2021届高考数学（理）二轮总复习学案：板块二　考前重温六个模块

板块二考前重温六个模块

摸获二…一囱数与显教

环节一主干知识要记牢

1.函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关

于原点对称)，都有八一》)=一段)成立，则於)为奇函数(都有八一光)=/2成立，则

兀0为偶函数).

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数/(X)，如果对

于定义域内的任意一个x的值：

若欠x+D=*x)(TWO),则.*x)是周期函数，T是它的一个周期.

2.函数零点的存在性

如果函数y=/(x)在区间［a,句上的图象是连续不断的一条曲线，并且

式。加与＜0,那么函数.*x)在区间(a,份内至少有一个零点,即存在cW(a,b),使

得人c)=0,这个c也就是方程/U)=0的实数根.

3.导数运算

(1)利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(炉)，=加门中〃

GQ,(cosx)'=-sin龙.

(2)注意公式不要用混，如(a'y=anna,而不是("')，=叩'」

环节二二级结论要用巧

1.已知函数/(X)是定义在集合。上的奇函数，则对任意的xeo,都有7U)

十A—X)=0.特别地，若奇函数兀T)在。上有最值，则/U)max+/(X)min=0,且若0

GD,则式0)=0.

2.已知定义在R上的函数抵幻，若对任意的xGR,总存在非零常数T,使

得/U+7)=Ax),则称兀r)是周期函数，T为其一个周期.

常见的与周期函数有关的结论如下：

(1)如果4%+。)=一段)3/0),那么/U)是周期函数，其一个周期T=2a.

(2)如果犬%+0)=嵩

(aWO),那么是周期函数，其一个周期T=2a.

(3)如果/U+a)+/(x)=c(aW0),那么兀灯是周期函数，其一个周期T=2a.

3.已知函数_/U)是定义在R上的函数.

(1)若.*a+x)=/S-x)恒成立，则y=/U)的图象关于直线一对称，特别

地，若尤)=/(a—x)恒成立，则y=/(x)的图象关于直线尤=。对称.

(2)若.*a+x)+y(Z?—x)=c,则y=/U)的图象关于点("J,g中心对称.特别

地，若7(a+x)+y(a—x)=2Z?恒成立，则了=凡1)的图象关于点(a,加中心对称.

环节三易错易混要明了

1.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“U”和“或”连接，

可用“和”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不

等式代替.

2.判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式

化简整理，但必须注意使定义域不受影响.

3.准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y=a'(a〉O,aWl)的单调性

忽视字母。的取值讨论，忽视〃>0；对数函数y=log“x(a>0,aWl)忽视真数与底

数的限制条件.

4.准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(刈，火xo))既在切线上，又在函

数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出.

5.考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为了(刈)=0是函数y=/(x)在尤

=光。处有极值的充分条件.

环节四保证典题要练好

1.(2019.河南南阳一中月考涵数於)="二Ig^：X二I1)^十’的定义域为()

A.(-l,0)U(0,l]B.(-1,1]

C.(-4,-1]D.(-4,0)U(0,1]

x2—3x+420,

解析：选A要使函数大幻有意义，应有《x+l〉0,

Lr+1W1.

解得一l<x<0或0VxW1.故选A.

2.已知函数.穴x)=asinx+句若£)+4—3]=6，则实数/=()

A.12B.-1

C.1D.3

解析：选D令g(x)=asinx+Aln则易知g(x)为奇函数，所以gg)+

g1_g=°，则由兀v)=g(x)+r,得右)+彳_；)=8(0+8(­；)+2/=2/=6,解得/

=3.故选D.

f+x,x，0,

3.(2019•福建泉州质检)已知函数_/U)=<°'若a[/(a)-A—a)]>0,

JXfx<0.

