2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟卷七

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷(7)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|f+2x-3„0},B={x\x+a,,0},且4nB={x|-3别：-1},则a=(

)

A.-3B.-1C.ID.3

2.已知i为虚数单位，若复数z满足|z|-z=2+4i,则z在复平面内对应的点的坐标为(

)

A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,Y)D.(-3,-4)

3.某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,

4)。>0),试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(不低于120分)的人数占总人

数的(，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为()

A.75B.100C.150D.200

xW

4.已知函数f(x)=e~-2x-5的零点位于区间(/n,/n+l),meZ上,则2+log4\m\=(

)

A.--B.-C.-D.-

4424

5.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且满是"2+a=2c,则角8=(

cos3

)

A.-B.-C.-D.—

6433

6等比数列{/}的各项均为实数，其前〃项和为S“，已知$3=14,1=写，则@=()

A.2B.-C.4D.-

24

7.设函数/(x)是定义在(0,铐)上的可导函数，其导函数为广(x),且有2/(x)+矿(x)>0,

则不等式(x-2021)2f(x-2021)-/(1)>0的解集为()

A.(2020,-K»)B.(0,2022)C.(0,2020)D.(2022,-K»)

8.在四棱锥中，DC=3AB,过直线45的平面将四棱锥截成体积相等的两个部

分，设该平面与棱PC交于点E,则£*=()

PC

A.1B."C.BD.2

2223

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》.学生体测成绩达到

或超过良好，才有资格参与评优与评奖.中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15

秒.某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测

试的成绩(单位：秒)，将数据按照［11.5,12),［12,12.5),…，［15.5,16］分成9组，

制成了如图所示的频率分布直方图.

115121151313.51414.51515.516网米成绩(秒)

由直方图推断，下列选项正确的是()

A.直方图中。的值为0.4

B.由直方图估计本校高一男生10()米体能测试成绩的众数为13.75秒

C.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒

D.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%

10.若非零实数。，。满足则下列结论正确的是()

A.a+h..2>fahB.a2+b2>lab

C.|<7+|<{2(4-+”)D.(〃+/?)(—i—)>4

ab

11.已知函数f(x)=|sinx|+V5|sin(x-gi,则()

A./，(x)在［£,乃］上的最小值是1

2

B./(x)的最小正周期是］

C.直线x=^(keZ)是f(x)图象的对称轴

D.直线y=2x与f(x)的图象恰有2个公共点

冗

12.已知S,,是数列｛6｝的前〃项和，且4=%=1,an=an_t+2an_2(n..3),则下列结论正确

的是()

A.数列｛4+为“｝为等比数列B.数列伍向-2%｝为等比数列

C.%=空/D."|g

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x+—x，=a。+a1(1+x)+a,(1+X)""+.+/(1+幻5,则%=.

14.小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点

的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，

事件B为“只有小赵去了龙虎山景点”，则P(A\B)=—.

V2V2

15.已知双曲线C：7-/=l(a>0力>0)的左、右焦点分别是大、F2,M是C的渐近线与

圆/+丁=a的一个交点(点M位于第一象限)，直线入〃与C在第四象限相交于点N,O

是坐标原点，若|仞7|=|%耳|-|。耳|,则C的离心率为.

16.不共线向量次，砺满足I^H而1=1.若对于给定的实数〃€/?，存在唯一的点P,

满足丽=2方+〃丽(4〃eR)且|而|=2,则工的最小值是___.

"I

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

qq

17.从①4,2，生成等比数列，②S、=25,③——包=2,这三个条件中任选一个，

n+2n

补充在下面问题中并作答.

1+4

己知等差数列伍“｝的前〃项和为S,，见=7,,a=4+2亍，求数列｛〃,｝的前〃项和

为小

18.如图，在四边形ABCD中，AB8是等腰直角三角形，N3CE»=90。，ZA£>B=90°,

sinZABD=—,BD=2,AC与BD交于点E.

5

(1)求sinNAO

(2)求A/WE的面积.

19.在如图所示的空间几何体中，两等边三角形A4CD与AAfiC互相垂直，AC=BE=4,BE

和平面ABC所成的角为60。，且点£在平面ABC上的射影落在ZABC的平分线上.

(1)求证：OE//平面A8C；

(2)求平面45E与平面A8所成夹角的余弦值.

20.已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白

鼠.血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病.现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次

测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定

哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数.

(1)在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求X=3的概率；

(2)求X的分布列与数学期望.

