2022年江苏省泰州市泰兴洋思中学高三数学理月考试题含解析

2022年江苏省泰州市泰兴洋思中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知0＜a＜1，x=loga+loga，y=loga5，z=loga﹣loga，则(

)A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．z＞x＞y参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】先化简x、y、z然后利用对数函数的单调性，比较大小即可．【解答】解：x=loga+loga=loga，y=loga5=loga，z=loga﹣loga=loga，∵0＜a＜1，又＜＜，∴loga＞loga＞loga，即y＞x＞z．故选C．【点评】本题考查对数函数的性质，对数的化简，是基础题．2.下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则

（

）

A．e1＞e2＞e3

B．e1＜e2＜e3

C．e1＝e3＜e2

D．e1＝e3＞e2

参考答案：D由图知显然①与③是同一曲线，不妨令｜F1F2｜＝1，则①中｜MF1｜＝，c1＝，｜MF2｜＝，a1＝e1＝+1，而②c＝，｜MF2｜＝，∴e2＝＜e1,∴e1＝e3＞e2.选D.3.函数y=x3+ln（﹣x）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】确定函数是奇函数，利用f（1）=0，f（2）=8+ln（﹣2）＞0，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=（﹣x）3+ln（+x）=﹣f（x），函数是奇函数，f（1）=0，f（2）=8+ln（﹣2）＞0，故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，比较基础．4.已知集合，，则（

）A.0

B.3

C.4

D.3或4参考答案：D3或45.曲线f（x）=x2+lnx上任意一点的切线为l1，曲线g（x）=ex﹣ax上总有一条切线l2与l1平行，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求得f（x），g（x）的导数，设M（x1，y1），N（x2，y2）分别是曲线f（x），g（x）上的点，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得切线的斜率相等，运用基本不等式和指数函数的值域可得最值，进而得到a的范围．【解答】解：f（x）=x2+lnx的导数为f′（x）=2x+，g（x）=ex﹣ax的导数为g′（x）=ex﹣a，设M（x1，y1），N（x2，y2）分别是曲线f（x），g（x）上的点，所以在M，N处的切线的斜率为，，由已知可得k1=k2，即对?x1＞0有解．而，当且仅当x1=处取得等号，所以最小值，即，所以，故选C．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为最值间的关系求解，是中档题．6.四棱锥的底面是边长为2的正方形，点均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥的台最大时，底面的中心与顶点之间的距离为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：B7.正项等比数列{}的公比q≠1，且，，成等差数列，则的值为（）A．

B．

C． D．或参考答案：B略8.若等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．8 D．16参考答案：C【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵m＞0，n＞0，2m+n=1，则+=（2m+n）=4+≥4+2=8，当且仅当n=2m=时取等号．故选：C．10.计算（1﹣cosx）dx=（）A．π+2B．π﹣2C．πD．﹣2参考答案：B考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出原函数，即可求得定积分．解答：解：（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）=（﹣sin）﹣[﹣﹣sin（﹣）]=π﹣2，故选：B．点评：本题考查定积分，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=ax2+lnx+1在[e，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．参考答案：略12.已知函数的定义域为，值域为集合的非空真子集，设点，，，的外接圆圆心为M，且，则满足条件的函数有＿＿个．参考答案：1213.中,,是的中点,若,则___．_____.参考答案：略14.过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为

．参考答案：略15.在三棱锥P-ABC中，，，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为__________.参考答案：【分析】画出图形，经过分析可得三棱锥P-ABC的外接球的球心在的外接圆圆心的位置，利用正弦定理即可求出外接球的半径，最后求出表面积。【详解】如图所示：，，则，又，，，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接、，为直角三角形，，，为边的中点，，又在中，，为边的中点，，，，，，即，则为直角三角形，，，又，则平面，又平面，平面平面，又三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，球心在的连线上，又，则点在的外接圆圆心的位置，又，，，则，由正弦定理可得：，解得：，三棱锥的外接球的表面积为：，故答案为：【点睛】解决几何体的外接球问题时，关键在于如何确定外接球球心的位置和半径，其中球心在过底面多边形的外接圆圆心且与底面垂直的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等，利用正余弦定理或是勾股定理求解可得球的半径，本题属于中档题。16.P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且，直线PF2交y轴于点A，则的内切圆半径为

．参考答案：2∵PF1⊥PF2，△APF1的内切圆半径为r，∴|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r，∴|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=2r，∴|AF2|﹣|AF1|=2r﹣4，∵由图形的对称性知：|AF2|=|AF1|，∴r=2．

17.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A. B.或 C. D.或参考答案：B【分析】分双曲线的焦点在x轴和y轴两种情况，由结合渐近线方程可得解.【详解】焦点在x轴时，焦点在y轴时，.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何意义，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；（Ⅲ）求四棱锥的体积。参考答案：解：（I）证法一：取BE的中点H，连结HF、GH，（如图1）∵G、F分别是EC和BD的中点

∴HG//BC，HF//DE，又∵ADEB为正方形

∴DE//AB，从而HF//AB∴HF//平面ABC，HG//平面ABC,HF∩HG=H,∴平面HGF//平面ABC∴GF//平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N连结GM、FN、MN（如图2）∵G、F分别是EC和BD的中点∴又∵ADEB为正方形∴BE//AD，BE=AD∴GM//NF且GM=NF∴MNFG为平行四边形∴GF//MN，又，∴GF//平面ABC证法三：连结AE，∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE中点，…2分∴GF//AC，又AC平面ABC，∴GF//平面ABC（Ⅱ）∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，∴GF//平面ABC又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC

∴BE⊥AC

又∵CA2+CB2=AB2

∴AC⊥BC,

∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面BCE

（Ⅲ）连结CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB， 又平面ABED⊥平面ABC，CN平面ABC，∴CN⊥平面ABED。

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴，

∵C—ABED是四棱锥,∴VC—ABED=

略19.（本小题满分12分）某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A，B两种放假方案，调查结果如下表（单位：万人）：人群青少年中年人老年人支持A方案200400800支持B方案100100已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率.参考答案：20.（本小题满分13分）椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于两点，交轴于点,满足,求直线的方程．参考答案：（I）设右焦点为，则，，或(舍去)

……………2分又离心率，，，，故椭圆方程为.

……5分（Ⅱ）设，，，因为，所以，

①

……7分易知当直线的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，于是设的方程为，联立消得 ② 因为，所以直线与椭圆相交，于是

③，

④，……10分由①③得，，代入④整理得，，所以直线的方程是或.

………13分21.（满分14分）随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。参考答案：（1）随机变量的取值所有可能是：2，3，4，5；的分布列为：2345所以，的数学期望为2）事件与的取值恰好相等的基本事件：共时，

3）因为，所以要比较与的大小，实际上要比较与的大小，由可知，当时，当时，22.已知抛物线C：y2=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案：【考点】K8：抛物线的简单性质；KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得P点坐标，求得直线PF的方程，代入抛物线方程，若四边形AEBD为平行四边形，当且仅当=，即k2（k2﹣1）=0，求得k的值，由k不满足|k|＜1且k≠0，故不存在k使得四边形AEBD为平行四边形．（Ⅱ）由，根据k的取值范围，即可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），D（x4，y4）．联立方程组，整理