则实数a的取值范围为()

A.(1,+oo)B.(2,+8)

C.(-8,-l)u(l,+°°)D.(一8,-2)u(2,+8)

解析：选D根据题意，当a>0时，j(d)—j(—d)>0,a2+a—[—3(-a)]>0,

/.a2-2a>0,解得a>2;当a<0时，/(«)—/(—a)<0,即一3a—[(一。尸+(—a)]<0,

.,.a2+2a>0,解得。<一2.综上，实数”的取值范围为(-8,—2)U(2,+~),故

选D.

4.(2019•山西临汾一中等五校联考)函数^=(2一%)23的图象大致是()

解析:选B由凡r)=(x3—x)2国，得八一x)=(—/+%>2闻=一(J?—%)2国=~f(x),

则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C;当x从右侧趋于0时，/一小。，

2kl>0,故力>)<0,排除A、D.故选B.

5.(2019.江西赣州十三县市十四校联考)已知正方体458—AiBCQ的棱长

为1,E,尸分别是边44i,C。上的中点，点M是上的动点，过点E,M,F

的平面与棱。Di交于点N,设平行四边形EMF7V的面积为S,设y=$2,

则y关于x的函数y=>U)的图象大致是()

A

解析：选A由对称性可知，四边形EMFN是菱形，所以S=；EFXMN,而

EF=巾,MN=2X+1,所以S=A/2X

+1,即./U)=2

2+1,故选A.

6.已知定义在R上的函数兀X)满足/U+1)=逃1一外，且在[1,+8)上是增

1

函数，不等式/(ar+2)W/(x—1)对任意的r1恒成立，则实数。的取值范围

是()

A.[一3，-1]B.[-2,0]

C.[-5,-1]D.[-2,1]

解析：选B当。=0时，不等式式ox+2)W/(x-l)化为.穴2)W/(x-l),由函

数/U)的图象特征可得九一1一1|,解得x23或九W1,满足不等式人以+

2)勺口一1)对任意xW2-1恒成立，由此排除A、C两个选项.当a=\时，不

等式,*ax+2)。”-1)化为/(x+2)W./(x—1),由函数/(x)的图象特征可得|x+2-

一1

解得*母，不满足不等式/(ax+2)〈危一1)对任意xC-

牙恒成

一

立，由此排除D选项.综上可知，故选B.

7.设函数7x)=A?：1sm"的最大值为加，最小值为〃?，则M+m=

&n_LLf+l+2x+sinx,2x+sinx人2x+sinx,,.

解析：yu)==1+x2+1,令g(x)=『+],则g。)为奇

函数，有g(%)max+ga)min=0,故加+加=2.

宏:案.?

8.函数段)=3x—7+lnx的零点位于区间(〃,〃+1)(〃©2内，则n=.

解析：求函数/U)=3x—7+lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函

数值，如/2)=-l+ln2,由于In2<lne=1.所以式2)<0,_/(3)=2+ln3,由于In3>1,

所以大3)>0,所以函数/(x)的零点位于区间(2,3)内，故〃=2.

答案：2

9.(2019.沈阳监测)已知函数4r)=Hnx(a>0),e为自然对数的底数.

(1)若过点A(2,42))的切线斜率为2,求实数。的值；

(2)当x>0时，求证—十)；

X1

(3)若在区间(1,e)上e；e*0恒成立，求实数a的取值范围.

解：(1)由题意得了(x)=・，，a=4.

九乙

(2)证明：令g(x)=a(lnx—l+：)(x>0),

则以)X=&T),

令g<x)〉0,即ag—玄)>0，解得％>1，

令g，(x)<0,解得0<x<l；

.•.g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

.♦.g(x)的最小值为g(l)=0,.\/(幻20。-0.

v-1Y---1

(3)由题意可知q<e,x,化简得<lnx,

x—1

又XC(1,e),二。〉1百T

inxl+

x-\~x

令〃。)=记下则如尸，

由(2)知，当x£(l,e)时，Inx—1+1>0,

X

：.h\x)>Q,即力。)在(1,e)上单调递增，

."./?(x)</z(e)=e—l./.a^e—1.

故实数a的取值范围为［e—l,+8).

