初中数学分类讨论思想的培养指导 论文

初中数学分类讨论思想的培养指导摘要:数学中的分类讨论思想是研究初中数学问题的重要思想方法,它贯穿于整个数学教学中。学生理解并掌握分理、严谨的分类讨论,这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理,同时也可以培养学生的综合分析能复杂的问题是，正确、合理、严谨的分类讨论,可达到化繁就简,化难为易,分而治之的目的。关键词：分类讨论；数学思维；初中生一、研究背景及意义初中生分类讨论思想的培养可以拓宽学生的应用意识析和解决新的数学问题。分类讨论思想方法其实有两个重点，第一是分类思想，不同点，会产生不同的逻辑方法。而根据逻辑思想的划分，就会产生不同种类的思想方法。分类讨论的思想在初中数学学习过程中有许多方面都更好的了解当前初中生数学分类思想方法的水平和在教育方案，让分类思想方法及时地落到实处。二、分类讨论原则及步骤（一）分类讨论原则分为四种:1、统一性原则，2、互斥性原则，3、相称性原则，4、层次性原则。（二）分类讨论相关步骤思想而解决的数学分类思想方法主要有以下几个步骤:（1）明确分类对象对分类对象还要明确该对象哪些步骤的分类取值会导致不同的过程。所以明确分类对象是进行分类思想方法的第一步。（2）正确选择分类标准图形题的解题方法可能涉及好几种分类，并且有些题型明确要运用两种方法进行解题，这是就需要选用正确的解题步在罗列的过程中可以选择由简到难，或者根据不同的特征进行罗列，与此同时还要善于总结，以便在考试的时候可以快速的选用最简单有效的过程进行答题。（3）逐步谈论解决会遇到部分步骤是相同的，但是我们已经明确了分类对象，当解题过程到达那一步时，需要我们将不同的步骤描写出求出结果。（4）归纳总结归纳总结是解题后，必不可少的一步，因为初中生的数学题型中出现的分类思想方法依旧有迹可循，所以在每次分类题型讨论完后，及时做出总结，方便以后问题的解决，同时还三、安徽中考常见的分类讨论题型列举类型一 代数中的分类讨论思想(2019,14)1.[2019·安徽14题]在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点,若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .[答案]a>1或a<-1[解析]假设函数y=x-a+1与y=x2-2ax图象的交点在x轴上,则由x-a+1=0,得x=a-1,代入二次函数的表达式中,得:(a-1)2-2a(a-1)=0,解得a=1或a=-1.a>1时,随着a的增大,直线y=x-a+1向右平移,抛物线与x轴的交点(2a,0)向右平移,如图,此时直线y=x-a+1与抛物线的交点位于第四象限;a<-1时,随着|a|的增大,直线y=x-a+1向左平移,抛物线与x轴的交点(2a,0)向左平移,此时直线y=x-a+1与抛物线的交点位于第三象限.综上所述,a的取值范围为a>1或a<-1.2.[2020·淮北市名校联考一模]如图,反比例函数y=(x>0)的图象与直线y=x相交于点A,与直线y=kx(k≠0)相交于点B,若△OAB的面积为18,则k的值为 . [答案]6或38[解析]由题意得,{y=

24x, {y1=6,{x, {y1=6,{y2=−6

x1=4,

x2=−4,(舍去),∴点A(4,6).

3y=2y=kx与反比例函数图象的交点B在点A的下方时,过点A,B分别作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N.设点B坐标为a,24a

,则ON=a,BN=

24.a∵点A(4,6)∴OM=4,AM=6.∵S△AOB=S△AOM+S梯形AMNB-S△BON=S梯形AMNB,1 24∴18=（6+）(a-4),解得a1=8,a2=-2(舍去),2 a∴点B(8,3),代入y=kx得,k=3;8(2)如图②,当直线y=kx与反比例函数图象的交点B在点A的上方时,过点A,B分别作AP⊥y轴,BQ⊥y轴,垂足分别为P,Q.设点B坐标为b,,则OQ=,BQ=b.∵点A(4,6),∴OP=6,AP=4.∵S△AOB=S△AOP+S梯形APQB-S△BOQ=S梯形APQB,1 2∴18=(b+4)（24-6）,解得b=2,b=-8(舍去).1 2b∴点B(2,12),代入y=kx得,k=6.故答案为:6或3.83.[2020·合肥瑶海区二模]如果二次函数y=x2+b(b为常数)与正比例函数y=2x的图象在-1≤x≤2时有且只有一个公共点,那么b的取值范围为.[答案]-3≤b<0或b=1[解析]①当b>0时,整理得:x2-2x+b=0,Δ=4-4b=0,解得:b=1,此时交点为(1,2);②当b=0时,抛物线与直线有两个交点:(0,0)和(2,4),不符合题意;③当b<0时,当x=-1时,y=2x=-2,临界点为(-1,-2),将(-1,-2)代入y=x2+b得:-2=1+b,解得:b=-3,故-3≤b<0.故答案为:-3≤b<0或b=1.类型二几何中的分类讨论思想(2018,14/2017,14)1.[2018·安徽14题]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形,则PE的长为 .[答案]3或65[解析]由题意知,点P在线段BD上.如图a所示,若PD=PA,则点P在的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=1DC=3;2 a b(2)如图b所示,若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴PEDC

