2022年广西壮族自治区南宁市新阳西路学校高三数学理下学期期末试题含解析

2022年广西壮族自治区南宁市新阳西路学校高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（） A．l1∥α且l2∥α B． l1⊥α且l2⊥α C． l1∥α且l2?α D． l1∥α且l2?α参考答案：B略2.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（

）A．

B.

C.

D.

参考答案：D3.已知点A、B、C、D均在球O上，，，若三棱锥D-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（

）.A.36π B.16π C.12π D.参考答案：B试题分析：设的外接圆的半径为，，，，，，三棱锥的体积的最大值为，到平面的最大距离为，设球的半径为，则，，球的表面积为，故选B．考点：球内接多面体．【思路点睛】本题考查球的半径，考查球的体积的计算，首先要从题目中分析出主要信息，进而求出球的半径．确定到平面的最大距离是关键．确定，，利用三棱锥的体积的最大值为，可得到平面的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球的表面积．4.命题：“”，则（

）A．是假命题；：

B．是假命题；：

C．是真命题；：

D．是真命题；：

参考答案：B5.已知函数，，则函数的零点个数是（

）A.5 B.7 C.9 D.11参考答案：C【分析】将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点问题，函数f（x）的图象是一段一段的线段，作出函数f（x）及的图象，观察图象即可.【详解】函数的零点转化为与的交点，给k赋值，作出函数及的图象,从图像上看，共有9个交点，∴函数的零点共有9个，故选：C.【点睛】本题主要考查图象法求函数的零点，考查了数形结合思想与转化思想，属于中档题．6.已知是函数的一个零点，若，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：D令从而有，此方程的解即为函数的零点.在同一坐标系中作出函数的图象如图所示.由图象易知，，从而故

7.函数的一部分图象如图所示，其中，，，则（

）

A． B．

C．

D．

参考答案：D略8.在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c?sinA＜sinB＜sinC?sin2A＜sin2B＜sin2C?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C?“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式、不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.两个非零向量满足，则向量与夹角为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A10.若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数（为虚数单位）的实部等于_________.参考答案：-312.曲线在点，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

.参考答案：由可得，切线斜率，在处的切线方程为，即，与坐标轴交于，与坐标轴围成的三角形面积为，故答案为.

13.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用数学期望的概念，建立等式，再利用基本不等式，即可求得ab的最大值．【解答】解：由题意，投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤（当且仅当a=，b=时取等号）∴ab的最大值为．故答案为：．14.观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为

．参考答案：1+++++＜【考点】归纳推理．【专题】探究型．【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜【点评】本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性15.若直线与曲线相交，则的取值范围是______________.参考答案：略16.从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为

．参考答案：

17.设f（x）=，则f（f（2））的值为．参考答案：1考点：函数的值．

专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，由里及外求解f（f（2））的值即可．解答：解：f（x）=，则f（2）=log33=1，f（f（2））=f（1）=e1﹣1=1．故答案为：1．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，基本知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0.（1）若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立.参考答案：解：（1）f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.故当x＝lna时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－alna≥1.①令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减.故当t＝1时，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立.综上所述，a的取值集合为{1}.（2）由题意知，k＝＝－a.令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，则φ(x1)＝－

[－(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－(x1－x2)－1].令F(t)＝et－t－1，则F′(t)＝et－1.当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增.故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.从而－(x2－x1)－1＞0，－(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立.19.（12分）已知函数f(x)＝若，求实数a的取值范围。参考答案：－2<a<1.当x≥0时f(x)＝x2＋4x，可知f(x)在[0，＋∞)上递增，当x<0时f(x)＝4x－x2，可判断f(x)在(－∞，0)上递增，故f(2－a2)>f(a)?2－a2>a，即a2＋a－2<0.解得－2<a<1.20.（本小题满分12分）现有4名学生参加演讲比赛，有A、B两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A题目，掷出其他的数则选择B题目．（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B题目的概率；（Ⅱ）用X、Y分别表示这4个人中选择A、B题目的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．参考答案：解：由题意知，这4个人中每个人选择A题目的概率为，选择B题目的概率为，………1分记“这4个人中恰有人选择A题目”为事件（），，（Ⅰ）这4人中恰有一人选择B题目的概率为

………5分（Ⅱ）的所有可能取值为0，3，4，且

………6分，………7分，………8分，………9分的分布列是034

………10分

所以

………12分

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中、是过抛物线焦点的两条弦，且其焦点，，点为轴上一点，记，其中为锐角．(1)

求抛物线方程；(2)

求证：．参考答案：（1）

由抛物线焦点得,抛物线方程为

……5分

（2）设，则点

……8分所以