一….三置趴数月空一响一

环节一主干知识要记牢

1.同角三角函数的基本关系

(1)商数关系：：=tana(aWE+4攵GZ)；

COScX\乙)

(2)平方关系：sin^+cos2^^l(awR).

2.三角函数的诱导公式

诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中，“奇、偶”是指“攵皮

土a(AeZ)”中％的奇偶性；“符号”是把任意角a看作锐角时，原函数值的符号.

3.三角恒等变换的主要公式

sin（夕±4）=sinacos4土cosasin夕;

cos（a土夕）=cosacos£下sinasin依

tan研tan[3

tan（a土夕）=

1+tanatang

sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a；tan2a=

2tana

1—tan2a

4.平面向量的有关运算

(l)两个非零向量平行(共线)的充要条件：allb0a=)b

两个非零向量垂直的充要条件：a_L〃Oa・A=0o|a+》|=|。一〃|.

(2)若a=(x,y),则⑷

(3)若A(xi,yi),8(必*),

贝！J\AB\=^(X2-Xi)2+(y2-y\)2.

n-h

(4)右。=(九1,yi),6=(x2,”)，B为a与b的夹角，则cose=j^j=

x\xi+y\yi

环节二二级结论要用巧

1.由si〃a±cosa的符号判断a的位置

(l)sina—cos«>0<=>«终边在直线y=x上方(特殊地，当a在第二象限时有sin

a-cosa>l).

(2)sina+cos终边在直线y=一光上方(特殊地，当a在第一象限时有

sina+cosa>l）.

2.三点共线的判定

三个点A,B,C共线=魂，危共线；

向量戌，PB,无中三终点A,B,。共线=存在实数a,4使得或=a丽+夕无,

且a+4=1.

3.三角形“四心”向量形式的充要条件

设。为△ABC所在平面上一点，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,则

(1)0为△ABC的外心。|次|=|①|=|囚=公不

(2)0为△ABC的重心=/+为+比=0.

(3)0为△ABC的垂心。万1为=访阮=庆宓.

(4)0为△ABC的内心OaOX+Z?为+c比=0.

环节三易错易混要明了

1.利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.在

△ABC中，A>B=sinA>sinB.

2.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0,方向任意，并不是没有方向；

0与任意非零向量平行；A0=0(2GR),而不是等于0；0与任意向量的数量积等

于0,即0也=0；但不说0与任意非零向量垂直.

3.两向量夹角的范围为［0,兀］,向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不

等价.

环节四保证典题要练好

1.已知点M是△ABC的边8C的中点，点E在边AC上，且比=2前，则加

=()

A.B.

c.D.

2i21

解析：选C如图，•:比=2旗：.EM=EC+CM=^AC+^CB=^AC+^AB

—AC)=^AB+^AC.

E

M

2.已知向量a=(九1),Z>=(A+2,1).若佃+勿=心一加，则实数力的值为()

A.-1B.2

C.1D.-2

解析：选A根据题意,对于向量a,b,若|a+b|=|a一例，则|0+肝=|。一肝,

变形可得层+242+。2=/-240+〃，即0力=0.又由向量a=«,1),*=(2+2,1),

得/iq+2)+l=0,解得2=—1.故选A.

21

若夕+。=弓，则，

3.sincos3tan+t;anu7=()

A.战B.T

C”r18

。5D.-y

245

解析：选D由sin8+cos。=,，得1+2sinGeos即sinGeos0=一同,

e…1sin0,cos0118_

则一古攵选

tan0+~t—an07=-c-o-s-76+~si-n707=~sin19-c-o--sZ0=­5D.

4.(2019•湖南长郡中学模拟)若AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,

c,已知2加in2A=asinB,且c=2/7,则，=()

A.2B.3

C.V2D.^3

解析：选A由2Z?sin2A=asin8,得4bsinA-cosA=asinB,由正弦定理得

4sinB-sinA-cosA=sini4-sinB,'.'sinA^O,且sin8W0,/.cosA=^,由余弦定

理得标=82+4序一序，/.a2=4b2,；，=2.故选A.

