2021江苏高考数学压轴题的分析与解 (一)

江苏卷

11.若函数/(x)=2f—+在(0+8)内有且只有一个零点，则/(X)在［—1,1］上的最大值与最小值

的和为▲.

解析：-3

函数/(%)导函数为

f\x)=6x?-2ax=2x(3x-a),

情况一：。40.此时/(x)在(0,+8)递增，又f(0)=1,所以/(x)在(0,+8)无零点，舍去.

情况二：“>0.此时/(幻在(0,孑递减，在(g+8)递增.

在(0,+oo)上，在x=¥处取得极小值

3

a2a3a327-，

/(-)=———+1=---------=0

327927

a=3

此时

/(X)-2X3-3X2+1,r(x)=6x(x-1),xe［-l,l］

/(x)在［-1,0］递增，在［0』］递减，/(-1)=-4,/(1)=0.

可得

/(U(0)=l，/MKT)一

/Wmax+f(X)min=-3

12.在平面直角坐标系xOx中，A为直线/:丫=加上在第一象限内的点，5(5,0),以48为直径的圆C与直

线/交于另一点D.若ABCD^O,则点A的横坐标为▲

解析：3

方法一：几何法.

由A8・CZ)=(),AC=DC=BC,可得△AOB为等腰直角三角形.

因为

tanNDOB=2,OB=5

所以

0M=」MB=」08=1,DM=20M=2

45

构造如图所示一线三垂直，有

丛AND义:丛DMB

AN=DM=2

XA=OM+AN=3

方法二：向量法.

+5

设A(a,2a),a>0,D(b,2b),b丰a,则,a)

2

由AB•CD=0和AO•8。=0,得

旃(5-a)(b--2a(2b-a)=0

[ADBD=(b-a)(b-5)+4b(b-a)=5(.b-l)(b-a)=0

解得

xA=a=3

方法三：解析法.

设A(a,2a),a>0,则cdtja)

2

圆C方程

〃+522(〃-5)22

(x-)+(y-a)=+a

24

与y=2x联立，得

%=1,ZX1,2)

,,。+55(a—3)(a+1)

ABCD=(5-a)(l-----)一2〃(2—。)=-------------=0

22

=4=3

13.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,4c,ZABC=120°,NA8C的平分线交AC与点D,且

BD=1，则4〃+c的最小值为A_.

解析：9

方法一：正余弦定理.

△48。和△CB。中，正弦定理得

A。_cDC_a

sin60°sin。sin60°sin。

所以

AH

—二；C（角平分线分线段成比例）

DCa

△A3。和△。?£）中，余弦定理得

222

AD=c+l-c9CD=CT+1-a

所以

C2+1-C_C2

a1+\-aa2

即

(Q-c)(a+c)=ac{a-c)

恒成立.

可得

4tz+c=(4«+c)(J_+l.)=5+£+lfL>5+2口.故=9

acacvc

当且仅当f=丝即c=2a时取等

ac

方法二：面积法.

由△ABC面积可得

Lacsin120°=sin60°+」csin60°

222

a-hc=ac,(a-l)(c-1)=1

4〃+c=4(a-l)+(c-l)+5>4g-l)(c-l)+5=9

c

当且仅当』=兰4Q即c=2«时取等

方法三：几何法1.

如图作垂线，可得

a_1

tanZCDM=----=—_L

出忑＞

T

2a+2c—2

tan(ZCDM+ZCDN)二----W=Ms+c-l)

i4ac—2"2c+l1+。+c—lac

1—

3

a+c=ac

同上可求.

方法四：解析法.

建立如图所示坐标系，则

吟当孚多加,。）

c-a

于是以B=直线AB的方程为

招(c+a)

y=ca.(X+季a)

2招(c+a)2

又直线AB经过点D，有

\-a=c-aJia

24(c+a)2

a+c=ac

同上可求.

方法五：向量法.

由角平分线分线段成比例，得

~cb^-益

a

向量共线定理

而=，.瓦+:说

a+ca+c

对上式进行平方得

(a+

a+c=ac

同上可求.

方法六：几何法2.

构造如图所示图形，则

J_c-l

ac

a+c-ac

同上可求.

14.已知集合A={x|x=2"-l,”eN*},={A-|x=2M,neN|.将AUB的所有元素从小到大依次排列构

成一个数列{«„}.记S“为数列{/}的前n项和，则使得S„>12a,l+l成立的〃的最小值为▲.

解析：27

由S„>12«„+,可知,〃>24且a6史B.

当

2"'<2(〃+1-m)-1<2"i(即2-I+m<n<—__zl+m)

22

此时25且

*2*4m+l

an+-2(/?+1-m)-I-2n-m+i,Sm)+2-2

由S.>12a,用得

(n-m)2+2n,+l-2>12(2n+l)

tr-2(m+12)〃+(M+2叱】+24加一14)>0

若机=5,解①和②，得〃>27,成立.

所以〃min=27•

此题亦可先将机=5带入得

2

%+=2”-9,St-(»-5)+62

从而求出〃min=27.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点/；),焦点「(中,0)，4序0),圆。的直径为FF.

(1)求椭圆C及圆。的方程；

(2)设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线/与椭圆C交于48两点.若△OAB的面积为这求直线/的方程.

