2021届全国高考考前热身联考试卷(理科)(全国Ⅰ卷)附答案解析

2021届全国高考考前热身联考试卷（理科）（全国I卷）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={%|1VXV2},B={x\x2>2},则CR（AU8）等于（）

A.（-V2/2）B.[-V2.1）C.（72,2）D.

2.复数2=展，在复平面内复数Z的共轨复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.根据下面给出的2011-2017年全国二手车交易量（万量）及与其同前一年同期涨幅情况，下列结

A.2011-2017年全国二手车交易量与年份正相关

B.2011-2017年全国二手车交易量呈逐年上升趋势

C.均与前一年同期比较，2011年涨幅最小

D.均与前一年同期比较，2017年涨幅最大

4.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买

4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2只玫瑰花所需费用为4元，购买3只康乃

馨所需费用为B元，则4B的大小关系是（）

A.力>BB.A<B

C.A=BD.A,B的大小关系不确定

5.已知向量沅，记满足沅=（2,—3）,n=（3,1）,则2记•（记+元）=（）

A.30B.32C.34D.36

6.数列{即}是以的=1为首项，以2为公差的等差数列，若数列的前n项和为7；,则满足7；>

anan+i

黑的最小正整数期为（）

A.9B.10C.11D.12

7.已知Q=log23-log2V3,b=log057r,c=则（）

A.c>a>bB.a>b>cC.a>c>bD.b>c>a

8.5、已知函数/O=磷城蒯冢-战领球逊卷。笈电瞬在案=—处取得最大值，则函数

吟娉-•感是

A.偶函数且它的图象关于点!稣蟒》对称

B.偶函数且它的图象关于点|?,飘|对称

\/

c.奇函数且它的图象关于点；学“期’：对称

D.奇函数且它的图象关于点@稣嘲）对称

9.如图所示，从一个半径（1+遍）血的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形

的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥，则该四棱锥的体积是（）^3.

A.—B,—C.—D,—

3336

10.M为抛物线y2=8x上一点，尸为抛物线的焦点，4MF0=120。（。为坐标原点），N（-2,0）,则直

线MN的斜率为（）

A.±|B.C.土半D.土与

11.下列四个命题中不正确的是（）

A.若动点攀与定点戏-中砥、甑K,噂连线索感、侬的斜率之积为定值？，则动点景的轨迹

期

为双曲线的一部分

B.设明*战而度,，常数谢/越，定义运算''蜕"：哪脸即:尸瓢#喊f-的第一碱铲，若需空龈则动

点,霓跖而磷的轨迹是抛物线的一部分

c.已知两圆瑟新需旗也『=：i、圆觥/-球)#/=鹫，动圆缠与圆地外切、与圆越内切，

则动圆的圆心缠的轨迹是椭圆

D.已知戏的魏虎G即魄，微&-：晦，椭圆过副藻两点且以。为其一个焦点，则椭圆的另一个

焦点的轨迹为双曲线

12.己知/(x)=2/_6/+m(m为常数)在［-2,2］上有最大值3,那么此函数在［-2,2］上的最小值为

()

A.-5B.-11C.-29D.-37

二、单空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，!荔书啰-独封敬所表示的区域上一动点，则|0M|的最

鲫

小值是.

14.已知数列5｝是公差不为0的等差数列,｛%｝是等比数列，其中的=3,==l,a2=b23as=b3,

若存在常数u,"对任意正整数n都有斯=3logubn+v,则u+v=.

15.在分别标有号码2,3,4,6,8,9的6张卡片中，随机取出两张卡片，记下它们的标号，则较

大标号能被较小标号整除的概率是.

16.已知双曲线捺一总=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为0,F2,左、右顶点分别为4、B,M在

双曲线上，且M&lx轴，直线AM,MB与y轴分别交于P,Q两点，若黑=2+遮，则双曲线

的离心率为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在AABC中，(2b+c)cosA+acosC=0.

(1)求角4

(2)若b=4,S&ABC=5V3，求a的值.

18.如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC,且使这两个三角形所在的平面互相垂直，NBAC=

Z.CBD=90°,AB=AC,上BCD=30°,BC=6.

(I)证明：DBA.AB；

(II)求点C到平面4DB的距离.