5.(2019•河北廊坊期末)已知⑷=2,向量@在向量。上的投影为小，则。与

b的夹角为()

解析：选B设向量a与向量力的夹角为仇则a在力上的投影为|a|cos夕=

2cos"a在8上的投影为小，Acos0=^.'：0^[0,兀],.•.8=亲故选B.

6.（2019.广州测试）已知函数段）=sin（2r+“）（（）〈词的图象的一个对称中心

为传，0）,则函数1x）的单调递减区间是（）

-,3兀-,,71

A.2E—9,2E+g（女£Z）

兀571

B.2E+g,2kn-\-~^（^EZ）

r,371,.7r-|,

C.kn--^-,E+g伏GZ）

，兀，，57fl

D.E+g,E+g（AGZ）

解析：选D由题可得sin（2X资+夕）=0,又0＜夕或，所以“=：,所以於）

=sin（2x+£）,由2E+，W2x+；W2E+当Z）,得/（x）的单调递减区间是

",,71,.57fl

E+g,E+不（女GZ）.

7.（2019.上海普陀区一模）设。是两个非零向量m8的夹角，若对任意实数

t,|a+利的最小值为1,则下列判断正确的是（）

A.若⑷确定，则。唯一确定

B.若也确定，则。唯一确定

C.若。确定，则向唯一确定

D.若。确定，则⑷唯一确定

解析：选D设g⑺=（a+力）2=b2/2+2fa.5+/,则/=4（a/）2—4庐•/＜（）恒

口、，，c,„2a-blalcos6.|al2cos2/9

成区，当且仅当t=~~而~时，g⑺取仔取小值1,•.6-X-麻—-

2a」X同；；；，+.=1,化简得4251/。=1,所以当。确定时，⑷唯一确定.

8.（2019.广西质检）已知向量a,8的夹角为詈，|a=啦，步|=2,则a.（a—25）

答案：6

9.已知向量a=(2,l),b=(\,-2),若wa+就=(9,-8)(7,nGR),则加

~n的值为.

解析：ma+nb—(2m+n,m—2n)=(9,—8),

2m+n=9,\m=2,

.".i.".i.,.m—n=2—5——3.

8,l〃=5,

答案：一3

10.(2019•湖北部分重点中学适应性训练)在△ABC中，a,b,。分别为内角

A,B,。的对边，且满足cos(A—B)=2sinAsinB.

(1)判断△ABC的形状；

(2)若a=3,c=6,C。为角。的平分线，求C。的长.

解：(1)由cos(A—B)=2sinAsin8,得

cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB,

.".cosAcosB—sinAsinB=0,

：.cos(A+B)=0,：.C=90°.

故△ABC为直角三角形.

(2)由(1)知C=90。，又a=3,c=6,

b=y]c2—a2=3y/3,A=30°,

ZADC=180o-30°-45o=105°.

CDAC

由正弦定理得

sin厂sinZADC'

3A/33\/319v^2-3^v6

：.CD=.；-Xsin30°=r-；

sin1n0<5°0]6+[22o2

4

模获三―一数…一.列

环节一主干知识要记牢

等差数列'等比数列

等差数列等比数列

通项公式+(〃-l)d。尸产0)

,1Xca\-ang

-n(a\-\-an),n(n—l),⑴产1,S“—x_q-—q

前〃项和Sn—2一〃m卜2d

(2)q=1,Sn~HCl\

环节二二级结论要用巧

1.等差数列的重要规律与推论

+—l)d=〃机+(〃-m)d9

(2)“p=g,aq=p(pWq)=ap+g=O；Sm+n—SmSnnind.

(3)Sk,Slk-SkyS3ALs22,…构成的数列是等差数列.

(4)若等差数列｛而｝的项数为偶数2祖，公差为由所有奇数项之和为S奇，所

有偶数项之和为S偶，则所有项之和§2〃产用(即+。〃?+1),s偶—S奇=机"，^~=.

