从解法自然中“观”一道压轴题的核心素养 论文

四能引言：评价试题的核心素养，就要回到自然解法中。养，就是以数学试题为载体，依托解题行为的释放来观察学生的数学核心素养。定。本文就安徽考题第10题先展开自然探索，再在回观反思中揭开蕴涵其内的核心素养。一、试题呈现（2022·安徽第10题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA，的面积分别记为S0，，S2，S3。73若S2S32S0，则线段OP7333A. 2

B.

532

C.3

3D. 2二、自然思考S2S32S01P为△ABC的边AC右侧一点，观察图形，可得S2S3S四边形PABCSPACS0S3S3S02S3，而S2S32S0，所以SPAC

S31S0外寻找一点的面2积等于△ABC的一半。2如何使点P与△ABC的有关概念发生联系呢？将△BCA沿AC翻折180度得到△AB/C，如图2所示。于是问题转化为在△AB/C同侧，作△PCA，使△PCA的面积等于△AB/C的一半。由于△PCA与△AB/C同底，显然，满足条件的△PCA的顶点PAC的距离等于△AB/C中ACP点在△AB/C的中位线所在直线mA A B/ PP PAB C B C m图1 图2

D BCB图3点轨迹是直线mP点。如果立足P导致分类不全而漏解。不妨从△PCA、△PAB、△PBC与△ABC覆盖关系上入手。观察图1与△PCA中只有一个三角形完全覆盖在△ABC的外侧。沿此思路尝试，不难发现另外一种覆盖关系,即△PAB、△PBC与△PCA中有两个三角形完全落在△ABC33S2S32S01时，可得S四边形PBAC2SABC，故P点应满足中，第一类为只有一个三角形完全落在△ABC的外侧；第二类为有两个三角形完全落在△ABC1完全落在△ABC23问题。C1 B1

C1 B1

C1PB1 A

A

A B CBC2 B C B2BA2图4

C2 B2A1 A2图5

B C C2 D 2A1 A2图6下面分别来研究“形外形”是三角形和四边形时两种情形下的P点的轨迹。第一类，形如图1状，当“形外形”是三角形时，P点轨迹如图4中虚线所的AC点必须位于∠ABC的AB左侧，P点必须位于∠ACB内；要使一个三角形完全落在△ABC的BC下侧，P点必须位于∠BAC内。点又分别在相应三角形中位线所在直线上，故第一类P点轨迹是线段第二类，形如图3状，当“形外形”是四边形时，P点轨迹如图5中虚线3点实质上位于△ABC三个内角所在角包含的区域外。因不失一般性，不妨取图56以PAB1△∽△DAB，所以PA:AD=AB1:AB=1:2，根据（*2）知，B1C1是第二类P点的轨迹。同理，A1C2、A2B2也是第二类P点的轨迹。C1 B1

C1P1B1 A

A P2O. B C B2

BO. C B2图7 图8P点的轨迹如图7最短”原理，即可求解OP长的最小值。解：如图8O点到一条长边与一条短边的距离大小即可找到最小值。故作OP1⊥B1C1、OP2⊥B1B2，垂足分别为Rt△OP1B1与Rt△OP2B1中，53OP长的最小值为53（具体过程留于读者）回观全程，大体经历了七层思考：画图明义 初转面积 初探轨迹概念提出完善第一类轨迹完善第二类轨迹图形分类 概念提出完善第一类轨迹完善第二类轨迹图形分类比大小与计算最值。

在“完善第一类轨迹”环节，首先对中位线所在直线B1B2需要，文中略去排除过程。七个环节，思维之流如高山流水，自然天成。三、核心素养1.“三会”目标落地生花从自然思考中不难看出，本题淋漓尽致地再现了2022版数学新课标中关于数学课程总目标——“三会”精神的落实。P点位置开展的合理的分类讨论，也正是基于在关于P实在解决第二类PA2B2的两侧的P点均符合第二类型，但是，它们在面积数量关系上，这些△ABC的“形外四边形”的面积不等于△ABC面积的一半，而这一点论证起来也并不容面积一半的P点？怎样说明找到的轨迹是满地思考”的必然方式与结果。点三角形”与原三角形的空间分布位置上概括出两类P世界”的素养。2.核心素养大融合维驱动的推理中，从对动态的P点关注里，把眼界移向“PP点展开位置O到动点P的距离优先诱发解题者轨迹计算OP1与OP2C1B1时，常见的是构造“X图”相似模型。PP找觅POP1与OP2大等基本思想。从“代数式”S2S32S0到几何的“形外形”的研究，便是抽象的“数形结合”思想的必然，从“点P在△ABCP点位置进行B1B2、C1B1的轨迹到完整的轨迹绘得，P点位置研究中解脱出来，转而对“形外形”研P点的分类；驻足图形直观，敏锐地选择“XC1B1为第二类P点轨迹；借助空间特点，由