21.已知椭圆C：r+2r=1(。>/?>0)的离心率为上，过右焦点尸的直线/与椭圆C交于

a~2

N两点，且当直线/与x轴垂直时，|MN|=3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的上顶点为5,线段的垂直平分线交x轴于点力，O为坐标原点，求

△OBD面积的取值范围.

22.己知函数/(工)=>/^+1+x,g(x)=sinx+cosx.

(I)当X…一工时,求证：f(x)..g(x)；

4

(II)若不等式/(X)+g(x),,or+2在［0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷(7)答案

1.解：•.•A={x|-3领卜1),B={x\x„-a},B.AQB={X|-3M-1},

a=1♦

故选：C.

2.解：设复数z=x+yi,则|z|=]没+、2,

所以Jr2+V_冗_歹=2+41,

所以N〉+y2_x=2,解得x=3,y=T,

1-y=4

所以z=3-4i,则复数z对应点的坐标为(3,T),

故选：C.

3.解：•••P(X京螭=P(X120)=0.2,

尸(9(W120)=1-0.4=0.6,

，P(9怎W105)=3户(9喷|卜120)=0.3,

此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为500x0.3=150.

故选：C.

4.解:函数/(x)=e-*-2x-5是连续减函数，/(-2)=e2-l>0,/(-l)=e-3<0,

.■./(-2)-./(-1)<0,

函数/(x)=-2x-5的零点位于区间(-2,-1)即(〃[,机+1)上，

又meZ,「.加=一2・

I।鼻

则26+1084|帆|=2・2+/%42=公+5=].

故选：D.

5.解：因为^^+”=2c,可得^^=2c-a,即bcosA=(2c—a)cos8,

cosBcosB

所以由正弦定理可得sinBcosA=2sinCeosB-sinAcosB,

可得sinBcosA+sinAcosB=sin(A4-B)=sinC=2sinCeosB,

因为sinCVO,

可得cosB=」，

2

因为8e(0,m，

所以8

3

故选：C.

6解：根据题意，设等比数列｛4｝的公比为q,

若$3=14,S6=^,则#1,

4(1-力

则有e=」ZJ=E《=I+/=2,解可得q=_L,

$.(I-/)l-q382

i-q

7

又由$3=14,即S3=q+%+4==14，解可得q=8,

则4=444=8x—=i,

162

故选：B.

7.解:令g(x)=f〃x),

g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),

•.•2f(x)+矿(x)>0,

gV)>0,在(0,+oo)恒成立，

g(x)在(0,+=o)为增函数,

(x-2021)24X-2021)--(1)>0,

(x-2021)2f(x-2021)>/(1),

••・g⑴=/⑴，

/.^(x-2021)>g(1),

x—2021>1,

/.x>2022,

故选：D.

8.解：设该平面与尸。交于F,•.•比=3而，.•.AB//CD,

•.•ABU平面PC£>,C£)u平面PC£>,.1AB//平面PCD,

•.•河匚平面至所，平面ABEFC平面PCD=£F,

:.AB//EF,贝IJCO//M,

PJ7PF

设一=2(0<2<1),贝IJ—=2,

PCPD

再设四棱锥2-458的体积为V,

_______13

DC=3AB,SMCD=3SMBC,可得VP_ABC=-V,心皿=J，

又匕还=些"

VvP-ABC1PJC

乂Vf>AEFPEPF22

=2,VrP—AcF.Fr^-4AV,

vyP-ACDPCPD

13o1

2

.-.KrA—BAEtfFt.r=VprA—BAEot+,%rA-A"c.r=(-'A44+-/2)V=?-V,

即1/t+3/i2=_L,XO<A<I,解得4=2.

4423

故选：D.

9.2解：由频率之和为1可知，0.5x(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=1,

解得a=0.4，故选项A正确；

直方图的众数就是频率最高组的中点，即13.5+14=]3,75,故选项8正确；

2

直方图的中位数是频率相等的分点，设为x,则有

0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4)+0.52(x-13.5)=0.5,解得尤°13.56<13.7,故选项C错误；

由频率分布直方图可知，成绩小于14.15秒的人数所占百分比为：

[0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4+0.52)+0.3x0.15]x100%=77.5%<80%,故选项。错误.

故选：AB.

10.解：根据题意，依次分析选项：

对于A,若a,匕均为负数，则不等式显然不成立，则A错误；

对于3,实数a,b满足a>b,则/+从-2〃b=(a-/?)2>o,则/+人2>2。。，8正确，

对于C,由3的结论，a2+b2>2ab,在不等式的两边同时加上+从，得

2(/+b2)>(a+b)2,

则|a+"<12(a2+〃)成立,则C正确；

对于。，取q=2,b=-\,则(4+。)(2+,)=(2-1)(1+')=-』<4,所以3+力(工+1)>4

ab2-12ab

不成立，则。错误.