19.某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收

费100,超过2小时的部分按每小时100收取(不足一小时按一小时计算),现甲、乙两人独立来该

景点租用小型游艇，各租一次.设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为/I；租用2小时以上

且不超过3小时的概率分别为%p且两人租用的时间都不超过4小时.

(I)求甲、乙两人所付费用相同的概率；

(H)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量f,求f的分布列与数学期望.

20.已知点4是椭圆C：?+『=>0)的左顶点，过点8(1,0)的直线，与椭圆C相交于E,F两点，

且当/1x轴时，△4EF的面积为

(I)求椭圆C的方程；

(II)设直线AE,4F与直线x=3分别交于M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过定点？若过，

请指出并说明理由，若不过说明为什么.

21.已知数f(%)=e%,g(x)=x+alnx.

(1)讨论g(%)的单调性;

(2)若Q=1,直线/与曲线y=/(%)和曲线y=g(%)都相切，切点分别为P(/,%),Q(x2,y2),求证：

%'2>-e2y-l-.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为及鬻(8为参数)，直线/的参数方程为

卜=：+巧为参数直线,与曲线C交于A,B两点.

(1)求|48|的值；

(2)若尸为曲线C的左焦点，求福•丽的值.

23.已知函数/(x)=|2x+2|+|2x-3|.

(1)若船6上使得不等式f(x)<m成立，求机的取值范围；

(H)求使得等式/'(x)<|4x-1|成立的x的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：力={久|1<x<2},B={x\x2>2}={x\x>书或x<-V2.

••AyJB—{用%>1或x<—^2J»

•••CR(AUB)=[-72,1],

故选：D.

解出集合B,求出4UB,从而求出CR(AUB)即可.

本题考查了集合的交、并、补的运算，是一道基础题.

2.答案：D

解析：解：,••2=展=湍悬=1+工

・•・z=1—i.

Z的共辗复数对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.

故选：D.

利用复数代数形式的乘除运算化筒，求出£的坐标得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

3.答案：C

解析：解：由图可以看出2011—2017年全国二手车交易量逐年上升，显然与年份成正相关，所以4

B正确；

与上一年比较，2015年涨幅为2.4%,最小，2017年涨幅为19.3%,所以C错误，D正确.

故选：C.

通过图形，分析选项的正误，即可得到结果.

本题考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题.

4.答案:A

解析：

本题考查利用函数知识解决应用题以及解不等式的有关知识.

根据题意列出4、B所满足的关系式，最后利用不等式的性质求解即可.

解：由题意得

(B

4+Q>8

5B

2.AH——<22

将A+g>8乘以-2与2A+|B<22相加，解得B<6,

将B<6代入A>8-g中，解得4>6,

故A>B,

故选：A.

5.答案：B

解析:

本题考查了平面向量的坐标运算，向量的数量积，属于基础题.

根据条件求出2记和记+五，即可求出结果.

解:向量沆,元满足沅=(2,—3),n=(3,1).

2m=(4,-6),m+n=(5,-2),

•••2rn-(rn+n)=4x5+6x2=32,

故选：B.

6.答案：D

解析：

本题考查等差数列的通项公式，考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.

运用裂项相消求和，即数列7^—="(右一表),求和，解不等式即可确定最小的

antzn+i(zn-1)Lzn—izn+1

正整数m

解：数列｛%J是以%=1为首项，以2为公差的等差数列，

则即=%+(n—l)d=2n—1；

11

.Qn%+i-(2n-l)(2n+1)

=i(—--------—),

2v2n-l2n+l7

111111

'•〃二5(1一耳+万一E+…+~~7--1)

2335ZTI—1ZTI+1

——(1J-，

2'2n+ly2n+l

T1、、100

「〃=式1_罚)>荻，

•••即为2n+l>咨，即n>理，

99

满足〃>黑的最小正整数n为12.

故选：D.

7.答案：A

-11

解析：解：,；a=log2V3=^log23e(1,1),b=logos兀<>c=0.9>1.

c>a>b.

故选：A.

利用指数对数函数的单调性即可得出.

本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8.答案：B

解析：本题主要考查辅角公式、三角函数的奇偶性和对称性.对于三角函数的基本性质要熟练掌握，

这是解题的根本.先对函数/'(X)运用三角函数的辅角公式进行化简求出最小正周期，根据正弦函数

的最值和取得最值时的x的值可求出函数］=Qx)的解析式，进而得到答案.