7

(第18题)

解析：

2

(1)椭圆C的方程：—+f1

4'

圆。的方程：x2+y2=3

(2)①

方法一：利用一元二次方程求解.

直线/存在斜率，设直线/方程为

y-kx+m(k<0,m>0)

与椭圆方程联立，相切△=(),有。2%2+6=加2,则

4k2+1=m2

与圆方程联立，相切△=(),则

3公+3=疗

解得

k—f,m—3

所以直线/方程为

y=-近x+3

与圆方程联立得切点P(&1)

方法二：利用切线方程求解.

设直线/与圆切点尸(与，%)(%)>0，%>0)，则直线/方程为

*0%+>0>=3

设直线/与椭圆切点Q(X”M),则直线/方程为

x,x+4y,y=4

直线/方程是相同的，所以

包=出三3

4M4

即

41

x=_x，y=_y

,B0-'30

由于点。(匹,口)在椭圆上，有

龙：+432=4

带入得

4fy2

_sr1-'F]

99

又点「(两，%)在圆上，有

『+/=3

解得

x（）=d2,y0=1

所以切点P屹1）

②设直线/方程为

y=kx+m(k<0,m>0)

与椭圆方程联立得

(4k2+l)x2+8kmjc+4m2-4=0

设与椭圆的两交点

A(x],kx、+ni),A(x2,kx2+m)

由①知与圆相切，与椭圆相交，有

3女2+3=m2

46+1>rrr

解得

k<「〃z=j3(l+i)

A=16(4Z:2+1-77Z2)

方法一：利用三角形底高公式求解.

AnI\l，2.Nk+1-m•W+l

A』对"+1=4〃+]

原点0到直线/距离

,m

a=.

VP+i

工期“病・加・机=2g2芈2+1)

24k+1显?+i4%+17

解得

k—§,m—3J2

所以直线/方程为

y=-不x+

方法二：利用三角形宽高公式求解.

将x=0带入直线/方程，得0(0,〃。

S尤-A-OD=I4&2+1-♦28-2.很?+1)

△A°B2112厂23+1止+1

解得

k=',m=3,tj2

所以直线/方程为

y=-木x+3^2

19.记/(x),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数.若存在x()wR,满足/(X())=8®,)且:(々)=8/0),则

称与为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.

(1)证明：函数八万)=欠与8。)=炉+2*_2不存在“S点”；

(2)若函数/(幻=以2一1与g(x)=inx存在“S点”,求实数。的值；

(3)己知函数/(幻=-彳2+。，g(x)=4-.对任意。>0,判断是否存在6>0,使函数/(x)与g(x)在区

间(0,+8)内存在“S点”，并说明理由.

解析：

①对/(x)和g(©求导，得

尸(x)=l,g，(x)=2x+2

因为f(^o)=g(x。)且fr(xo)=g'(Xo)，得

[x=x2+2x-2

JO00

[1=2x0+2

无解，所以f(x)与g(x)不存在“S点”

②对/(x)和g(x)求导，得

/'(九)=2ax,g'(龙)=1

X

因为/(々)=g(x())且((入0)=g'(xo)＞得

ax2-1«=iInx

oo

c1

2ar0=——

xo

解得

e

a三

2

③对/(x)和g(x)求导，得

''bex(x-\)

/(x)=-2x,g(x)=,

XT

因为/(Xo)=g(Xo)且/'Qo)=g'(x。)，(々〉0)，得

①

因为匕>0,由②得0</<1

将①带入②可得

(Q-.V)(X—1)

-2x0=_□«__Q_

分离变量

-2fx3-八

〃一Uo----Q(3)

ax-^l°X-1

00

构造函数

—3x^x'—3x?—cix+ci

〃(x)=-------a=-------------(o<x<l,4Z>0)

x-\X~1

构造函数

m(x)=d-3d-奴+a(a>0)

由于

m(0)=>0,m(l)=-2<0

所以机(x)在(0,1)上有零点

所以人。)在(0,1)上有零点

即对于任意。＞0,总存在0＜曲＜1和6＞0,使得①②③成立，函数/(尤)与g(x)在区间(0,+oo)内存在“S

点”.

20.设｛为｝是首项为q,公差为d的等差数列，出“｝是首项为仇，公比为q的等比数歹人

(1)设4=0,仇=1闻=2,若|4,-2区仇对〃=1,234均成立，求d的取值范围:

⑵若才0,，”eN*,ge(l,Q＜l，证明：存在"eR,使得|丁〃后分对〃=2,3,…，烧+1均成立，并

求d的取值范围(用表示).

解析:

⑴将〃=1,2,3,4分别带入|a“-aJW瓦

p-ll<1

\d-\<\75

,L,,，解得

\2d-^<132

3J-8|<1

(2)由a=〃>0,，"€N*,qe(l/2］可得

a=b+Qt-l)d,b=bcf'

n1n1

带入瓦,有

卜+(n-1)J-b/b

即

b(/-2)bZ

-J--------<d<^—

n-1n-1

对”=2,3,…,m+1均成立

比较「2)与运二大小

n-1n-\

乎i-2)”2^-2)，》,i

-1--------<—1----------<0v」<-^--------

n-1n-1n-1n-1

所以存在JeR,使得|