中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：专题09 分式方程(原卷版)

专题09分式方程【专题目录】技巧1：分式的意义及性质的四种题型技巧2：分式运算的八种技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围技巧4：分式求值的方法【题型】一、分式有意义的条件【题型】二、分式的运算【题型】三、分式的基本性质【题型】四、解分式方程【题型】五、分式方程的解【题型】六、列分式方程【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．【考点总结】一、分式分式的相关概念分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意义的条件因为0不能做除数，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，则分式eq\f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)没有意义．值为0在分式eq\f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq\f(A,B)的值为0分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)约分将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分通分将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分分式运算分式加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．【考点总结】二、分式方程分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.（2）常用方法：①去分母;②换元法.（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.运用解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.【技巧归纳】技巧1：分式的意义及性质的四种题型【类型】一、分式的识别1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．【类型】二、分式有无意义的条件3．若代数式eq\f(1,a－4)在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为()A．a＝4B．a>4C．a<4D．a≠44．当x＝________时，分式eq\f(x－1,x2－1)无意义．5．已知不论x为何实数，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)总有意义，试求m的取值范围．【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值为正数，则x的取值范围是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值为负数，则x的取值范围是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值为0，求a的值及b的取值范围．【类型】四、分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是()A.eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)B.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)C.eq\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)D.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)从左到右的变形成立，x应满足的条件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．技巧2：分式运算的八种技巧【类型】一、约分计算法1．计算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).【类型】二、整体通分法2．计算：a－2＋eq\f(4,a＋2).【类型】三、顺次相加法3．计算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).【类型】四、换元通分法4．计算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).【类型】五、裂项相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．计算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).【类型】六、整体代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．【类型】七、倒数求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．【类型】八、消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x的分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)与分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范围．【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值3．如果解关于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1时出现增根，那么m的值为()A．－2B．2C．4D．－44．若关于x的方程eq\f(m,x2－9)＋eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,x－3)有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5．若关于x的分式方程eq\f(x－a,x＋1)＝a无解，则a＝________.6．已知关于x的方程eq\f(x－4,x－3)－m－4＝eq\f(m,3－x)无解，求m的值．7．已知关于x的分式方程eq\f(x＋a,x－2)－eq\f(5,x)＝1.(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程无解，求a的值．技巧4：分式求值的方法【类型】一、直接代入法求值1．先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq\f(a,a－1)，其中a＝5.【类型】二、活用公式求值2．已知实数x满足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq\f(1,x4)的值．3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．【类型】三、整体代入法求值4．已知eq\f(x,y＋z)＋eq\f(y,z＋x)＋eq\f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)的值．【类型】四、巧变形法求值5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq\f(1,2x)的值．【类型】五、设参数求值6．已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，求eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1、使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【题型】二、分式的运算例2、分式化简后的结果为（）A． B． C． D．【题型】三、分式的基本性质例3、若=，则的值为（）A．5 B． C．3 D．【题型】四、解分式方程例4、方程的解是（）A． B． C． D．【题型】五、分式方程的解例5、关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．分式方程（达标训练）一、单选题1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（

）A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠12．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程的解为（

）A． B．0 C．1 D．23．（2022·天津南开·二模）化简的结果是（

）A． B． C． D．4．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（

）A．2 B．－2 C．1 D．－15．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程的解为______．7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____．三、解答题8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：．分式方程（提升测评）一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x元，则列出方程正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值为（

）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或33．（2022·安徽·三模）化简的结果是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黄石·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．7．（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．三、解答题8．（2022·重庆市育才中学二模）在刚刚过去的“五一”假期中，某超