3偶Clm+1

2.等比数列的重要规律与推论

(1)。"=。同"'=GmCj'1p~\~C]=^m~\~dpdq=ClmCln.

(2)｛小｝,｛加｝成等比数列=｛%｝成等比数列.

(3)连续m项的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍然成等比数列(注意：这

连续m项的和必须非零才能成立).

(4)若等比数列有2〃项，公比为《，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S码，则

环节三易错易混要明了

1.已知数列的前〃项和求知，易忽视〃=1的情形，直接用S“一S“一|表示.事

买上，当〃=1时，411—Si；当〃22时，OnSn—Sn-1.

2.运用等比数列的前〃项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q=l和qWl

两种情况进行讨论.

3.对于通项公式中含有(一1)"的一类数列，在求S时，切莫忘记讨论〃的奇

偶性；遇到已知a〃+i—z-i=d或如1二以〃》？)，求伍〃｝的通项公式时，要注意分

Cln-\

n的奇偶性讨论.

环节四保证典题要练好

1.(2019・西安模拟)在等比数列｛斯｝中,若加5a6=27,则卬偌=()

A.3B.6

C.27D.9

解析：选D在等比数列｛“”｝中，由a4a5a6=送=27,得。5=3,所以ai“9=

后=9,故选D.

2.设&为等差数列｛a“｝的前〃项和，若0=1,公差d=2,S"+2-S"=36,

则”=()

A.5B.6

C.7D.8

解析：选D由题意知Sn+2—5"=。"+1+。"+2=23+(2〃+1)4=2+2(2〃+1)

=36,解得〃=8.

3.(2019・南阳质检)设数列｛a“｝是公差4<0的等差数列，S”为其前〃项和，若

S6=5ai+l(W,则S”取最大值时，〃等于()

A.5B.6

C.5或6D.6或7

解析:选CVS6=5ai+10J,：.6ai+l5d=5ai+l0d,得ai+5d=0,即燃

=0二•数列｛为｝是公差d<0的等差数列,，〃=5或6时，&取最大值.

4.(2019.吉林长春外国语学校期末)已知等差数列｛而｝的前〃项和为S,若

S13<0,S12>0,则在数列中绝对值最小的项为()

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

”(ai+a”)Si3<0,

解析:选C根据等差数列伍“｝的前n项和公式因为

2[S12>0,

ai+ai3<0,<21+。13=2。7,ai<0,

所以，由'得〈所以数列｛&｝中绝对值

,a\+ai2>0,,a\+。12=。6+。7,.«6+(27>0,

最小的项为第7项.

5.(2019•福建晋江季延中学月考)已知数列｛m｝满足ai+2a2+3〃+…+〃成

=〃+l(〃WN*),则数列｛斯｝的通项公式为.

解析：已知ai+2a2+3“3H---将〃=1代入，得m=2；当〃22

时，将〃一1代入得ai+2a2+3a3H---F(/?—l)a»-i=»,两式相减得〃a”=(〃+l)

2,n=\,

—〃=1,・•・〃〃=1,当〃=1时不符合。〃=!,..・加=

M心2.

2,〃=19

答案：an=<1

心2

6.(2019•广东潮州模拟)已知S为数列｛&｝的前〃项和，a〃=2.3〃「(〃£N*),

若从=；，，则81+历+…+瓦=.

解析：由。"=2-3厂|可知数列｛。〃｝是以2为首项，3为公比的等比数歹L

心2(L3")

所以5〃=-\一^=3"—1,

1—3

.a〃+i_S.+]-S〃1_]

人JQQQQC,Q,

OnOn+1OnOn+11

则从+历+…+e(W)+KT)+…+&—6y

_11_i1

=s?-s^=2-3n+l-r

答案：2-3n+l—1

7.(2019•河北二市联考)在等比数列｛”“｝中，a»>0(nGN*),tzi«3=4,且t«+l

是42和。4的等差中项，若Z?"=10g2。"+1.

