率；（Ⅱ）若从这12个月中随机选择连续的三个月进行观察，求所选三个月的流量使用情况中，中间月的流量使用情况低于另两月的概率；（Ⅲ）由折线图判断从哪个月开始，连续四个月的流量使用的情况方差最大．（结论不要求证明）参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设流量不足150M为事件A，这一年共有12个月，其中1月，2月，3月，4月，9月11月共6个月流量不足180M，由此能求出使用流量不足180M的概率．（Ⅱ）设所选三个月的流量使用情况中，中间月的流量使用情况低于另两月为事件B，利用列举法求出在这一年中随机取连续三个月的使用流量的不同取法和所选三个月的流量使用情况中，中间月的流量使用情况低于另两月的情况种数，由此能求出结果．（Ⅲ）9月，10月，11月，12月这四个月的流量使用情况方差最大．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）设流量不足150M为事件A，这一年共有12个月，其中1月，2月，3月，4月，9月11月共6个月流量不足180M，…所以．…（Ⅱ）设所选三个月的流量使用情况中，中间月的流量使用情况低于另两月为事件B，在这一年中随机取连续三个月的使用流量，有（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），（9，10，11），（10，11，12），共10种取法，…其中（2，3，4），（6，7，8），（8，9，10），（10，11，12）4种情况满足条件，…所以．…（Ⅲ）9月，10月，11月，12月这四个月的流量使用情况方差最大．…20.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示

(1)求a的值(2)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.参考答案：解：（1）由，得. （2）平均数为；岁；设中位数为，则岁.（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为.

设从5人中随机抽取3人，为，共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率.21.设递增等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=1，a4是a3和a7的等比中项，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（I）在递增等差数列{an}中，由，解得，由此能求出an．

（II）在等差数列中，由，能求出数列{an}的前n项和Sn．解答： 解：（I）在递增等差数列{an}中，设公差为d＞0，∵，∴，解得…．∴an=﹣3+（n﹣1）×2=2n﹣5．（II）由（I）知，在等差数列中，，∴故…点评：本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．22.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若函数在处取得极值，且曲线在点，处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）若，试讨论函数的单调性．

（Ⅲ）若对定义域内的任意，都有成立，求的取值范围参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，函数在区间为增函数；当时，函数在区间为增函数；在区间为减函数.（Ⅲ）.（Ⅰ）函数的定义域为.由题意，解得∴.

----------------4分（Ⅱ）若，则..

---------------5分

（1）当时，由函数定义域可知，，∴在内，函数单调递增；

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