2022年上海金汇中学高三数学理联考试卷含解析

2022年上海金汇中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则的大致图像为(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】求出的解析式，然后求导，可以得到函数的极大值，根据这个性质可以从四个选项中，选出正确的图象.【详解】，由，可得是极大值点，故选D.【点睛】本题考查了运用导数研究函数的图象问题，考查了识图能力.2.已知函数的定义域为R，，对任意都有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B解析：由所以所以.3.椭圆M：=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且

的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中.则椭圆M的离心率e的取值范围是

A、

B、

C、

D、参考答案：A4.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线上，则双曲线的方程为(

) A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D．x2﹣4y2=1参考答案：D考点：抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．解答： 解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2=1．故选：D．点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．5.设全集，集合则集合=（）A.

B.C.

D.参考答案：D6.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设集合，则

(

)

A.

B. C.

D.参考答案：D略8.一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是。则这两条直线的位置关系

（

）

A．必定相交

B．平行

C．必定异面

D．不可能平行参考答案：D9.下列命题中正确的是（）A.的最小值是2 B.的最小值是2

C.的最大值是 D.的最小值是参考答案：C10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A.

B.

C.

D.

参考答案：A

该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为，故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若则的值

。

参考答案：12.复数的虚部是

.参考答案：-1略13.若数列的各项按如下规律排列：

。参考答案：14.如图，在中，斜边，直角边，如果以C为圆心的圆与AB相切于,则的半径长为___________．参考答案：略15.某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为320的样本，已知从学生中抽取的人数为280，那么该学校的教师人数是______.参考答案：300略16.在等比数列{an}中，已知a4＋a10=10，且，则=

．参考答案：1617.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（为参数，）上的点到曲线的最短距离是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查,问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.参考答案：解:(1)由,解得.

……………3分

(2)第三批次的人数为,

设应在第三批次中抽取名，则，解得.

∴应在第三批次中抽取12名.

……………6分

（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为，第三批次女教职工和男教职工数记为数对，由（2）知，则基本事件总数有：

，共9个，而事件包含的基本事件有：共4个，∴.

……12分略19.已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．参考答案：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|．

………5分由绝对值不等式性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1．即|x＋5y|≤1．

………10分20.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）的顶点在椭圆上，所在直线斜率为，所在的直线斜率为，若，求的最大值.参考答案：（1）由题意得，解得，∴椭圆的标准方程为.（2）设，不妨设.由，∴，直线的方程分别为，.联立，，解得，.∵.当且仅当时等号成立.所以的最大值为2.21.已知函数，设。

（I）求函数的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。参考答案：解析：（I）（2分）因为，由，所以在上单调递增。由，所以在上单调递减。所以的单调递减区间为，单调递增区间为（6分）（Ⅱ）若的图像与的图像恰有四个不同的交点。即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。令则当变化时，、的变化情况如下表：的符号++的单调性由表格知；画出草图和验证可知所以当时，与恰有四个不同的交点。即当时，的图像与的图像恰有四个不同的交点。22.如图，在△ABC中，AD是的∠A的平分线，圆O经过点A与BC切于点D，与AB，AC相交于E、F，连结DF，DE．（Ⅰ）求证：EF∥BC；

（Ⅱ）求证：DF2=AF?BE．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）证明EF∥BC，只需证明∠FDC=∠EFD，利用圆的切线的性质可得；

（Ⅱ）证明DF2=AF?BE，只需证明△AFD∽△DEB．【解答】证明：（Ⅰ）因为BC是圆O的切线，所以∠FDC=∠FAD，又因为∠EAD=∠EFD，且∠EAD=∠F