(1)求数列｛儿｝的通项公式；

(2)若数歹U｛c”｝满足c=ai+-~~7----,求数列｛<:"｝的前n项和.

nn+u2n-\u2n-\-\

解：(D设等比数列｛或｝的公比为4,且4>0，

在等比数列｛&｝中，由&>0,aia3=4得，s=2,①

又G+1是42和。4的等差中项，

所以2(03+1)=42+04,②

把①代入②得，2(2q+l)=2+2q2,

解得q=2或q=0(舍去)，

所以如=。2夕"-2=2"-|,

则bn=log2fln+1=log22z,=rt.

(2)由(1)得，c"=a"+H

=2〃+-------------------

(2«-1)(2»+1)

=2"+42〃一厂2〃+1]

所以数列｛以｝的前〃项和

*=2+22+§+（»£!+.•.+（壮7-票7）］

〃)」』

2(1—2l-2+

1-2十公2〃+1尸2"2»+r

8.（2019・汕头模拟）设数列｛而｝的前n项和为Sn,ai=l,且数列⑸｝是以2

为公比的等比数列.

（1）求数列｛0”｝的通项公式；

（2）求<21+媒3H----FiZ2n+l.

解：（l）：S=s=l,且数列｛S｝是以2为公比的等比数列，

.—『I,

又当B2时，斯=&-51=2"」一2"-2=2"-2.

当及=1时，0=1,不适合上式.

J1,11=1,

Un—]入f

[2〃FI22.

(2)由(1)知，。3,Q5,…，。2〃+1是以2为首项，以4为公比的等比数歹!J,

.2(1—4〃)2(4-1)

・十。十…十。〃

.4352+]=~1-4-J.

.।2(4〃-1)22n+,+l

・'・〃1+々3+•••~VCl2n+\—1+Q=.

模获四―一立林几何

环节一主干知识要记牢

1.几何体的侧面积与体积

（1）圆柱的侧面积：S『c/=2兀”（c是底面周长，/为母线长）.

圆锥的侧面积：SiM=3c/=7n7（c是底面周长，/为母线长）.

,,

圆台的侧面积：SM=^(c+c)Z=n(r+r)/(c,d分别是上、下底面周长，/为母

线长).

球的表面积：S=4TTR2(R为球的半径).

(2)柱体的体积：Vt*=S/?(S为底面积，/?是柱体的高).

锥体的体积：V雕=；S/2(S为底面积，力是锥体的高).

41

球的体积：V球=]兀R=]S表H(火为球的半径).

2.空间位置关系的证明方法

a//a)

Ia_La

⑴线线平行：夕(=>a//b,,(=>a//b

b工a,9

aC/3=b)

a///3〕、

a//b

aHy=a>=>a//b,〃f==>c〃b.

a//c

pr\y=b)

a//bya"〕

(2)线面平行："Ua}=a〃°a///J

i,「=a〃a,uA-/i，=a〃a.

aU用

atlaJaQaJ

aUa,Z?Ua]

a_La

(3)面面平行：a^b=Or=a〃4，_\=a//B，

a///3,b〃/

a//B

(=>a//y.

a_l_a

(4)线线垂直：h(-\=>aLh.

aUa,/?Ua]a邛]

(5)线面垂直：aC\b=O}=>Z±a,aC£=l}=Q_LQ,

Ila,ILbJaUa,a_L/J

a〃4]a//b

；=。_1_夕，；=h_La.

a//[i

(6)面面垂直：,\=>a±/3,,；=otJL夕.

al-a)aa

环节二二级结论要用好

1.球的组合体

(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的

棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角

线长.

(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为书

。(正四面体高手的日外接球的半径为乎a(正四面体高够的知

2.用向量求空间中角的公式

(1)直线h/2的夹角。有cos6=|cos<Z1,fa)|.

(2)直线/与平面a的夹角。有：

sin，=|cos〈/,〃〉|(其中〃是平面a的法向量).

