数字谱分析中频率分辨率的分析

数字谱分析中频率分辨率的分析

如果频率分辨率满足处理器领域的要求，则直接影响分析结果。在最小采样率的条件下,可以用补零DFT来提高信号可视频率分辨率,但信号真正的频率分辨率并没有得到改善。通过对补零DFT和信号采样点数改变的分析研究,可以区分可视分辨率和真正频率分辨率两个重要的概念。本文详细论证了DFT的参数选择对频率分辨率的影响,并从时域——频域对应关系上说明了系统的信号处理和通信性能的相互制约关系。2采样频率fs、采样点n频率分辨率可从两个方面来定义:第一,某个算法(如谱分析方法,功率谱估计方法等)将原信号x(n)中两个靠的很近的谱峰仍然能保持分开的能力。第二,在进行DFT时,频率轴上所能得到的最小频率间隔∆f。本文讨论信号的DFT分析,因而使用第二个定义。设x(n)与X(K)是一个有限长序列离散付里叶变换对,已知x(n)就能惟一地确定X(K),同样已知X(K)也就惟一地确定x(n),实际上x(n)与X(K)都是长度为N的序列(复序列),都有N个独立值,因而具有等量的信息。应用DFT进行信号的数字谱分析时,需要确定的参数主要有:截取的信号长度T、抽样频率fS、采样点数N及选择什么样的窗口。如果在x(n)中有两个频率分别为f1和f2的信号,对x(n)用矩形窗截断时,要分辨出这两个频率,N必须满足:因此,反映频率分辨率能力的∆f由下式决定:可见,∆f反比于截取的信号长度T,即截取的信号长度越长,分辨能力越好。要提高频率分辨率:在采样速率一定的情况下,只能增加采样点数,但N太大会影响系统的处理速度,甚至无法实现;而采样点一定时,须减少采样率,但这样会减少频率分析的范围。由此看来,为了保证一定的频率分辨率,在进行频谱分析时,采样率和采样点数要兼顾考虑。下面用例子证明上面所分析的结论。设有一序列x(n)含有两种频率成分,1f=3Hz,f2=3.04Hz,x(n)=cos(2pnf1/fS)+cos(2pnf2/fS)。由抽样定理,我们采用fS=10Hz,即TS=0.1s对其抽样,不应发生频谱混叠问题。这里采用128点和512点DFT,对两种情况下的频率分辨率进行比较:设128点的分辨率为Df1,512点的分辨率为Df2,则Df1=10/128=0.078125Hz,∆f2=10/512=0.01953125Hz。计算结果表明,128点DFT未能将两个靠的很近的频率分辨出来,而512点DFT却达到了分辨频率的要求。下面用MATLAB进行FFT(FFT是DFT的快速算法)仿真,从图形(为了便于观察,只画出了频域的一段)的角度进一步验证上面结论。观察图2(a),2(b)(对x(n)的128点采样及其FFT),没有将两频率分辨出来;在采样率不变的情况下,对其进行512采样,由图2(c),2(d)所示,在f=3Hz附近有两个谱峰,这表明已将两频率分辨出来。由此验证了上面所分析结论。图2(e),2(f)是在128点采样的基础上,补零到512点的时域和频域图形,从图中观察到,并未分辨出信号的两种频率。在后面的论证中将进一步研究。3周期延拓采样的频率仿真在做DFT时,人们常在有效数据后面补一些零以达到对频谱作某种改善的目的,但这往往会引起一种误解,认为补零会提高分辨率。其理由是,原数据长度为N1,现数据长度为N2,由于∆f1=fS/N1,∆f2=fS/N2及N2>N1,因此Df2<Df1。实际上补零并不能提高频率分辨率,上述错误的原因是把补零后数据的有效长度错认为是N2,它实际上仍是N1,即补零不能增加数据的有效长度。但补零有一定的好处:(1)可使数据N为2的整数次幂,以便于使用快速傅里叶变换算法(FFT);(2)补零起到对原X(K)做插值的作用,一方面克服“栅栏”效应,使谱的外观得到平滑;另一方面,由于对数据截断时所引起的频谱泄露,有可能在频谱中出现一些难以确认的谱峰,补零后有可能消除这种现象。下面进行数学推导:首先需要对DTFT,DFS和DFT的关系加以申明。