2022-2023学年湖北省咸宁市杨芳林乡中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年湖北省咸宁市杨芳林乡中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知有极大值和极小值，则的取值范围为（

）A．

B．C．或

D．或参考答案：C试题分析：，其判别式，解得或.考点：导数与极值．【思路点晴】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．2.已知向量m，n满足m＝(2,0)，n＝()．在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC边的中点，则||等于()A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：A3.已知f（x）=在区间（0，4）内任取一个为x，则不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】先求出不等式log2x﹣（log4x﹣1）f（log3x+1）≤的解集，再以长度为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，log3x+1≥1且log2x﹣（log4x﹣1）≤，或0＜log3x+1＜1且log2x+2（log4x﹣1）≤，解得1≤x≤2或＜x＜1，∴原不等式的解集为（，2]．则所求概率为=．故选：B．4.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：由三视图知该几何体是高为的三棱柱截去同底且高为的三棱锥所得几何体，体积等于，选B．5.若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点，若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=kα（k＞1），那么α的值是(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（m，n），得直线PA、PB的斜率KPA和KPB满足：KPA?KPB=，由点P是双曲线x2﹣y2=a2上的点，得n2=m2﹣a2，整理得KPA?KPB=1．由斜率与倾斜角的关系，得tanα?tanβ=1，结合三角函数诱导公式，得α+β=，最后根据β=α化简整理，即可得到本题的答案．解答： 解：∵双曲线方程为x2﹣y2=a2，即﹣=1（a＞0）∴双曲线的左顶点为A（﹣a，0），右顶点为B（a，0）设P（m，n），得直线PA的斜率为KPA=；直线PB的斜率为KPB=∴KPA?KPB=…（1）∵P（m，n）是双曲线x2﹣y2=a2上的点，∴m2﹣n2=a2，得n2=m2﹣a2，代入（1）式得KPA?KPB=1，∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=KPA，tanβ=KPB，∴tanα?tanβ=1，∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角∴α+β=（k+1）α=，解之得α=，故选D．点评：本题给出等轴双曲线上一点P，求P与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．6.设是定义在R上以2为周期的奇函数，已知当时,在（1，2）上是

（

）A减函数且>0

B.增函数且>0

C.减函数且<0

D.增函数且<0参考答案：D略7.如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点无信号的概率是(

) A．1﹣ B．﹣ C．+ D．参考答案：A考点：几何概型．专题：应用题；概率与统计．分析：OA的中点是M，则∠CMO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧OC围成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．解答： 解：OA的中点是M，则∠CMO=90°，半径为OA=rS扇形OAB=πr2，S半圆OAC=π（）2=πr2，S△OmC=××=r2，S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2，两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2，图中无信号部分的面积为πr2﹣r2﹣（πr2﹣r2）=πr2﹣r2，∴无信号部分的概率是：．故选：A．点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键是求无信号部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．8.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，，设其前n项和为Sn，若，，成等差数列，则（）A.682 B.683 C.684 D.685参考答案：A【分析】由，且，，成等差数列，求出公比，由此能求出．【详解】解：∵各项均为正数的等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，，且，解得，，故选A．【点睛】本题考查等比数列的前5项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识、考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.函数f（x）=2x﹣4sinx，x∈[﹣，]的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用．分析：先验证函数是否满足奇偶性，由f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除AB，再由函数的极值确定答案．解答：解：∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选：D．点评：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,若互不相等，且,则的取值范围是__________．参考答案：(1，2014)略12.从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是 参考答案：13.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的侧面积为

参考答案：略14.球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．15.设函数则时x的取值范围是________．参考答案：综上得，的取值范围为：.16.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差，则=____________。参考答案：略17.在中，角所对的边分别为，已知，且，则=

.

参考答案：

【知识点】正弦定理;余弦定理C8解析：根据正弦定理把可化简为,即,所以,所以,又有,则,解得=,故答案为.【思路点拨】先利用正弦定理、余弦定理可得以及,再利用正弦定理即可。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.(Ⅰ)求该函数图象的对称轴；(Ⅱ)在中,角所对的边分别为,且满足,求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)由即即对称轴为……6分（Ⅱ）由已知b2=ac即的值域为.……14分19.双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴垂直的直线交双曲线C于A、B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2=2px（p＞0）以双曲线C的右顶点为焦点．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）如图，点为抛物线E的准线上一点，过点PM作y轴的垂线交抛物线于点，连接PO并延长交抛物线于点N，求证：直线MN过定点．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设F2（c，0），由令x=c代入C的方程有：，求出A的纵坐标，代入三角形面积公式求得c，则抛物线方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得M坐标，写出直线PO的方程，与抛物线方程联立可得N的坐标，当t2≠4时，写出MN所在直线方程，化简后说明直线MN过定点（1，0），当t2=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）．【解答】（Ⅰ）解：设F2（c，0）（c＞0），则令x=c代入C的方程有：∴∴a=1，故，即p=2∴抛物线E的方称为：y2=4x（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：P（﹣1，t）（t≠0），则直线PO的方称为y=﹣tx，代入抛物线E的方程有：当t2≠4时，∴直线MN的方程为：，即∴此时直线MN过定点（1，0）当t2=4时，直线MN的方称为：x=1，此时仍过点（1，0）即证直线MN过定点【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查了双曲线与抛物线关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．20.如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

参考答案：（Ⅰ）证明：连结，因，是的中点，故．

又因平面平面，故平面，

…………2分于是．

又，所以平面，

所以， …………4分又因，故平面，所以． …………6分（Ⅱ）解法一：由（I），得．不妨设，．

…………7分因为直线与平面所成的角，故，所以，为等边三角形．

…………9分设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．取的中点，连结，，则，，所以为二面角的平面角．

…………12分在中，，，

…………13分故，即二面角的余弦值为．

…………14分

解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，

…………8分从而，.

设平面的法向量为，由，得，可取．

…………10分同理，可取平面的一个法向量为

．

………12分于是，

……13分易见二面角的平面角与互补，所以二面角的余弦值为．

…………14分

略21.（12分）一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；（Ⅱ）