已知函数f(x)=asinx—bcosx(abH0,%€R),

钝7C

・•・f(x)=小靖sinQ—3)的周期为2兀,若函数在％=-处取得最大值，不妨设f(x)=sin(x+-

司4

)，

则函数=立^-@=85或是偶函数，且关于点对称。

故选瓦

9.答案：A

解析：解：如图，在四棱锥中，底面正方形48C0,侧面正APBC,

斜高PM,AB：PM=2：V3，

且3AB+PM=(1+y/3)m,贝ijAB-2m,h=I(y/3m)2—m2=V2T71,

A

23

所以，该四锥体的体积为：K=^-S正方形ABCD*="*(2m)'V2m=^m.

故选：A.

由折叠前的图形知，底面正方形4BCD,侧面正△PAB,斜高PM,AB：PM=2：百，由\AB+PM=

(1+V3)m,得4B=2m,PM=V3m)从而得出四棱锥的高和体积.

本题是通过四棱锥的侧面展开图求其体积，关键是由斜高，高和斜高在底面的射影组成求出

高，从而求得体积.

10.答案：C

解析：解：设M《y2,y),由题可知F(2,0),

...FM=-2,y),FO=(-2,0)，

FMFO4-；y2i

・・・COS1200==-=-i,

\FM\\FO\2(2+iy2)2

解得y=±4b,M(6,±4百)，

又•••N(-2,0),kMN==±y,

故选：c.

利用COS120。=箫焉计算可得M(6,±4b)，进而可得结论.

本题考查抛物线中直线的斜率，注意解题方法的积累，属于中档题.

11.答案：。

解析：

本题主要考查圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程.属于基础题.

本题考查知识点覆盖面广，解答难度大，能较全面地考查学生对圆锥曲线问题的掌握情况.

对A,一般地，由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零kp.kpB=二，整理得，点P的轨迹方

嬲

4硝

程为二/—y2=匕。工±4),即动点景的轨迹为双曲线的一部分，A正确；

蚓斛

B：vm*n=(m+n)2-(m-n)2&产豳=施*喈—疑一礴包=黑疝;，设P(x,y)，则y=&/嬴,

即y2=4ax(xN0,yN0),即动点动点翅时石砌的轨迹是抛物线的一部分，8正确；

C：由题意可知，动圆M与定圆4相外切与定圆B相内切MA=r+l,MB=5-r,：.MA+MB=6>

4B=2.•.动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，C正确；

。设此椭圆的另一焦点的坐标D(x,y),,・•椭圆过A、B两点，则CA+=CB+DB,：,15+ZM=13+

DBf:.DB—DA=2<AB,

椭圆的另一焦点的轨迹是以4B为焦点的双曲线一支，。错误

故选D.

12.答案：D

解析：解：函数的导数为/'(x)=6/—I2x=6x(x—2),

由/''(%)>0得x>2或x<0,此时函数递增，

由/''(>)<0得0<x<2,此时函数递减，

x6［—2,2］>

・•・函数在［-2,0］上递增，则［0,2］上递减，

则函数的最大值为/X0)=m=3,

则/(x)=2%3-6x2+3,

••"(2)=2X23-6x22+3=-5,

/(—2)=2x(-2)3-6x(-2/+3=-37,

二当x=-2时，函数取得最小值为一37,

故选：D

求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出山，即可求出函数的最小值.

本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数在闭区间上的最值是解决本题的

关键.

13.答案：垂

解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,

0的距离，所以QMImm=上!=血

因此|OM|的最小值为点。到直线x+y-2=

14.答案：6

察+婿=辞

解析：设等差数列｛时｝的公差为d,等比数列｛4｝的公比为q,则41「二2解得d=6,q=9,

RI.飞^&惕'

n-1,

所以c1rl=6n-3,bn=96n—3=3nlogu94-v—3Zog〃9对任意正整数九恒成立，所以

■F缴!噜隰喋=一寓

解得〃=v=3,故〃4-v=6.

