2021届高考数学全真模拟卷02（理科）（原卷版）

2021年理科数学一模模拟试卷(二)

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4=卜|/一》_2>0},集合8=«>1>,则406=()

A.(—oo,0)B.(2,+oo)C.(—oo,—1)D.(0,+8)

2.设i为虚数单位，复数z满足i(z+l)=L则复数z的共甄复数为()

A.1+/B.1—/C.—1—zD.—1+z

3.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，

其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背

中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为

5的概率为

4.设，x)是定义在R上的奇函数，且当x..O时，/(x)=x—gsin2x.若

/2消,2兀r(।乂,出

a-jtan—,b=cos——，c=fcos—大小关系为()

75\3J

A.a<b<cB.h<c<aC.h<a<cD.c<b<a

5.已知。、〃为直线,。、方为平面.在下列四个命题中:

©若Q_La,bYa,则；②若ci"a,blla，则a〃Z>；

③若a_L2,a-LJ3,则a〃£；④若allb,PHb,则。///?.

正确命题的个数是()

A.1B.3C.2D.0

6.函数y=l+x+邛的部分图象大致为()

X

TTIT

7.已知函数%)=3sin(2x+1),函数g(x)的图象由/。)图象向右平移i个单位长

度得到，则下列关于函数g(x)的说法正确的有()

2

TTTT

A.g(x)的图象关于直线x对称B.g(x)的图象关于直线x对称

63

IT、冗TTTT

c.g(x)在［-二，二f单调递减D.g(x)在［-:,二］单调递减

242463

8.设DABC的内角ABC所对的边分别为a/,c,且3acosC=4csinA,已知

口A5c的面积等于10,b=4,则。的值为()

9.等比数列｛4｝的前"项和为S,,已知$3=%+10/织=9，则4=

10.执行如图所示程序框图，输出的结果是()

11.已知耳，工为双曲线「：二—1=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以巴为

a~b~

圆心，2。为半径的圆与「在第一象限的交点为A,直线AE与「交于另一点若

口的面积为3/,则「的离心率为()

A.2B.73C.-D.^!L

'45

12.已知函数/(x)的定义域为{x|x*O},且/⑴=1,/(x-l)的图象关于直线x=l

对称.若当x>0时，2f(x)<x/'(x),则使得/(x)>/成立的％的取值范围是()

A.(-1,O)U(O,1)B.(-8,—l)U(l,+8)

C.(-1,O)U(l，+8)D.(-8,-l)U(O,1)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+2y>2

13.已知实数x,），满足，x-y+2N0,目标函数z=5x-y的最大值为.

4x-y<4

14.如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.

15.若x>0,y>0,若(x—l)(y—4)=4则x+y的最小值为.

16.已知在锐角A4BC中，角A8,C的对边分别为a,4c,若2〃cosC=ccos8,则

—+—^―+—^―的最小值为__________.

tanAtanBtanC

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必

4

考题，每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

17.（12分）已知公差不为零的等差数列&｝的前"项和为S"，S5=25,a,,a2,a5

成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若等差数列｛log2%｝的首项为1，公差为1，求数列｛。a｝的前〃项和小

18.（12分）如图所示，四棱锥S-ABCD中，AB//CD,AD1DC,

CD=2AD=2AB=2SD=4,SO，平面ABCD.

（1）求证:BC_L平面SB。；

（2）若点M是线段SC的中点，求平面M4B与平面S3。所成锐二面角的余弦值.

19.（12分）2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.

某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日

上午9:20-10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过

该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段

9:20-9:40记作［20,40）、9:40-10:00记作［40,60）,10:00-10:20记作［60,80）,

10:20~10:40记作［80,100）,例如：10点04分，记作时刻64.

(1)估计这600辆车在9:20-10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中

的数据用该组区间的中点值代表)；

(II)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从

这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X,

求X的分布列；

(III)根据大数据分析,车辆在每天通过该收费站点的时刻7服从正态分布N~,

其中〃可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值

近似代替，用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).假

如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结

果保留到整数).

附：若随机变量T服从正态分布N(〃,b2),则P(〃-b<74〃+b)=0.6827,

P(〃—2b<T<〃+2b)=0.9545,P(〃—3b<T«〃+3b)=0.9973.

22

20.(12分)已知椭圆C：，+}=l(a>b>0)的左右焦点分别为耳(一1,0),F2(1,0),

且椭圆C上的点M满足网用=(,耳6=120。.

6

（I）求椭圆C的标准方程;

（2）作直线垂直于x轴，交椭圆C于点Q,R,点尸是椭圆C上异于。，R两点的任

意一点，直线P。，PR分别与x轴交于S,T两点，判断|OSHO7j是否为定值，若是，

求出该定值；若不是，请说明理由.

1,

21.（12分）已知函数/0）=Y11》-5。0+1）-,awR恰好有两个极值点

3,％2（西＜x2）.

（1、

（I）求证：存在实数〃-,1,使0＜。＜根；

（2J

（II）求证：---＜/（%））＜---.

4''e

（二）选考题：共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做，那么按所

做的第一题计分。

22.（10分）「选修4-4:坐标系与参数方程」

x=2+Zcos2—

4CC

己知直线”。为参数）