中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：专题30 与圆有关的位置关系(原卷版)

专题30与圆有关的位置关系【专题目录】技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法【题型】一、判断点与圆的位置关系【题型】二、三角形外接圆的相关计算【题型】三、确定圆的条件【题型】四、判断直线与圆的位置关系【题型】五、利用切线的性质定理进行计算【题型】六、切线性质与判定的综合【题型】七、利用切线长定理进行计算【题型】八、三角形内切圆的相关计算【题型】九、圆内接四边形的相关计算【题型】十、判断圆与圆的位置关系【考纲要求】1.了解直线和圆的位置关系，并会判断直线和圆的位置关系．2.了解点和圆的位置关系，并会判断点和圆的位置关系．3.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质．4.掌握三角形内切圆的性质.【考点总结】一、点、线与圆的位置关系如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:（1）点在圆外⇔d>r;（2）点在圆上⇔d=r;（3）点在圆内⇔d<r.2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rd=rd<r3.切线的性质与判定（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4.*切线长定理（1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.（2）定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.【技巧归纳】技巧1：有关圆的位置关系的四种判断方法类型一：点与圆的位置关系eq\a\vs4\al(方法1)定义法1．如图，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为()A．2eq\r(2)<r<eq\r(17)B.eq\r(17)<r<3eq\r(2)C.eq\r(17)<r<5D．5<r<eq\r(29)(第1题)2．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3eq\r(5)，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD的长为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内eq\a\vs4\al(方法2)比较法3．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离OD＝3cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三点与⊙O的位置关系各是怎样的？类型二：直线与圆的位置关系eq\a\vs4\al(方法3)交点个数法4．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．无法确定eq\a\vs4\al(方法4)距离比较法5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4cm，以点C为圆心，4cm为半径画⊙C，试判断直线BD与⊙C的位置关系，并说明理由．(第5题)6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以点C为圆心、R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的取值范围．(第6题)技巧2：切线的判定和性质的四种应用类型类型一：应用于求线段的长1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，cosA＝eq\f(2,5)，求DF的长．(第1题)类型二：应用于求三角函数值2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．(第2题)类型三：应用于求圆的半径3．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．(第3题)类型四：应用于求图形的面积4．如图，AB为⊙O的直径，D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连接CD，若OA＝AE＝4，求四边形ACDE的面积．(第4题)技巧3：圆中常用的作辅助线的八种方法类型一：作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4cm，求该半圆的半径．(第1题)类型二：连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.(第2题)类型三：作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)类型四：证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)类型五：遇弦加弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)(第5题)(第6题)6．如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2eq\r(3)，OH＝1，则∠APB＝________.类型六：遇直径巧加直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长．(第7题)类型七：遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝eq\r(3)，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)类型八：巧添辅助线计算阴影部分的面积9．如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6eq\r(3)cm.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求由弦CD，BD与eq\o(BC,\s\up8(︵))所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．(第9题)【题型讲解】【题型】一、判断点与圆的位置关系例1、若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置为（）A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定例2、已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断【题型】二、三角形外接圆的相关计算例3、有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）A．淇淇说的对，且的另一个值是115°B．淇淇说的不对，就得65°C．嘉嘉求的结果不对，应得50°D．两人都不对，应有3个不同值例4、过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（）A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）【题型】三、确定圆的条件例5、如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线例6、如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【题型】四、判断直线与圆的位置关系例7、如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【题型】五、利用切线的性质定理进行计算例8、如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°例9、如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°例10、如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是（）A．65° B．60° C．58° D．50°例11、如图，△ABC内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（）A． B． C． D．例12、如图，分别与⊙O相切于两点，，则()A． B． C． D．【题型】六、切线性质与判定的综合例13、如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．例14、如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O与相交于点，过点作⊙O的切线交于点．（1）求证：；（2）若⊙O的半径为，，求的长．【题型】七、利用切线长定理进行计算例15、如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5例16、如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【题型】八、三角形内切圆的相关计算例17、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9例18、如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（）A． B． C． D．不确定【题型】九、圆内接四边形的相关计算例19、如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（）A． B． C． D．例20、如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．110° B．130° C．140° D．160°例21、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【题型】十、判断圆与圆的位置关系例22、已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8例23、如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含 B．内切 C．外切 D．相交与圆有关的位置关系（达标训练）一、单选题1．图，在平面直角坐标系中，以M（3，5）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则tan∠ACM的值是（

）A． B． C． D．2．如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°3．如图，的内接四边形中，，则为（

）A． B． C． D．4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D重合），连接BE，若∠A=60°，则∠BED的度数可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°5．如图，的直径与弦的夹角为25°，过点C的切线与的延长线交于P，则的度数为（

）°．A．25 B．30 C．35 D．406．下列说法正确的是（）A．为调查全国人民对粮食的关注度，应采用全面调查B．“三点确定一个圆”是必然事件C．成语“水中捞月”是随机事件D．随意掷一枚5角钱币，落地后每一面向上的机会一样二、填空题7．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C．若∠BCD＝50°，则∠ABC的大小为______°．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是______．三、解答题9．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．10．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接B