2022-2023学年河南省开封市李砦中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年河南省开封市李砦中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，则可以是(A).

(B).

(C).

(D).参考答案：A略2.下列命题中，为真命题的是

（A）,使得.

（B）.

（C）.

（D）若命题：，使得，则：,.参考答案：D3.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,令，则的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.在各项都为正数的等比数列中，首项为，前项和为，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.“关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根，则．方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，则．即可得出结论．【解答】解：关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根，则．方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，则．上述两个不等式组相互推不出．∴关于x的方程x2﹣mx+n=0有两个正根”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了方程与判别式的关系、椭圆的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.若集合，集合,则A∩B=A．（0，+∞）

B．（1，+∞）

C．[0，+∞）

D．（－∞，+∞）参考答案：7.已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交椭圆于点Q，若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．参考答案：D8.是A．最小正周期为的偶函数

B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的奇函数参考答案：D9.（4）函数的一个零点所在的区间是（A）(0,1)

（B）(1,2)

（C）(2,3)

（D）(3,4)参考答案：B10.设复数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数，满足，则的最小值是

参考答案：1略12.如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数，满足，那么输出的等于__________参考答案：13.抛物线的焦点到准线的距离为

．参考答案：

14.如图，在平面四边形ABCD中，，，，.若点M为边BC上的动点，则的最小值为_______.参考答案：【分析】如图所示，以为原点，以所在直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点作轴，过点作轴，∵，，，，∴，，，，设，则，，故，故答案为．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．15.若函数对任意的恒成立，则____________.参考答案：略16.已知抛物线y2=4x上一动点M(x,y),定点N(0,2),则x+|MN|的最小值是,此时点M的坐标为.

参考答案：2，().本题主要考查抛物线的概念与性质等知识,考查考生的运算求解能力、转化与化归能力、数形结合思想.解题时,先由x+|MN|=(|MF|-1)+|MN|=|MF|+|MN|-1≥|NF|-1得到x+ |MN|的最小值,再联立方程求出点M的坐标. 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,x+|MN|=(|MF|-1)+|MN|=|MF|+|MN|-1≥|NF|-1=-1=2,所以x+|MN|的最小值是2,又直线NF的方程为y=-2x+2,联立,得点M的坐标为(). 17.已知正实数满足，则的最小值为________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若，求的值；⑶设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）设椭圆方程为，由题意知：……………2分解之得：，所以椭圆方程为：

……………4分（2）若，由椭圆对称性，知，所以，此时直线方程为，

……………6分由，得，解得（舍去），…………8分故．…………………10分（3）设，则，直线的方程为，代入椭圆方程，得，因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…12分又在直线上，所以，同理，点坐标为，，……………14分所以，即存在，使得．………16分19.已知函数.（1）当时，求满足的实数的范围；（2）若对任意的恒成立，求实数的范围.参考答案：（1）当时，则，整理得即，解得（2）因为对任意的，恒成立，则整理得：对任意的，，所以，则略20.（13分）设函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R），g（x）=x2﹣（a+1）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≥0时，讨论函数f（x）与g（x）的图象的交点个数．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调区间即可；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=，当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）的增区间是（0，+∞），无减区间；当a＞0时，f'（x）=；当0＜x＜时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上，当a≤0时，函数f（x）的增区间是（0，+∞），无减区间；当a＞0时，f（x）的增区间是，减区间是．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣，问题等价于求函数F（x）的零点个数．①当a=0时，F（x）=﹣+x，x＞0，F（x）有唯一零点；当a≠0时，F'（x）=﹣．②当a=1时，F'（x）≤0，当且仅当x=1时取等号，所以F（x）为减函数．注意到F（1）=＞0，F（4）=﹣ln4＜0，所以F（x）在（1，4）内有唯一零点；③当a＞1时，当0＜x＜1，或x＞a时，F'（x）＜0；1＜x＜a时，F'（x）＞0．所以F（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递减，在（1，a）上单调递增．注意到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点；④当0＜a＜1时，0＜x＜a，或x＞1时，F'（x）＜0；a＜x＜1时，F'（x）＞0．所以F（x）在（0，a）和（1，+∞）上单调递减，在（a，1）上单调递增．注意到F（1）=a+，所以F（x）在（1，2a+2）内有唯一零点．综上，F（x）有唯一零点，即函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点．【点评】本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.已知各项均为证书的数列前n项和为，首项为，且是和的等差中项。(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和。参考答案：(Ⅰ)（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由题意知，

……………1分当时，；

……………2分当时，，两式相减得，整理得：，

…5分∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.，

………………6分（Ⅱ）由得，

………………9分所以，，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，.

………………12分.

略22.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间[，e]上的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求f（x）的导数，讨论导数的正负，可得f（x）的单调区间，利用函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，即可求a的值；（Ⅱ）切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′（x0）≤恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围，即得实数a的最小值．（Ⅲ）分类讨论，利用函数的单调性，结合函数的定义域，求出函数f（x）在区间[，e]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，因此函数f（x）在（0，+∞）上有极大值∴lna=a﹣1