故选：BC.

11.解：/(x)=|sinx|+\/3|-cosx|=|sinx\+\/3|cosx\.

A：在弓，如，/(%)的最小值在x=T时取得，/(1)=1,故A正确.

B:/(%+^)=|sin(x+~)l|cos(x+Hcosx|+G|sinx|,

f(x+^)^f(x).故5错・

C:x=掾(&eZ)是f(x)图像的对称轴，故C正确.

D:当X=工时，y--x—=1,当X=T时，y--x^=2>故图像如图，共有2

242717T

故选：ACD.

12.解：a,,=+2a吁2，an+an_x=2a,一+2a„_2=2(a„-1+a„_2)(«..3)，

因为6=%=1，所以4=4+2az=3,

4+%=4=2(见+4)，

所以数列他J是首项为2,公比为2的等比数列，

所以4,+«„+1=2-2"一=2",故选项A正确；

+2%，

a,「2a„_,=2a„_2-%=-(《1T-2a„,2)，

—2a2=3—2=1,a2—2a}=1—2=-1,

所以他7-24,}是首项为-1,公比为-1的等比数列,

“用一2a“=一1•(一1严=(-1)",故选项B正确；

J+4=2"所以％=2"二［1)：,故选项。错误;

七+|-2。“=(-1)"

S20=4+ci-2+...+ci/t

2-(-1)22-(-1)2220-(-l)20

=--------F----------F...4-----------

333

二(2+22+...+22())—[(T)+(T)2+...+(T)20]

3

20

1.2(1-22。)(i)x[l-(-l)]

31-21-(-1)

=|(220-l)=|(4'°-l),故选项O正确.

故选：ABD.

13.解：。+3)3-丁=(工+1)3-[-1+(》+1)]5=4+4(1+X)+%(1+》)2+..+“5(1+X)5，

故答案为：-9.

14.解：小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个

景点的旅游，

每人只参加了其中一个景点的旅游，

记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件8为“只有小赵去了龙虎山景点”,

3

则P(B)=^3-=—27,

44256

尸(A3)=零」，

44128

3

P(AB)128_2

P(A|8)=

P(B)27~9

256

故选：

9

15.解：设双曲线的半焦距为c,可得耳（-c,0）,玛（c,0）,

222

x+y=a2

b，解得M(土,ah

由，），

y=—xc

a

由|MN|=|N不一|O用=|"|+1N8|,

又|N用—|叫|=2〃,

可得2a-c=J（《-c）2+4，

Vcc

由〃=c2-a2,

化简可得5a2=4ac,即5。=4c,

即有e=—=—・

a4

故答案为：

4

、___

16.解：由丽=2）+〃而，则有并一=（/1砺+〃丽），所以＞V-（2〃cose）；l+〃2-4=0（其

中。为向量7，丽的夹角）,

因为P点唯一，所以关于义的方程把-（2〃8$。）彳+〃2-4=0有唯--解,

于是△=4〃2cos29-4（//-4）=0,则，又/t=〃cos。，消去。得g+4=/?,

sin~3

所以上=2土1..4,当且仅当|刈=2时等号成立，

m"I

故£的最小值是4.

故答案为：4.

17.解：选①，设数列｛4｝的公差为d,则由4=7可得4+34=7,

2

由q,a2%成等比数列得q(4+4d)=(q+d),

联立以上两式可得q=7,d=0或q=1,d=2,

若％=7,d=0,则％=7,2=23,Tn=23/t；

若q=1,d=2,贝ij4=2〃-1,4=2〃-1+2”,

7,=5x1+x2]+2Q-2")=1+2，"一2.

"21-2

选②，设数列｛〃,,｝的公差为d,则由2=7可得4+3d=7,

5x4

由=25得54+丁d=25,

联立以上两式可得4=1,d=2,

则an=2«-1,bn=2n-1+2",

2w+,

T,=[nx\+"5fx2]+2(1-2")=„+2-2.

"21-2

选③，设数列仅“｝的公差为d,则由q=7可得q+3d=7,

0,n(n-1)d

S,=叫+--------

.S.S_(n+\)d

••---Cl,-------,••--n-+2--Cl,n------,

n12n+212

qq

由_^—_L=2得d=2,则4=1,

n+2n

则%=2〃-1,4=2〃-1+2”,

12(12，，)2+

Tn=[nx\+x2]+-=n+2"'-2.

