中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：专题21 解三角形(原卷版)

专题21解三角形【专题目录】技巧1：解直角三角形的五种常见类型技巧2：求锐角三角函数值的常用方法技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型【题型】一、锐角三角函数的定义【题型】二、利用正弦的相关知识求解【题型】三、利用余弦的相关知识求解【题型】四、利用正切的相关知识求解【题型】五、特殊角的三角函数值【题型】六、解直角三角形【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题【考纲要求】1、理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形．2、掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．3、了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算．4、利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.【考点总结】一、锐角三角形函数与解直角三角形锐角三角形函数与解直角三角形锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)对边对边邻边斜边ACB【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a).解直角三角形的几种类型及解法(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝eq\f(a,sinA)，b＝eq\f(a,tanA)(或b＝eq\r(c2－a2))；(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝eq\r(c2－a2))；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝eq\r(a2＋b2)，由tanA＝eq\f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝eq\r(c2－a2)，由sinA＝eq\f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A．【考点总结】二、解直角三角形的应用解直角三角形的应用仰角与俯角当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．坡角与坡度坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．【技巧归纳】技巧1：解直角三角形的五种常见类型 【类型】一、已知两直角边解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2eq\r(3)，b＝6，解这个直角三角形．【类型】二、已知一直角边和斜边解直角三角形2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．【类型】三、已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长．【类型】四、已知斜边和一锐角解直角三角形4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．【类型】五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型1：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)5．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝eq\f(1,3)，求∠A的三角函数值．题型2：化解四边形问题为解直角三角形问题6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝eq\r(2)，BE＝2eq\r(2).求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3：化解方程问题为解直角三角形问题7．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sinA＋sinB的值．技巧2：求锐角三角函数值的常用方法【类型】一、直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，则tanB的值是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求sinC的值．3．如图，直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.求：(1)点B的坐标；(2)sin∠BAO的值．【类型】二、利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A为锐角，且sinA＝eq\f(\r(3),2)，则cosA的值为()A．1B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)5．若α为锐角，且cosα＝eq\f(12,13)，则sin(90°－α)的值为()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(12,5)6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．【类型】三、巧设参数7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)【类型】四、利用等角来替换8．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sinB的值．技巧3：“化斜为直”构造直角三角形的方法【类型】一、无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋eq\r(3)，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．【类型】二、有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【类型】三、有三角函数值不能直接利用时作垂线3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin∠BCD＝eq\f(1,3)，求tanA的值．【类型】四、求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，求tan∠BPC的值．技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型【类型】一、构造一个直角三角形解实际问题1．【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8m，已知小汽车车门宽AO为1.2m，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．【类型】二、构造形如“”的两个直角三角形解实际问题2．黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1m，参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．【类型】三、构造形如“”的两个直角三角形解实际问题3．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数．(2)求教学楼的高BD(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．【类型】四、构造形如“”的两个直角三角形解实际问题4．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14m．求居民楼的高度(结果精确到0.1m，参考数据：eq\r(3)≈1.73)．【题型讲解】【题型】一、锐角三角函数的定义例1、在中，，，，那么下列结论正确的是（）A． B． C． D．【题型】二、利用正弦的相关知识求解例2、如图，在Rt△ACB中，，若，则的长为（）A．8 B．12 C． D．【题型】三、利用余弦的相关知识求解例3、在中，，如果，那么的长为（）A． B． C． D．【题型】四、利用正切的相关知识求解例4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【题型】五、特殊角的三角函数值例5、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则（）

A． B． C． D．【题型】六、解直角三角形例6、比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（）A． B． C． D．【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题例7、如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）解三角形（达标训练）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（

）A． B． C． D．2．的值等于（

）A． B． C．1 D．3．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为35°，底端点C与顶端点B的距离为50米，则赛道AB的长度为（

）米．A． B． C． D．4．的值等于（

）A． B． C． D．5．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（

）A． B． C． D．二、填空题6．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB，已知坡AB的长为30m，坡角∠ABH约为42°，则坡AB的铅直高度AH约为______m．（参考数据：，，）7．如图斜坡的坡比为，竖直高度为1米，则该斜坡的水平宽度为______米．三、解答题8．某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°．测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大树AB的高．（精确到1米，参考数据：）解三角形（提升测评）一、单选题1．在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则cosC的值为（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．2．如图，在中，，则长为（

）A．4 B．8 C． D．123．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线，分别交、于点D、E，连接，若，，则的面积为（

）A． B． C． D．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四个选项，正确的是（）A． B． C． D．5．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为A．+1 B．2 C． D．-二、填空题6．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，并使点落在AB边上，则点B所经过的路径长为____．（结果保留π）7．如图，在等边