2022年四川省自贡市旅游职业中学高二数学文联考试题含解析

2022年四川省自贡市旅游职业中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个结论：①命题“”否定是“”；②若是真命题，则可能是真命题；③“且”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确的是（

）A.①④ B.②③ C.①③ D.②④参考答案：A【分析】根据特称命题的否定判断①；利用且命题与非命题的定义判断②；根据充要条件的定义判断③；根据幂函数的性质判断④.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得“”的否定是“”，①正确；是真命题可得都是真命题，一定是假命题，②不正确；“”不能推出“且”，③不正确；根据幂函数的性质可得，当时，幂函数在区间上单调递减，④正确，故选A.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查特称命题的否定；且命题与非命题的定义；充要条件的定义；幂函数的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.2.如图是根据某校10位高一同学的身高（单位：cm）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是（）A．161cm B．162cm C．163cm D．164cm参考答案： B【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数的概念，即可求出结果．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；这10位同学的身高按从小到大的顺序排列，排在第5、6的是161、163，所以，它们的中位数是=162．故选：B．【点评】本题考查了中位数的概念与应用问题，是基础题目．3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于（

）参考答案：C略4.函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（

）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D5.已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，则C的方程为（

）A. B. C. D.参考答案：C分析：由椭圆定义可知，可知△AF1B的周长为，从而得，再设点，可得，从而可得，进而得解.详解：由△AF1B的周长为，可知.解得：.则.设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得.即.①又，所以，②由①②解得：.所以C的方程为.故选C.点睛：此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义而得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积，考查了斜率的坐标表示，及点在椭圆上方程的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点.数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.6.设x∈R，则“1＜x＜3”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．∴“1＜x＜3”是“|x﹣2|＜1”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.下列命题：①若是空间任意四点，则有；②是共线的充要条件；③若共线，则与所在直线平行；④对空间任意一点与不共线的三点，若，则四点共面．其中不正确命题的个数是

()(A)1(B)2(C)3(D)4参考答案：C8.已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B．

C．

D．参考答案：C略9.如图所示曲线是函数的大致图象，则（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C10.“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）.A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC为直角三角形，且，AB=8，点P是平面ABC外一点，若PA=PB=PC，且PＯ⊥平面ABC，Ｏ为垂足，则ＯＣ=．参考答案：4略12.复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为

．参考答案：1因为，复数（是虚数单位）是纯虚数，所以，，解得，，故答案为1.13.若数据组的平均数为4，方差为2，则的平均数为，方差为．参考答案：

14.过点作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆的焦点和上顶点，则椭圆方程为．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】方法一：利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程．方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，即可得出切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为，利用切线的性质和点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到切线的距离d=r，可得斜率k，进而得到切线方程和切点．【解答】解：方法一：设点P，O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：．与方程x2+y2=1相减得．令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．∴c=1，b=2．a2=b2+c2=5．∴椭圆的方程为．方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，切点为A（1，0）；设另一条切线的斜率为k，则切线方程为，化为2kx﹣2y+1﹣2k=0，则，解得，得切线方程为3x+4y﹣5=0．联立解得切点B．∴直线AB的方程为：2x+y﹣2=0．以下同方法一．15.如图，空间四边形OACB中，=，=，=，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于．（用向量，，表示）参考答案：+【考点】空间向量的加减法．【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出：==﹣．【解答】解：==﹣=+．故答案为：+．【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知球的表面积为4π，则其半径为．参考答案：1考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：一个球的表面积为4π，由球的表面积的计算公式能求出这个球的半径．解答：解：设这个球的半径这R，则∵一个球的表面积为4π，∴4πR2=4π，解得R=1，故答案为：117.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为____参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）已知椭圆过点，右顶点为点B．（1）若直线与椭圆C相交于点M，N两点（M，N不是左、右顶点），且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（2）E，F是椭圆C的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．参考答案：（1）设点M，N坐标分别为，点B坐标为(2,0)，因为，则，又，代入整理得，（*）

..................3分由得，当时，方程两根为，则有，代入（*）得，

所以或，

.................6分当时，直线方程为，恒过点，不符合题意，舍去；当时，直线方程为，恒过点，该点在椭圆内，则恒成立，所以，直线过定点.

.................8分（2）设点坐标分别为，直线、EF的斜率显然存在，所以，设直线EF的方程为，同（1）由得，（#）当时，方程两根为，则有，①因为直线的斜率与的斜率互为相反数，则，又，代入整理得，②

..................11分①代入②，化简得，即所以或，

.................13分当时，直线方程为，恒过点，不符合题意，舍去；当时，方程（#）即，则时，，所以当且时，恒成立，

.................15分所以，直线EF的斜率为定值.

.................16分（本题也可以通过直接解点的坐标证明，不考虑扣1分）

19.（本小题满分13分）涡阳电视台为了了解涡阳县城观众对世界杯足球赛节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“球迷”，已知“球迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“球迷”与性别有关？

非球迷球迷合计男

女

合计

P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级球迷”，已知“超级球迷”中有2名女性，若从“超级球迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：

参考答案：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“球迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：

非球迷球迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“球迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级球迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.20.（本题满分12分）已知双曲线过点，且与有相同的渐近线.（Ⅰ）求双曲线的标准方程；（II）过双曲线的一个焦点作倾斜角为45的直线与双曲线交于两点，求.参考答案：（Ⅰ）

…………….4分（Ⅱ）不妨设焦点F（4,0），则直线：y=x-4

由消去y得：

设，则

……12分21.(本题满分16分)为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图．点C是半径OB上一点（异于O，B两点），点D是圆弧上一点，且．为了实现“以展养展”现在决定：在线段OC、线段CD及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧处每百米均为a元．设弧度，广告位出租的总收入为y元．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．参考答案：（1）因为∥，所以，在△中，，，百米，由正弦定理得，

…………4分得km，百米．…………5分又圆弧长为百米．所以，．…………7分（2）记，则，………………8分令，得．

……………………9分当x变化时，，的变化如下表：

x＋0－递增极大值递减

所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值．即．………15答：（1），定义域为；（2）广告位出租的总收入的最大值为元．………16分

22.【题文】（本小题满分9分）在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，