设x(n)为一有限长序列,则对序列x(n)的DTFT(离散时间傅里叶变换)定义如下:X(ejω)是ω的连续函数,且是周期的,周期为2π。而DFS是对x(n)进行N点周期延拓后x～(n)的傅里叶变换;从频域上讲,DFS是对DFTFX(ejω)的采样。数学公式表示为:它也是周期函数,但频域是离散的。DFT的定义式为:对于有限长信号x(n)的DFT,可以理解为x～(n)的DFS的主部。换句话说,虽然x(n)是有限长,但它已经隐含了周期性。因此,对x(n)进行补零,相当于延长了x～(n)的周期。离散周期信号x～(n)可以表示成如下形式:其中,*表示卷积,x(n)表示一个周期内的有限长序列,N为序列x～(n)的周期。作离散时间傅里叶变换(DTFT):对于上式右边两项的意义分别作出说明,X(ejω)代表x(n)的离散时间Fourier变换;而等式右边的第二项表达了谱采样的概念。由前面论述知,DFT是DTFT采样的主部,这个过程可以表示为;回到补零FFT的分析上来,对有限长序列x(n)补零,根据式(9),再加上周期延拓的性质,x(n)是没有发生变化的,只是N增加了。因此,X(ejω)也不变,变化的只是频域间隔。这个过程可以表示为:因此X%¢(ejω)=X(ejω)kå¥=-¥δ(ω-N¢2πk)(13)式中,N′>N。显而易见,频谱的包络没有变(图2(e)和2(f)可清楚看出),只不过频谱采样更密集,而频谱包络不变就表明频率分辨率不变。在这种情况下,增加了频谱采样密度,即提高了可视分辨率,而实际的频率分辨率并没变化。图3表明了补零后与补零前频率域的采样密度变化。另外一方面,从逻辑上讲,DTFT是DFT的基础。所以,决定实际频率分辨率的是x(n)的DTFT,换句话说,即信号x(n)的有效长度N,这是一个基本的结论。所谓x(n)决定频率分辨率有两个方面的意思:第一,样本x(n)的个数;第二,同时也是最重要的一点,即样本x(n)的时域长度。换句话说,时间窗的长度决定了频率分辨率。根据式(4),在采样时间长度NTS不变的情况下,增加采样速率(此时采样点数增加)是不能提高频率分辨率的,甚至不能提高可视分辨率,但可以提高可视频率的最大值。简单证明如下:数字频率ω与模拟频率Ω有如下关系:其中ST为采样间隔。频率归一化后,maxΩ=2π/ST。采样速率提高¢³1SSf=kf,k,此时,maxSΩ=2π/¢=2π¢=(2π/)sSTfkT。这说明,提高采样率k倍后,可视频率的最大值同样增加了k倍。因此,虽然采样点数增加(即时间域的采样密度增加了),但频域的采样密度并未增加,即可视频率分辨率没有增加。通过以上的分析,采样率的变化既可以在时间通过以上的分析,采样率的变化既可以在时间域,又可以在频率域。在频率域提高采样率只得到更好的可视频率分辨率。而在时间域提高采样率,对频率分辨率没有任何影响。实际的通信工程中,要同时考虑到通信的可靠性和系统实现的可行性,来选择采样率和采样点数。4补零fft对频域多采样率的分析本文首先讨论了采样定理,并对其进行了推广。然后从频率分辨率的角度,进行了信号的多采样率的分析,着重分析了补零FFT对频域采样率的变化。并从时频的角度讨论了采样率变化对频率分析的影响。1采样速率的确定和同hf-b的关系根据Nyquist抽样定理,抽样速率HSff≥2(Hf为信号的最大频率)时,原信号可以被采样后的信号准确确定,而不会发生频谱混叠。但这只适用于频谱分布在(0,Hf)的基带信号,对频率分布在(Lf,Hf)的带限信号(见图1(a)),抽样定理有不同的表现形式。其采样速率Sf须满足:)(2的最大正整数(0,1,2,…),原信号才可被完全确定。其中,0f为信号中心频率,B为频率宽度。当带通信号的中心频率满足下面关系时)可用两倍频带带宽速率对带通信号进行采样(如图1(b)所示),此时和Nyquist采样定理是一致的。对于带通信号,还可通过减采样,得到理论上