=BPBD

=1,5∴PE=

1CD=6.5 5综上所述,PE的长为3或6.52.[2017·安徽14题]在三角形纸片ABCC=30°,AC=30cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的点E处,折痕记为BD(如图①),剪去△CDE后得到双层△BDE(如图②),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为cm.[答案]40或80 33[解析]由折叠知AD=DE,∠CAB=∠BED=∠CED=90°,又∠C=30°,得DE=1CD=1AC=10=AD.分两种情况:2 3(1)如图①,过点E作EF∥AC交BD于点F,连接AF,得到平行四边形DEFA,此时四边形DEFA为菱形,周长为4AD=40cm;(2)如图②,过点D分别作AB,BC的平行线,交BC于点F,交AB于点G,得到平行四边形DFBG,此时也为菱形,由DG∥BC,3得∠ADG=∠C=30°,在Rt△ADG中,DG=

AD =cos30°

10=20 ,3 32∴平行四边形DFBG的周长=4DG=

8033

cm.故填40或80 3.33.[2019·芜湖二模]如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P是对角线AC上一动点,若以点P,A,B为顶点的三角形是以AB为腰长的等腰三角形,则△PAB的面积是. [答案]

18或1085 25[解析]分两种情况:（1）当AB=AP时,如图①所示,过点P作PE⊥AB于E点,sin∠PAE=PE

=BC,即PE

=4.AP AC 3 5解得PE=12.5所以△PAB的面积为1×AB×PE=2

18;5（2）当AB=PB时,如图②所示,过B点作BH⊥AP于H点.sin∠HPB=BH

=sin∠BAP=

BC,即BH

=4,BP AC 3 5解得BH=12.HP=BPcos∠HPB=3×3=9,5 55所以AP=2HP=18.故△PAB的面积为1×AP×BH=108.5 2 25四、当前数学分类讨论思想教学现状（一）教师没有区别分类思想和分类讨论的传授方式法解答或者要学生思考全面，但是不会以分类思想为出发点。（二）学生课下“功夫”不到位习惯，在考试的过程当中会下意识的忘记分类讨论。同时，稍微添加或者删减一些语言，学生就会出现细节上的错误。（三）学生概念不清晰，马虎类讨论的方式，使得在实际情况中丢失了不该丢失的分数。的检查过程中没有依据，不知道该题型分类讨论的对错。五、学生分类思想方法培养建议（一）帮助学生习惯养成，检查笔记学生分类思想的知识，同时，还要针对学生他的笔记以及课往往只有在细节上的区分,而在细节上的差异,教师只在课堂中讲授远远不够,教师可以通过定期检查自己学生的笔记,来引导和督促每个学生，培养自己记笔记的良好习惯。（二）借助分类，促进成新，旧知识网络构架借助于分类,促进学习成新,旧知识的网络建设构架学生对于知识的积累往往是循序渐进的,知识积累网络逐步扩大拓展,在这样的情况下,教师需要及时地对学生进行指导,进行对于知识的综合性组织和梳理。构建了存在于新旧知识中的新型知识网络。分类思维,能够把数学知识转换得更加条理化、系统性和结构化,能够推动学生对于所需要的知识点掌握得更加明确,在头脑里张开形成一个明确的系统。以"直线和圆的位置关系"这一主题为实例,教师首先对直线与直线的位置关系问题进行了整合,然后将其引入到这一节课的教学当中来看去,教师首先引导学生先对上述的内容问题进行了回顾,让每个学生都认真地思考一下直线与除了直线之间的位置关系之外,是否还有直线和其他图形的位置关系,如直线和圆的位置关系"。采用这样引入的方式,能够很自然地将学生带入到对于新知识的探索当中来发展过去,建立一个新的知识网络。（三）学生紧跟教师步伐缺少某种方法的书写而扣分。六、总语分类讨论既是一种逻辑性的数学理论思想,更是一种逻们想要有效突破传统的分类讨论这个问题的难点,就需要我们在课堂教学的过程中,还是需要不断地渗透传统的分类和讨论思想,循序渐进地通过解决一些典型的常见分类讨论问题中,给予了学生足够可以思考的时间,抓住了图形的特点和变换,体会了分类的根源和原因,明确了分类的方法和标准,感悟了分类的基本原理,不重复,不留有遗漏。培养正确的归纳和分类方法技巧,并且我们将结果合理整合,逐步加以引导,不断加以归纳,才能培