上海市崇明县合兴中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

上海市崇明县合兴中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前6项的和为（）A．－20

B．－18

C.－16

D．－14参考答案：B3.焦点是，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线的方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：由已知，双曲线焦点在轴上，且为等轴双曲线，故选D.考点：双曲线几何性质．4.若复数Z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为(

)A．（0，2） B．（0，3i） C．（0，3） D．（0，2i）参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数为纯虚数求得a值，则答案可求．【解答】解：∵Z==是纯虚数，∴，即a=6．∴Z=3i．∴在复平面内Z对应点的坐标为（0，3）．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．5.下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=2x B．y= C．y=|x| D．y=﹣x2+1参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数和偶函数图象的对称性，根据y=2x和的图象便可判断出A，B错误，而由y=x的单调性便可判断选项C错误，对于D，由偶函数的定义便可判断该函数为偶函数，由该二次函数的图象便可判断出在（0，+∞）上单调递减，从而得出D正确．【解答】解：A．根据y=2x的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；B．根据的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；C．x∈（0，+∞）时，y=|x|=x为增函数；即y=|x|在（0，+∞）上单调递增，∴该选项错误；D．显然y=﹣x2+1为偶函数，根据其图象可看出该函数在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查奇函数和偶函数图象的对称性，清楚y=2x和的图象，一次函数的单调性，偶函数的定义，以及二次函数的单调性的判断．6.设点P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知，，且，那么的取值范围是A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A． B． C． D．参考答案：B考点： 函数的图象．专题： 函数的性质及应用．分析： 本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答时应充分体会实际背景的含义，根据走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答．解答： 解：由题意可知：离学校的距离应该越来越小，所以排除C与D．由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．随着时间的增加，距离学校的距离随时间的推移应该减少的相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间减少应该相对较慢．所以适合的图象为：B故答案选：B．点评： 本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答的过程当中充分体现了应用问题的特点，考查了速度队图象的影响，属于基础题．10.已知函数f（x）定义域为R，则下列命题：①若y=f（x）为偶函数，则y=f（x+2）的图象关于y轴对称．②若y=f（x+2）为偶函数，则y=f（x）关于直线x=2对称．③若函数y=f（2x+1）是偶函数，则y=f（2x）的图象关于直线对称．④若f（x﹣2）=f（2﹣x），则则y=f（x）关于直线x=2对称．⑤函数y=f（x﹣2）和y=f（2﹣x）的图象关于x=2对称．其中正确的命题序号是(

)A．①②④ B．①③④ C．②③⑤ D．②③④参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由函数的图象关于y轴对称结合函数的图象平移判断①②③；令t=x﹣2换元，然后利用偶函数的性质判断④；设f（m）=n，可得函数y=f（x﹣2）的图象经过点A（m+2，n），求出A关于x=2的对称点B（﹣m+2，n），由B在y=f（2﹣x）上说明⑤正确．【解答】解：①若y=f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称，∴y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，①错误；②若y=f（x+2）为偶函数，则其图象关于y轴对称，∴y=f（x）关于直线x=2对称，②正确；③若函数y=f（2x+1）=f[2（x+）]是偶函数，则其图象关于y轴对称，∴y=f（2x）的图象关于直线对称，③正确；④令t=x﹣2，则2﹣x=﹣t，由于f（x﹣2）=f（2﹣x），得f（t）=f（﹣t），∴函数f（x）是偶函数，得f（x）的图象自身关于直线y轴对称，④错误；⑤设f（m）=n，则函数y=f（x﹣2）的图象经过点A（m+2，n）而y=f（2﹣x）的图象经过点B（﹣m+2，n），由于点A与点B是关于x=2对称的点，∴y=f（x﹣2）与y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称，⑤正确．∴正确命题的序号是②③⑤．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，考查了函数图象的平移与对称性问题，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的系数是 。（用数字作答）参考答案：1012.已知复数（）满足，则的范围是

参考答案：13.过曲线上一点P的切线平行于直线，则切点的坐标为_____.参考答案：略14.若三棱锥的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为

