从三角形的确定性探讨解直角三角形的问题 论文

从三角形的确定性探讨解直角三角形的问题摘那么这个三角形就不是唯一确定的。其它组合就可以确定这个三角形。关键词：三角形的确定性，解三角形，解直角三角形沪科版八年级上册第14探究，体验获得数学结论的过程中，使用了尺规作图与叠合的方法加以验证的。因此，教材在得出SAS，ASA,SSS的结论时，使用了非常严谨的说法：基本事实。因为沪科版2013年第1版第1378角的补角相等”等，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据。这样的真命题叫做定理。从SAS，ASA,SSS这三个基本事实到AAS，HL普通三角形只要满足前四种情况中的一种情况，直角三角形满足五种情况中的一种情况，那么它的形状与大小就确定了。既然三角形的形状与大小确定了，那么它的其他的未知元素也就确定了，我们就可以通过已知的三个元素，求出剩下的三个未知元素。类比于解直角三角形，我们可以把这个叫做解三角形。根据初中阶段数学教材内容的编排，学生还没有学习正余弦定理，不具备解普通三角形的知识与能力，要想解决相关的问题就需要构造直角三角形的模型，通过解直角三角形来解决相关的问题。沪科版2013年第1版第23章第二节《解直角三角形及其应用》第124页，在直角三角形中，除直角外，如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个元素是边），就可以求出其余的元素。按照这种理论，只要一个直角三角形中再给一边一角或两边即可求出其余的未知元素。这个理论其实还是三角形的确定性问题，即一个直角三角形给SAS，五种情况中的一种，那么这个直角三角形就是唯一确定的，我们就可以在直角三角形中知道其中任意两边，我们都可以通过三角函数确定一个锐角的大小，再根据直角三角形两锐角互余确定另一个锐角。当一个锐角的大小确定了，那么这个锐角的三角函数值就随之确定了。反过来，一个锐角的三角函数值确定了，那么这个锐角也是唯一函数值，也是可以解这个直角三角形的。例如：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinB=4，解这个直角三角形。5的条件，说明一定可以把其余的元素求出来。但是此题所给的条件是∠B的邻边与∠B的正弦值，因此，我们需要转化。转化的思想有两种：思路一：求出∠B的余弦值，根据∠B的邻边BC与斜边的关系，求出斜边，再利用勾股定理求出另一条直角边，然后根据sinB=4查表求出∠B的值，最后根据直角三角形两锐角互5余，求出另一个锐角。思路二：可以设AC=4x，则AB=5x根据勾股定理可以求出x=2，进而求出其余两边，再根据思路一求出两个锐角的值。接下来我们来探究如何在普通三角形中通过已知元素求出未知元素。一、 例如：如图1-1，在△ABC中，∠A=120°，AB=3，AC=2，求BC的长和sinB的值。图1-1分析：在△ABC中，已知两边及其夹角，说明这个三角形是唯一确定的，那我们就可以解过点A向BC作垂线，我们会发现得到的两个直角三角形中没有一个锐角是确定的。这不符合解直角三角形的条件，因此，我们通常不把已知角进行分割。我们可以过点B或者C向对边所在的直线作垂线，利用120°的补角是特殊角构造特殊直角三角形来求解。又因为还要综合考虑求sinB的值,所以这题应该选择过点C向直线AB作垂线，从而达到解题的目的。如果上题改成：在△ABC中，∠B=30°，AB=2，BC=

3+1，求AC的长。就不适合从外部作高，这题应该过点A作BC边上的高，通过解直角三角形的相关知识求解。当遇到这类问题时，高线从外部作还是从内部作，要根据题目给的角度综合考虑。例如：如图2-1，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，BC=2，求AB的长。图2-1分析：在△ABC中，已知两角及其夹边，说明这个三角形是唯一确定的。这题的图虽然和上一题的图类似，但由于所给条件的不同及角度的特殊性，只能通过过点A向BC作高的通过这条公共边，找到两个直角三角形的关系，进而达到解题的目的。这题与上一题的区别是高线在三角形内部，上一题的高线在三角形的外部。辅助线的作法要根据已知条件以及角度的特殊性综合考虑。该题可以把已知条件改成在△ABC中，∠B=30°，∠A=105°，BC=2，求AB的长。这样就确定了。例如：1、如图2-2，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD=30米，求铁塔的高．（结果保留根号）AC D B图2-2分析：根据给的已知条件可以得到∠ACD=30°，∠CDA=135°，CD=30，说明△ACD是唯一确定的，那么CD边上的高AB也是唯一确定的。可以利用Rt△ABD与Rt△ABC公用一条直角边AB来求解。2、如图2-3，是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C在观测站B的北偏西A到小岛C的距离AC为10mile，求观测站B到AC的距离BP。图图2-3分析：此题根据所给条件，我们可以确定∠BAC=30°，∠C=45°，又知道AC为10mile，所以△ABC唯一确定，则AC边上的高也就确定了。我们可以通过设BP为x，根据解直角三角形的相关知识，表示出CP和AP，进而列出关于x的方程，达到解题的目的。角形的边角关系，列方程求解，从而得出结果，这里不再一一列举。三、1、如图3-1，已知在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=

17，则sin∠BAC的值为。图图3-1B C分析：条件中已知三角形的三边，说明该三角形是唯一确定的，那么∠BAC的大小也就确sin∠BAC因为这里要求B作ACC作AB边上的高线，通过勾股定理即可求解。我们根据三角形的确定性再来看一道综合题。如图4-1,4-2，在△ABC中，∠B=45°，AB=6

2，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE和射线BC上分别取点BF,DG.若BF=3DG,且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长是。 图4-1 图4-2分析：如图所示，过F点作FK∥DG交射线BC于点K.由中位线与平行线的性质可得，∠=∠BKF ,即

2，可得△BDG是唯一确定的，则BG的长也就确定了，只需要过D点作DH⊥BC于点H，构造直角三角形即可得出BG=4。到知识的系统化，增加学生解决数学问题的能力。参考文献[1]吴之季苏淳主编上海科技出版社2013