(3)平面a,4的夹角。有cos8=|cos{n\,ni)|,则a—/一。二面角的平面角

为。或九一6.(其中"i,〃2分别是平面a,4的法向量)

环节三易错易混要明了

1.注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包

括底面面积.

2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系不清，如棱长为。的正方体的外

接球、内切球、棱切球的半径分别为冬，会专a.

3.锥体体积公式为在求解锥体体积时，不能漏掉;.

4.在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现“一条直线平行于一个

平面就平行于这个平面内的一切直线”的错误.

5.空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理不能熟练把握，忽视判

定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由a_L夕，aHj3=l,m±l,易误

得出m邛的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中mCa的限制条件.

环节四保证典题要练好

1.（2019・广东广州模拟）设如〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面,

下列命题中正确的是（）

A.若a_L夕，77?C«,nU/J,则用_L〃

B.若"?_La,〃2〃几，n〃B，贝！Ja_LQ

C.若m上几,mUa,〃U夕，则

D.若a〃夕，mUa,nU口,则“〃〃

解析：选B若a工0,mUa,nU/J,则〃z与〃相交、平行或异面均有可能,

故A错误；Vm±a,m//n9:.nla.火,：n〃B，:.alfi,故B正确；若"?」鹿,

77?Ca,nU§,则a与4的位置关系不确定，故C错误；若a〃4，mC.a,nU.,

则m//n或m,n异面，故D错误.选B.

2.（2019・湖北四校联考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面

积为（）

正视图侧视图

俯视图

A.16B.（10+#）兀

C.4+（5+小）兀D.6+（5+小）无

解析：选C该几何体是两个相同的半圆锥与一个半圆柱的组合体，其表面

积为5=兀+4兀+4+小兀=4+（5+小）兀

3.（2019•洛阳市第一次统考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积

是（）

侧视图

2

俯视图

C.号^D.9无

解析：选B依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自用一个不

平行于其轴的平面截去后所得的部分拼接而成的组合体（各自截后所得的部分也

完全相同），其中一个截后所得的部分的底面半径为1,最短母线长为3、最长母

线长为5,将这两个截后所得的部分拼接，恰好可以形成一个底面半径为1,母线

长为5+3=8的圆柱，因此题中的几何体的体积为71X12x8=8兀，故选B.

4.在三棱锥A—BC。中，侧棱AB,AC,AO两两垂直，△ABC,AACD,

△AOB的面积分别为坐坐，坐则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.2兀B.6兀

C.4乖nD.24兀

解析：选B设相互垂直的三条侧棱AB,AC,AD分别为a,b,c,则

=*，3bc=哗,/=净，解得a=6，b=\,c=，5.所以三棱锥A—的

外接球的直径则其外接球的表面积5=4兀/?2=6无.

5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一

个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，

盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为

4-rr+r+r下）=々乂9*（1（）2+62+10*6）=588兀（立方寸），降雨量为1

3（寸）.

答案：3

6.（2019.合肥市质检）高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它

的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱

柱的体积的.

直观图侧视图

俯视图

解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为:X2X(2+4)=6的

四棱锥，其体积为"x6X2=4.而直三棱柱的体积为TX2X2X4=8,则该几何体

的体积是原直三棱柱的体积的宏

答案：|

7.如图，在多面体ABCDE中，△A8C是以BC为斜边的等腰直角三角形,

OC_L平面ABC,ED//BC,BC=BE=2ED.

(1)求证：平面ABEL平面D4C；

(2)求直线A8与平面ADE所成角的正弦值.

解：⑴证明：平面ABC,A3U平面ABC,

：.DC±AB,

又△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，

：.AC1AB.

'：DCQAC=C,DAC,

又ABU平面ABE,平面平面DAC.

(2)设EO=1,则8C=BE=2,

'：BC//DE,8a平面ADE,

DEU平面ADE,

.,.BC〃平面AOE.