“21-2

18.解:(1)如图所示：

所以AO=3£>tane=l,所以48=行，

所以==

BC=CD=—BD=42,

2

所以ZADC=ZAZZB+ZBDC=90。+45。=135。.

4八"AD'+CD1-AC-72

由余弦定理：cosZADC=------------------------=-------

2-ADCD2

rri'i1+2-AC~

2xlxV22

解得AC=b,

作所以AB=AC=石,

BH=CH=—

2

CH[]C)

sinZACD=sin(90°-ZACB)=cosZACB=一=—,

AC10

CE

(2)设£>E=x,在ACED中，由正弦定理得：——-——

sinZ.ACDsin135°

所以CE=&,

所以4石=«(1-幻，

在RtAADE中，有5(1—工)2=1+x2,即2/—5工+2=0,

解得尤=2或工.

2

由于x=DE<BD=y/2,

故工=」.

2

13

所以BE=2—=—,

22

13

19.(1)证明：取AC中点O,连接BO,DO,

由题知，80为NA3C的平分线，BOYAC,DOVAC,

设点尸是点E在平面ABC上的射影，由题知，点尸在30上，

连接瓦则EF_L平面/WC.

•.•平面AC£)_L平面ABC,平面AC£)C平面ABC=AC,OOu平面AC£),DOLAC,

••.Z)O_L平面ABC,...................(2分)

..DOI/EF.

因为的和平面ABC所成的角为60。，即NE"=60。，:.EF=2^3,又00=2百，

四边形EFOD为平行四边形，:.DE/IBO,.....................................(5

分)

3Ou平面ABC,QE<£平面ABC,.•.£>£1//平面ABC..............................(6

分)

(2)解：以。4,OB,OD方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系O-xyz,

则A(2,0,0),£：(0,26-2,2百),8(0,26,0)AB=(-2,2^,0),AE=(-2,2^-2,243),

.........................(8分)

设平面ABE的一个法向量为为=(x,y,z),

则『吧=%+2勺=0,取得为=(3肉),

祀•AE=-2x+(2^3-2)y+2V3z=0

取平面AC。的法向量为沅=(0J0).............................(10分)

设平面ABE与平面Acr>所夹角为e,

则cos9=|cos〈/i,沅〉|=|'玩|=士—=,........................(11分)

\n\\m\V13xl13

二.平面ABE与平面ACD所夹角余弦值为也..........................(12分)

13

20.解：(1)设“第％次化验结果为阳性”为事件4,“第2次化验结果为阴性”为事件

(2=1,2,3,4,5,6),

第一只阳性且x=3对应的可能事件为两只患病小鼠在第一次和第三次测，其余4只任意排,

共有"父=48种，

第一只测试阳性的排列方法共有=240种，

则所求的概率为P（x=3）='*；

P（A）2405

（2）X的可能取值为2,3,4,5,

则P（X=2）=p（A4）=缪=”=孥=二，P（X=3）=尸（A可A）=+P（可44）=工,

&】3A61315

P（X=4）=P（A64）+呜4杀）+"/43呜可

1248

P（X=5）=l-P（X-2）-P（X=3）-P（X=4）=l----,

所以X的分布列为:

X2345

P1248

I?T?L5

故X的数学期望为E（X）=2x'+3x2+4x3+5xC=丝.

1515151515

2b2

21.解：（1）设尸（c,0）,则|MN|=—=3,

a

又由离心率e=£=工得，a=2c

a2

又因为则4廿=3储，

由上可得，a=2,b=6,

即得椭圆C的方程为：工+汇=1.

43

（2）根据题意可得，直线/的斜率存在且不为0,右焦点为尸（1,0）,

则设直线/的方程为x=/y+l（〃?w0）,点,y）,N（£,y2）,

x=my+1

联立椭圆方程得“y2,

---F--=1

化简可得(3〃/+4);/4-6/Hy-9=0,则△>(),

且有乂+%=3'

设线段A/N的中点坐标为G(%o，%),则%=——---，x0=myQ+1=——----

3"+43m-+4

所以可得线段MN的中垂线的方程即为：y+^—=-m(x-—^―),

3机2+43机2+4

即得点。(一二,0),

所以S^OBD=--\OD\-\OB\=—X=------------

A的220D23m2+4

0<―1——<—，

3m2+44

.••△03力的面积的取值范围为(0,3).