15.答案：|

解析：解：分别标有号码2,3,4,6,9的6张卡片中，随机取出两张卡片的基本事件有(2,3),(2,4),

(2,6),(2,8),(2,9),(3,4),(3,6),(3,8),(3,9),(4,6),(4,8),(4,9),(6,8),(6,9),(8,9)故15种,

较大标号被较小标号整除有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(3,9),(4,8),共6种，

故较大标号被较小标号整除的概率是P=祗=|.

故答案为：|

先列举出所有的基本事件，再找到较大标号被较小标号整除的基本事件，根据概率公式计算即可

本题考查了古典概型的概率的计算，关键是列举出所有的基本事件，属于与基础题

16.答案：V3

解析:

本题考查双曲线的性质及直线方程的求法，属于中档题.

由题意可得4B,M的坐标，进而求出直线4M,的方程，令x=0分别求出P,Q的坐标，进而

求出器的值，再由题意可得a,c的关系，进而求出双曲线的离心率.

解：由题意可得A(-a,O),B(a,O),因为M在双曲线上，且轴,

设M在x轴上方，所以M(-c,?),

所以2工=信

所以直线^的方程为：y令"。，可徵=三,

所以P(0,-三)，可得|OP|=F，

同理可得直线MB的方程为y=-a)，可得Q(O,g),

所以|0Q|=三

所以丝1=比，

由题意可得比=2+遍,

c-a

整理可得：三=6,

故答案为：V3.

17.答案：解：(1)由正弦定理：-三=段

、'c/rjAc»nR2R

v(2b+c)cosA+acosC=0

<=>(2sinB+sinQcosA+sinAcosC=0

<=>2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0

02sinBcosA+sin(A+C)=0

又丁/+B+C=7T=B=7T—A—C

<=>2sinBcosA+sinB=0

<=>sinB(2cosA+1)=0

vsinB>0,

・•・2cosA+1=0,

解得：cosA=-1

:.A=120°

(2)由任意三角形的面积公式s=1bcsinA

得：5V3=|x4xcxsinl200

解得：c=5.

「余弦定理：c2+b2-2bccosA=a2=61,

a=V6T

解析：本题考查正弦定理，余弦定理以及任意三角形的面积公式.

(1)直接由正弦定理，运用三角形的内角和定理可得角4.

(2)利用任意三角形的面积公式，求出C,在利用余弦定理即可解出a的值.

本题考查正弦定理，余弦定理以及任意三角形的面积公式的灵活变形的运用，计算能力.属于基础

题.

18.答案：(I)证明：•.•平面BCO1平面力BC,BD1BC,平面BCDn平面ABC=BC

BD1平面ABC,

ABu平面ABC,

DB1AB；

(口)解：由(/)BDJ•平面4BC,

"S4ABe=；x36=9,DB=亳=2V3,

•••VD-ABC=[x9x2>/3=6V3,

ADB是直角三角形，AB—^―3V2,DB=2W，

•••S^ADB=1x3A/2x2V3=3^6.

设点C到平丽WB的距离为八，贝弓.3V6-/i=6V3,

•••h-3V2»

•••点C到平面4D8的距离为3夜.

解析：(I)利用平面BCD_L平面4BC,证明80_L平面ABC,可证。B14B；

(U)利用等体积，能求出C到平面ADB的距离.

本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，正确运用等体积法是关

键.

19.答案：解：(I)甲、乙所付费用可以为100、200元、300元…(1分)

甲、乙两人所付费用都是100元的概率为Pi=；x：=；...(2分)

甲、乙两人所付费用都是200元的概率为P1=；x；=；...(3分)

Zoo

甲、乙两人所付费用都是300元的概率为P】=(1-=2

oZN300

故甲、乙两人所付费用相等的概率为P=P1+P2+P3=(6分)

(口)随机变量f的取值可以为200,300,400,500,600...(7分)

111

=200)=-x-=-

Zoo

111113

P«=300)=-x--x-=—

DDLLDO

1111111111

P(f=400)=-x-+(l----)x-+(l----)x-=—

Z□4553乙乙OO

1111115

=500)=-x(l----)+(l----)x-=—

223Z3336

11111

=600)=(1---Jx(l—

LDLDDO

故f的分布列为:

200300400500600

1131151

p

636363636

...（11分）

f的数学期望是Ef=200X+300X^.+400Xii+500X-+600X-=350...（13分）

636363636

解析：（I）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间

相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可.

