2022年辽宁省大连市第七中学高三数学理期末试卷含解析

2022年辽宁省大连市第七中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数，则的图像与直线的交点为、、且，则下列说法错误的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D2.设是实数（I为虚数单位），则等于

（

）

A．

B．1

C．

D．2参考答案：B3.设，为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是(

) （A）2 （B）4 （C）6

（D）8参考答案：D略4.同时具有性质“（1）最小正周期是；（2）图像关于直线对称；（3）在上是增函数”的一个函数是（）A

BC

D参考答案：C5.设全集是实数集，M={|＞4}，N＝{|}，则右图中阴影部分表示的集合是(

)A．{x|－2≤x＜1

B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2

D．{x|x＜2}参考答案：C6.已知α∈(，)，tan（α﹣π）=，则sinα+cosα的值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简已知的等式，求出tanα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，根据α∈（，），得到α的具体范围，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵tan（α﹣π）=tanα=﹣＜0，且α∈（，），∴cosα=﹣=﹣，α∈（，π），∴sinα==，则sinα+cosα=﹣=﹣．故选：C．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围，属于基础题．7.已知函数的零点依次为，则的大小顺序正确的是（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为(

) A． B． C．2﹣1 D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答： 解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1?AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．9.执行如图所示的程序框图，则输出的A的值为（）A．7 B．31 C．29 D．15参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=5时满足条件i≥5，退出循环，输出A的值为15．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A=0，i=1A=1，i=2不满足条件i≥5，A=3，i=3，不满足条件i≥5，A=7，i=4，不满足条件i≥5，A=15，i=5，满足条件i≥5，退出循环，输出A的值为15．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的A，i的值是解题的关键，属于基础题．10.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）。A．

B．C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__________次．参考答案：712.设定义在上的偶函数满足，若，则=

．参考答案：13.曲线在点(0,1)处的切线方程为__________.参考答案：【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。【详解】，当时其值为，故所求的切线方程为，即。【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．

14.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．参考答案：y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x．故答案为：y2=4x．15.在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，F为BE的中点，若，则__________．参考答案：.【分析】两次利用中线向量公式可以得到，从而得到的值，故可计算．【详解】因为为的中点，所以，而，所以，所以，故，填．【点睛】本题考查向量的线性运算和平面向量基本定理，注意运算过程中利用中线向量公式简化计算．16.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为

。 参考答案：17.设函数对其定义域内的任意实数，则称函数为上凸函数．若函数为上凸函数，则对定义域内任意、、，…，都有（当时等号成立），称此不等式为琴生不等式。现有下列命题：①是上凸函数；②二次函数是上凸函数的充要条件是a>0；③是上凸函数，若是图象上任意两点，点C在线段AB上，且；④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则的最大值是。其中，正确命题的序号是

（写出所有你认为正确命题的序号）．参考答案：①③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案：解：（1）函数的定义域为，1）当时，由得，或，由得，故函数的单调递增区间为和，单调减区间为2）当时，，的单调增区间为（2）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“，恒成立”.即可转化为恒成立.令，则只需在恒成立即可，当时，在时，，在时，的最小值为，由得，故当时，恒成立，当时，，在不能恒成立，当时，取，有，在不能恒成立，综上所述，即时，至少有一个，使成立.19.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于．（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）可设且显得的长，当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，进而求得|PF2|的最小值，进而判断出，求得e的范围．（2）依题意求得Q点坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而表示出x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2的表达式和x1?x2+y1?y2，进而根据OA⊥OB，判断出=0求得k和a的关系，表示出圆心到直线度的距离，根据（1）中e的范围确定c的范围，进而确定S的范围，则其最大值可求．【解答】解：（1）依题意设切线长，∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a﹣c，∴，∴，从而解得，故离心率e的取值范围是；（2）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，代入直线方程得y1y2=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=，，又OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，∴k2=a2，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离，由图象可知，∴，∴，∴，所以．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生数形结合的思想，转化和化归思想的运用．20.已知A是抛物线上的一点，以点A和点为直径两端点的圆C交直线于M，N两点，直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点.（1）求线段MN的长；（2）若，且直线PQ与圆C相交所得弦长与相等，求直线l的方程.参考答案：（1）2；（2）直线的方程为或.试题分析：（1）写出圆的方程，代入x=1，建立关于M,N点纵坐标的韦达定理，，可求解。（2）设，由，得，则，设直线消x，可解。试题解析：（1）设，圆方程为，令，得，∴，，．（2）设直线的方程为，，，则由消去，得，，，∵，∴，则，∴，解得或，当或时，当到直线的距离，∵圆心到直线的距离等于直线的距离，∴，又，消去得，求得，此时，，直线的方程为，综上，直线的方程为或．21.某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[60,150]），按下列分组[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[70,90)内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．份数[60,80)[80,120)[120,150]可能被录取院校层次专科本科自招（1）求n的值及频率分布直方图中的x,y值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（1）0.014；（2）；（3）见解析【分析】（1）由图2知分数在的学生有4名，由图1知，频率为，由此能求出的值及频率分布直方图中的值；（2）能被专科院校录取的人数为6人，抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是，从而从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为，记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为，由此可求出此2人都不能录取为专科的概率；（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人，成绩能过自招线人数为12人，随机变量的所有可能取值为，分别求出随机变量的分布列和数学期望．【详解】（1）由图知分数在的学生有名，又由图知，频率为：，则：，（2）能被专科院校录取的人数为：人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为则此2人都不能录取为专科的概率：（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为人成绩能过自招线人数为：人，又随机变量的所有可能取值为∴；；；随机变量的分布列为：0123

【点睛】本题考查频率、频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、对立事件概率计算、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

22.如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=．（1）求证：面PAB⊥平面PDC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

参考答案：（1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三