．参考答案：15.已知双曲线x2﹣=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF1F2的面积为

．参考答案：4﹣2

【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知丨AF2丨=m，丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，由等腰三角形的性质即可求得4=（2+m），丨AF2丨=m=2（﹣1），丨AF1丨=2，由三角的面积公式，即可求得△AF1F2的面积．【解答】解：双曲线x2﹣=1焦点在x轴上，a=1，2a=2，设丨AF2丨=m，由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2，∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨，∴丨BF2丨=2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2，丨BF1丨=4，根据题意丨BF1丨=丨AF1丨，即4=（2+m），m=2（﹣1），丨AF1丨=2，△AF1F2的面积S=?丨AF2丨?丨AF1丨=×2（﹣1）×2=4﹣2，△AF1F2的面积4﹣2，故答案为：4﹣2．16.从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为__________．参考答案：x＋2y－4＝017.已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．7参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：画出不等式组件，表示的可行域，由图可知，当直线y=x﹣，过A点（3，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为3﹣2×1=1．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=ex+．（1）求证：函数f（x）的唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）求证：对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）设g（x）=f（x）﹣x=（）h（x）﹣1，当x＞0时，比较g（x）与h（x）的大小．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）令f（x）=0，可得ex=﹣，由ex＞0，可得﹣1＜x＜0，运用零点存在定理，即可得证；（2）运用（1）的结论，结合f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．即可得证；（3）求出g（x）的导数，判断单调性，可得g（x）＞0，运用复合函数的单调性可得h（x）的单调性，可得h（x）＜0，即可得到结论．【解答】解：（1）证明：令f（x）=0，可得ex=﹣，由ex＞0，可得﹣1＜x＜0，由f（x）=ex+=ex+1﹣在（﹣，0）递增，由f（﹣）=+1﹣=﹣1＜0，f（0）=1+0＞0，由函数零点存在定理，可得函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）证明：由（1）可得f（x）在（﹣1，0）递增，由函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0），即有f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．可令λμ=x0，即有对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）g（x）=f（x）﹣x=ex+﹣x=ex+1﹣﹣x的导数为g′（x）=ex+﹣1，x＞0时，ex＞1，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）＞g（0）=1，h（x）=g（x）+1在x＞0时，由t=g（x）在x＞0递增，h（x）=1+t递减，即有h（x）在x＞0递减，则h（x）＜h（0）=1，故当x＞0时，g（x）＞h（x）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，以及函数的单调性的运用，属于中档题．19.已知平面内一动点到点的距离等于它到直线的距离．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程;（Ⅱ）若直线与曲线交于两点,且,又点,求的最小值．参考答案：（Ⅰ）依题知动点的轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线,……1分

所以其标准方程为…………4分（Ⅱ）设,则因为,所以即（※）………6分又设直线,代入抛物线的方程得,所以,且…8分也所以,所以（※）式可化为,,即,得,或………10分此时恒成立．,且,所以由二次函数单调性可知,当时,有最小值．………13分20.已知数列{an}的通项公式为an=cos，{bn}是等差数列，cn=an+bn，数列{cn}的前n项和为Sn，且c10=，S8=1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{c}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设{bn}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，结合三角函数的特殊值，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；（Ⅱ）化简c=a+b=cos+=4n﹣1，即有数列{c}是以1为首项，公比为4的等比数列，由求和公式，即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）an=cos，{bn}是公差为d的等差数列，可得cn=an+bn=cos+b1+（n﹣1）d，由c10=，S8=1，可得cos5π+b1+9d=，即为b1+9d=；①又cos+cosπ+cos+cos2π+…+cos4π=0﹣1+0+1+…+1=0，则8a1+28d=1，②由①②解得b1=﹣，d=，可得bn=b1+（n﹣1）d=﹣+（n﹣1）=；（Ⅱ）c=a+b=cos+=cos22n﹣1π+4n﹣1﹣1=1+4n﹣1﹣1=4n﹣1，即有数列{c}是以1为首项，公比为4的等比数列，则前n项和Tn==．21.（2016?邵阳二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的方程ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t0，由题意可知．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得t1+t2的值，可得|PM|=|t0|的值．【解答】解：（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程为x2=y，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为．（Ⅱ）点P的直角坐标为（﹣2，0），它在直线l上，在直线l的参数方程中，设点A，B，M