高中数学一轮复习考点专题67 圆锥曲线的性质 (含解析)

PAGE微专题67圆锥曲线的性质一、基础知识（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点SKIPIF1<0的距离和为定值（定值大于SKIPIF1<0）的点的轨迹称为椭圆，其中SKIPIF1<0称为椭圆的焦点，SKIPIF1<0称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆：设椭圆上一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设距离和SKIPIF1<0，则椭圆的标准方程为：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0②焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆：设椭圆上一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设距离和SKIPIF1<0，则椭圆的标准方程为：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在SKIPIF1<0轴的椭圆为例：SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0：与长轴的顶点有关：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为长轴长SKIPIF1<0：与短轴的顶点有关：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为短轴长SKIPIF1<0：与焦点有关：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为焦距（2）对称性：椭圆关于SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（4）通径：焦点弦长的最小值①焦点弦：椭圆中过焦点的弦②过焦点且与长轴垂直的弦SKIPIF1<0说明：假设SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，且与长轴垂直，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0。则SKIPIF1<0（5）离心率：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（6）焦半径公式：称SKIPIF1<0到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0（7）焦点三角形面积：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）证明：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由此得到的推论：①SKIPIF1<0的大小与SKIPIF1<0之间可相互求出②SKIPIF1<0的最大值：SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0SKIPIF1<0为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点SKIPIF1<0距离差的绝对值为一个常数（小于SKIPIF1<0）的点的轨迹称为双曲线，其中SKIPIF1<0称为椭圆的焦点，SKIPIF1<0称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点SKIPIF1<0距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：①焦点在SKIPIF1<0轴：设双曲线上一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设距离差的绝对值SKIPIF1<0，则双曲线标准方程为：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0②焦点在SKIPIF1<0轴：设双曲线上一点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设距离差的绝对值SKIPIF1<0，则双曲线标准方程为：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在SKIPIF1<0轴的双曲线为例：SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0：与实轴的顶点有关：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为实轴长SKIPIF1<0：与虚轴的顶点有关：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为虚轴长SKIPIF1<0：与焦点有关：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为焦距（2）对称性：双曲线关于SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（4）离心率：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（5）渐近线：当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的直线即可。例如在SKIPIF1<0中，求渐近线即解：SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即为双曲线的渐近线②渐近线的几何特点：直线SKIPIF1<0所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现SKIPIF1<0的关系。（6）通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0（7）焦半径公式：设双曲线上一点SKIPIF1<0，左右焦点分别为SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0（可记为“左加右减”）②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为SKIPIF1<0（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在SKIPIF1<0轴正半轴：SKIPIF1<0，焦点坐标SKIPIF1<0（2）焦点在SKIPIF1<0轴负半轴：SKIPIF1<0，焦点坐标SKIPIF1<0（3）焦点在SKIPIF1<0轴正半轴：SKIPIF1<0，焦点坐标SKIPIF1<0（4）焦点在SKIPIF1<0轴负半轴：SKIPIF1<0，焦点坐标SKIPIF1<0小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：SKIPIF1<0，则焦点在SKIPIF1<0轴上，且坐标为SKIPIF1<03、焦半径公式：设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<04、焦点弦长：设过抛物线SKIPIF1<0焦点的直线与抛物线交于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，再由焦半径公式即可得到）二、典型例题：例1：已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：先从常系数方程入手，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，即双曲线中的SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而双曲线方程为：SKIPIF1<0，其渐近线方程：SKIPIF1<0，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择SKIPIF1<0，右焦点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素答案：A例2：已知双曲线SKIPIF1<0的实轴长为SKIPIF1<0，虚轴的一个端点与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合，直线SKIPIF1<0与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以SKIPIF1<0作为核心变量，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0，可求得渐近线方程为SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则有SKIPIF1<0。从相切可想到与抛物线联立消元后的方程SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0答案：A例3：如图，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的公共焦点，将SKIPIF1<0的离心率分别记为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在第一象限的公共点，若SKIPIF1<0的一条渐近线是线段SKIPIF1<0的中垂线，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有SKIPIF1<0，所求表达式SKIPIF1<0，本题与焦半径相关，所以考虑SKIPIF1<0。结合SKIPIF1<0的中点与SKIPIF1<0的中点可得双曲线的渐近线与SKIPIF1<0平行，从而SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，联系上面条件可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A例4：已知椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有公共的焦点，SKIPIF1<0的一条渐近线与以SKIPIF1<0的长轴为直径的圆相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0恰好将线段SKIPIF1<0三等分，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：因为SKIPIF1<0有公共焦点，所以通过SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，圆的直径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0截椭圆的弦长为SKIPIF1<0。由双曲线得SKIPIF1<0，进而与椭圆方程联立，再利用弦长公式即可得到关于SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的方程，解方程即可解：通过SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0利用弦长公式可得SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，故选C答案：C例5：（2014，山东，10）已知SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的离心率之积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的渐近线方程为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：要想求渐近线方程，关键在SKIPIF1<0的比值，所以将两个离心率均用SKIPIF1<0表示，再利用乘积为SKIPIF1<0即可得到SKIPIF1<0关系，进而求出渐近线方程解：设曲线SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因为双曲线的渐近线方程为：SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0答案：A小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中SKIPIF1<0的求法不同，从而使得两条曲线在SKIPIF1<0相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出SKIPIF1<0关系例6：椭圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0的公共焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两曲线的一个交点，那么SKIPIF1<0的值是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：所求SKIPIF1<0既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而可求出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0答案：B例7：已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右焦点重合，抛物线的准线与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线上且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点的横坐标为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，进而可确定抛物线方程：SKIPIF1<0，以及准线方程SKIPIF1<0：SKIPIF1<0。所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0点横坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由焦半径公式可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可解得：SKIPIF1<0答案：B例8：设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左焦点，在SKIPIF1<0轴上SKIPIF1<0点的右侧有一点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆与双曲线左，右两支在SKIPIF1<0轴上方的交点分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简化计算，首先由SKIPIF1<0联想到焦半径公式，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由双曲线可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，圆半径SKIPIF1<0，所以圆方程为：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的值与SKIPIF1<0相关，所以考虑联立圆和双曲线方程：SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以原式的值为SKIPIF1<0答案：D小炼有话说：本题可发现无论SKIPIF1<0的位置如何，从选项上来看SKIPIF1<0应该为定值，故可以利用特殊位置，比如SKIPIF1<0为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0例9：如图，从双曲线SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0引圆SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交双曲线右支于SKIPIF1<0点，若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0的值为__________（用含SKIPIF1<0的表达式表示）思路：首先要将SKIPIF1<0向SKIPIF1<0靠拢，因为SKIPIF1<0与圆切于SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0