设BC的中点为M,则B到平面AOE的距离即B到平面AOE的距离，连接

EM,MA,过M作MNLAE,垂足为M如图，则EMLBC,

EM=\IBE^-BM2=V3，

则DC=y[3.

△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，M为8C的中点，

：.AM1BC,又EMLBC,AMHEM=M,

.•.8C_L平面AEM,

\'ED//BC,，石。，平面AEM,

；.ED_LMN,又EDCAE=E,

平面ADE,

，点B到平面ADE的距离即MN.

•.•OC_L平面ABC,AMU平面ABC,：.DC1AM,

XEM//DC,：.EMLAM,

在RtA4ME中，＜EM=事,AM=^BC=1,：.AE=2,MN=,,

设直线AB与平面ADE所成的角为仇

曲

…归海飞-4-

8.(2019・南宁模拟)如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8CO是菱形，PD

_1_平面ABC。，PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,ZDAB=60°.

p

(1)求证：AM〃平面PNC；

(2)求二面角D-PC-N的余弦值.

解：(1)证明：如图，在PC上取一点/，使P/=2/C,连接MRNF,

•；PM=2MD,AN=2NB,

PF=2FC,

C.MF//DC,MF=^DC,

22

XAN//DC,AN=^AB=^DC,

：.MF//AN,MF=AN,

：.四边形MFNA为平行四边形.

...AM〃/N.又FNU平面PNC,AM。平面PNC,

〃平面PNC.

(2)取AB中点E,连接OE,PE,•.•底面ABC。是菱形，ZDAB=60°,AZ

AED=9Q°.

,JAB//CD,：.ZEDC=90°,

即CD±DE.

又平面ABCD,

故DP,DE,OC两两相互垂直，以。为原点，分别以OE,DC,0P所在直

线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则P(0,0,3),3，0),C(0,3,0),0)，

B(邛，1，°｝。(°。0)，则无=(。，3，—3),沈=喳1，ol

易知平面PDC的一个法向量机=(1,0,0).

设平面PNC的法向量〃=(xi,yi,zi),

"=0,/产f=0,

由1〃•充=0,得］—¥汨+3|二°，

取〃=(5,3小，3®

55y

/•cos(m,〃>=丽=诉T79.

故二面角O—PC—N的余弦值为零.

模块五…一M几何

环节一主干知识要记牢

1.点到直线的距离及两平行直线间的距离

|Avo+3yo+C

(1)点P(xo,泗)到直线Ac+By+C=0的距离为d=

yl^+B2

|Ci-C|

(2)两平行线/i：Ax+By+Ci=0,/：Ax+By+Ci=0间的距离为"=2

2曲+/

2.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x—a)2+(y—。)2=/.

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+£y+F=0(£)2+E2-4F>0).

(3)圆的直径式方程：(x—xi)(x—x2)+(y—")=0(圆的直径的两端点是

A(xi,yi),3(x2,>2)).

3.圆锥曲线的定义、标准方程和性质

名称椭圆双曲线抛物线

\PF\\+\PF2\=\m-\PF2\\=|PF1=|PMPM，/于

定义

2a(2a>\F\F2\)2a(2a<\FiFi\)M

y22『v2

标准方程方=1(">>>。)U一方=1(。>6b>0)y1=2px(p>0)

图形TK

长轴长2a,短轴长实轴长2cb虚轴长

轴

几2b2b

何cIb2-e=~=\l1+^2

e=~=\/1——

离心率a\laa\la~e=1

性

(0<e<l)(e>D

质

b

渐近线y=±ax

4.弦长的求解方法

设直线与圆锥曲线交于A(xi,y),Bg竺)两点，若直线的斜率存在(设

为勒则|A用=叫1+妁加一刈；若30,为m=寸+治一"|,其中阳一间=

、(XI+X2)2—4XIX2,|yi—)，2|=#3+”)2—46”.当直线AB的斜率不存在时,可直

接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长.

环节二二级结论要用巧

1.直线/i：Aix+Biy+G=0与直线/2：A2x+&y+C2=