《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲课时：175学分：11合用专业：电子信息工程一、课程性质高等数学课程是高等院校电子信息工程专业学生的一门必修的重要基础理论课，为深入学习电子信息工程专业课程奠定的必要的数学基础。二、课程教学目的和规定（1）通过本课程教学要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算，在传授知识的同步，要通过各个教学环节逐渐培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，要尤其重视理论联络实际以提高学生的分析问题和处理问题的能力。（2）通过本课程的教学使学生理解和掌握一元函数微积分、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和深入获得数学知识奠定必要的数学基础。三、基本内容及规定第一学期90课时（一）函数与极限(26课时)1．函数的概念。2．数列的极限。3．函数的极限。4．无穷小量与无穷大量。5．函数持续。6．函数的间断点。7．闭区间上持续函数的性质。规定：1．理解函数概念。2．理解函数奇偶数、单调性、周期性和有界性。3．理解复合函数的概念，理解反函数的概念。4．掌握基本初等函数的性质及其图形。5．会建立简朴实际问题中的函数关系式。6．理解极限的概念(对极限的、定义可在学习过程中逐渐加深理解，对于给出求N或不作过高规定)。7．掌握极限四则运算法则。8．理解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限。9．理解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。掌握无穷小的比较措施，会用等价无穷小求极限。10．理解函数在一点持续的概念。11．理解间断点的概念，并会鉴别间断点的类型。12．理解初等函数的持续性和闭区间上持续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。（二）微分学(26课时)1．导数的概念。2．导数的基本公式与运算法则。3．复合函数的导数。4．反函数和隐函数的导数。5．高阶导数。6．微分概念。7．微分公式和运算法则。8．高阶微分。9．微分在近似计算中的应用。10．中值定理。11．洛比塔法则。12．泰勒公式。13．导数的应用。要求：1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与持续性之间的关系。2．会用导数描述某些物理量。3．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的公式。理解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。4．理解高阶导数的概念。5．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。7．理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。8．理解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。9．理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的措施。10．会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。会求解较简朴的最大值和最小值的应用问题。11．会用罗必塔(L’Hospilal)法则求不定式的极限。12．理解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。13．理解方程近似解的二分法和切线法。(三）不定积分(14课时)1．不定积分的概念。2．基本积分公式及不定积分的运算法则。3．换元积分法。4．分部积分法。5．有理函数的积分法。6．三角函数有理式的积分法。7．简朴无理函数的积分。要求:1．理解原函数、不定积分的概念。2．理解积分上限函数的定义及其求导公式。3．掌握不定积分性质；掌握不定积分的基本公式。4．掌握换元积分法与分部积分法。5．会求有理函数的积分及简朴无理函数的积分。(四)定积分(12课时)1．积分问题举例。2．定积分的定义与性质。3．微分学基本定理。4．定积分的换元积分法和分部积分法。5．定积分的几何应用：平面图形的面积，旋转曲体的体积。6．定积分在物理方面的应用。7.无穷积分。8.无界函数的积分（瑕积分）。9.г-函数与B-函数（欧拉积分）。要求:1．理解定积分的概念，理解定积分的性质及定积分中值定理。2．理解牛顿－莱布尼茨公式的证明；掌握牛顿(Newton)一莱布尼兹(Leibniz)公式。3．掌握定积分的换元积分法与分部积分法。4．掌握平面图形的面积与旋转曲体的体积的求法。5．理解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)。6．掌握定积分在物理方面的应用。7．掌握无穷积分的概念。8．掌握无界函数的积分（瑕积分）的概念。9．理解г-函数与B-函数（欧拉积分）。(五)向量代数与空间解析几何（16课时）1．空间直角坐标系。2．向量及向量的运算（数量积、向量积、混合积）。3．空间中的平面与直线。4．二次曲面。要求：1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表达。2．掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，理解两个向量垂直、平行的条件。3．掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标体现式以及用坐标体现式进行向量运算的措施。4．掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会运用平面、直线的互相关系处理有关问题。5．理解曲面的方程的概念，理解常用二次曲面的方程及其图形，理解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。6．掌握空间曲线的参数方程和一般方程。第二学期85课时(六)多元函数微分学(16课时)1．多元函数。2．二元函数的概念。3．二元函数的极限与持续。4．偏导数与全微分。5．复合函数的微分法。6．隐函数的微分法。7．偏导数的应用。8．二元函数的极值，条件极值（Lagrange乘数法）。要求：1．理解多元函数的概念2．理解二元函数的极限与持续性的概念，以及有界闭域上持续函数的性质。3．理解偏导数和全微分的概念，理解全微分存在的必要条件和充足条件。4．理解方向导数与梯度的概念及其计算措施。5．掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。6．会求隐函数(包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数)的偏导数。7．理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。8．理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。理解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解某些较简朴的最大值和最小值的应用问题。(七)重积分（15课时）1.二重积分的概念。2.二重积分的计算。3.三重积分的概念。4.三重积分的计算。5.重积分的应用。要求：1.理解二重积分的概念。2.理解二重积分的性质。3.掌握二重积分的计算措施(直角坐标、极坐标)。4.理解三重积分的概念，理解三重积分的性质。5.掌握三重积分的计算措施(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。6.会用重积分求某些几何量与物理量(如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等)。(八)曲线积分曲面积分（16课时）1.第一型曲线积分。2.第二型曲线积分。3.格林(Green)公式。4.第一型曲面积分。5.第二型曲面积分。6.高斯(Gauss)、斯托克斯(Stoles)公式。要求：1.理解两类曲线积分的概念。2.理解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。3.会计算两类曲线积分。4..掌握格林(Green)公式。5.会使用平面曲线积分与途径无关的条件。6.理解两类曲面积分的概念。7.理解高斯(Gauss)、斯托克斯(Stoles)公式并会计算两类曲面积分。9.理解方向导数和梯度、矢量场的流量与散度、环流与旋度、几种重要的矢量场。(九)级数（20课时）1．级数的概念及基本性质。2．正项级数及任意级数。3．函数的幂级数展开式。4．函数的幂级数展开式的应用。5．傅里叶级数。要求：1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2．掌握几何级数和P一级数的收敛性。3．理解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4．理解交错级数的莱布尼兹定理。5．理解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6．理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7．掌握比较简朴的幂级数收敛区间的求法。8．理解幂级数在其收敛区间内的某些基本性质。9．理解函数展开为泰勒级数的充足必要条件。10．会运用，，，和的麦克劳林(Maclaurin)展开式将某些简朴函数间接展开成幂级数。11．理解幂级数在近似计算上的简朴应用。12．理解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄里克莱(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为正弦或余弦级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。(十)常微分方程（18课时）1．微分方程的基本概念。2．可分离变量的微分方程。3．一阶微分方程。4．二阶常系数线性微分方程。5．微分方程的应用。要求：1．理解线性微分方程解的性质。2．理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。3．掌握变量可分离的方程的解法。4．掌握一阶线性方程的解法。5．掌握二阶常系数线性微分方程的解法。6．会用微分方程（或方程组）处理某些简朴的应用问题。四、课内实践教学规定本课程无课内实践规定。五、考核形式考试（闭卷）六