（n）随机变量§的所有取值为200,300,400,500,600,由独立事件的概率分别求概率，列出分布

列，再由期望的公式求期望即可.

本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解

决问题的能力.属于中档题型.

20.答案：解：（I）设点E在%轴上方，

由&+孑=1解得E（l,逆），41,—亚当，所以|阳=勺”

1%=1333

因为△4E尸的面积为工x4x返=竺，解得t=2.

233

所以椭圆C的方程为兰+^=1,

92

（n）过定点8（1,0）

设直线2：%=my+1,E（X"i），F（x2,y2）

（立片=

由192得（2血2+9）y2+4my-16=0,

lx=my+1

则为+、2=^?y/2=焉,

x1=my1+1,x2=my2+1

由｛二声（"3）解得"⑶黑）,

又直线4E的方程为y=含（％+3）,

同理得N（3,墨）.所以的=（2,普），丽=（2,墨）,

X2+0犯十了

又因为前•BN=（2,黑）（2,翳）

4+——…---------------------------

(%!+3)(X2+3)(my1+4)(my2+4)

_4(血%+4)(6乃+4)+36yly2

m2yly2+4m(y1+y2)+16

-16(4m2+36)-16x4m2+16x4(2m2+9)

=-32m2+16(2m2+9)

-64m2-576-64m2+128m2+576

=-------------------------9-------------------------=°

所以丽1前，所以以MN为直径的圆过点B.

解析：(I)联立直线I与椭圆，解得E,F的坐标，可得|EF|,根据面积等式解得t=2,可得椭圆方程；

(口)联立直线与椭圆后根据韦达定理以及向量数量积可得前.丽=0,所以以MN为直径的圆是否

经过定点B.

本题考查了椭圆的性质，属中档题.

21.答案:(1)解：g(x)的定义域为(0,+8),

.“，。)=1+2="

XX

若a>0,则g'(%)>0,・•.g(%)在(0,+8)上单调递增,

若QV0,则当x6(0,—a)时，g'[x)<0,当Q,+8)时，靖(工)>0,

・・,g(%)在(0,-a)上单调递减，在(一见+8)上单调递增；

x

(2)证明：对于曲线y=/Q),f'(x)=ex,kl=f\x1)=e^

X1X1X1

直线，的方程为y—月=e(x-x-t),即y=ex-xre9

即y=eX1x+(1—，①

对于曲线y=g(%),a=1,・•.g(X)=x+g'(%)=l+；.

•・・瓦=gU)=1+5，

x2

直线/的方程为y-y2=(i+p)(x-x2),

即y—x2—lnx2=(1+})%—x2—lf即y=(1+Y)X+lnx2-1,②

V①与②表示同一条直线，二靖|=1+5，③

兀2

X1

且(1-xt)e=lnx2-1,④

xlnx-x

④士③，得1一与=222

x2+l

x-xlnx

・,•巧=1+222

x2+l

x-xlnx

令九(X)=1+

x+1

，，

皿h~、_l^-^x+x^x+l)-(x-xlnx)_x+inx_g(%)

、"(%)=(x+l)2="(x+1)2="(x+1)2*

由(1)知，g(x)在(0,+8)上单调递增，

又9C)=3+吗=：-1<0,g⑴=l+，nl=l>0,[gg)-g⑴<0.

g(x)有唯一零点殉e(71),且当xe(0,x())时，g(x)<0,"(x)>0,

当xe(x(),+8)时，g(x)>0,h'(x)<0.

•••h(x)在(0,&)上单调递增，在(3,+8)上单调递减.

£

.•.X1=/I(X2)</I(X0)=1+^7T-

又g(&)=o，即伍％o=

•••勺</i(x0)=1+藁詈=1+x0<2.

・•・1+2=eXi<e2,则工<e2—1,

%2X2

又％2>°，••・％2>获二,

解析：(1)求出g。)的导函数，对a分类讨论求解函数的单调区间；

(2)利用导数分别写出y=/(%)在P(xi，yi)处的切线方程与y=g(x)在Q(x2，y2)处的切线方程，结合

题意可得婚[=1+；,且(1一xje'i="必一1，进一步得到1一%=型净红，可得%=1+

气管.令以切=1+三等，利用导数结合函数