2024届一轮复习人教A版 第3章导数及其应用思维深化微课堂构造法解f(x)与f′(x)共存问题 学案

思维深化微课堂构造法解f(x)与f′(x)共存问题类型一构造F(x)＝f(x)－g(x)型可导函数已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝20，且f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)＞6x2＋2，则不等式f(x)＞2x3＋2x的解集为()A．{x|x＞－2} B．{x|x＞2}C．{x|x＜2} D．{x|x＜－2或x＞2}[思维架桥]构造函数F(x)＝f(x)－2x3－2x，求导得F′(x)＝f′(x)－6x2－2>0，可知函数F(x)单调递增．再结合已知条件得到F(x)>F(2)，即得不等式的解集．B解析：令函数F(x)＝f(x)－2x3－2x，则F′(x)＝f′(x)－6x2－2>0,所以F(x)在R上单调递增．因为F(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故原不等式等价于F(x)>F(2)，所以所求不等式的解集为{x|x>2}．若已知f′(x)>G(x)，解不等式f(x)＞g(x)，其中g(x)，G(x)都是具体函数，且g′(x)＝G(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．[应用体验]设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cosx<0，则不等式f(x)<sinx的解集为_________．(0，＋∞)解析：令F(x)＝f(x)－sinx，则当x≥0时，F′(x)＝f′(x)－cosx<0，所以F(x)在[0，＋∞)上是减函数．又f(x)是R上的奇函数，所以F(x)＝f(x)－sinx也是R上的奇函数，故F(x)是减函数且F(0)＝0.原不等式等价于f(x)－sinx<0，即F(x)<0＝F(0)，所以x>0.类型二构造f(x)与xn的积或商型可导函数已知定义在R上的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)．若xf′(x)－2f(x)＞0，f(－3)＝1，则不等式fxx＜19A．(－∞，－3)∪(0，3)B．(－3，3)C．(－3，0)∪(0，3)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)[思维架桥]构造函数g(x)＝fxx2，求导得g′(x)＝xf'x-2fxx3>0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当x>0时，由fxx<19x，得fxx2<19，即g(x)<gA解析：构造函数g(x)＝fxx2，g′(x)＝x·xf'x-2fxx4＝xf'x-2fxx3，当又f(x)为偶函数，y＝1x所以g(x)＝fxf(－3)＝1，则f(3)＝1，g(－3)＝g(3)＝f332fxx<1当x>0时，即fxx2<19，g(x)<19＝当x<0时，即fxx2>19，g(x)>19＝综上所述，x∈(－∞，－3)∪(0，3)．故选A.1．已知xf′(x)＋nf(x)>0的形式，构造函数F(x)＝f(x)·xn.2．已知xf′(x)－nf(x)>0的形式，构造函数F(x)＝fx[应用体验]设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为_________．(－∞，－4)∪(0，4)解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，所以当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)＝xf(x)是奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)上也单调递减；又F(－4)＝(－4)f(－4)＝0，根据函数图象可知，不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0，4)．类型三构造f(x)与enx的积或商型可导函数定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x).若对任意实数x，有f(x)＞f′(x)，且f(x)＋2021为奇函数，则不等式f(x)＋2021ex＜0的解集是()A．(－∞，0) B．(－∞，ln2021)C．(0，＋∞) D．(2021，＋∞)[思维架桥]构造函数F(x)＝fxex，求导得F′(x)＝f'x-fxex<0，可知函数F(x)在R上单调递减．再由f(x)＋2021为奇函数，得到f(0)＋2021＝0，结合已知条件有f(x)＋2021ex<f0C解析：设F(x)＝fxex，则F′(x因为f(x)>f′(x)，所以F′(x)<0，F(x)为定义在R上的减函数．因为f(x)＋2021为奇函数，所以f(0)＋2021＝0，f(0)＝－2021，F(0)＝f0f(x)＋2021ex<0，即fxex<－2021，F(x)<F1．已知f′(x)＋nf(x)>0的形式，构造函数F(x)＝f(x)·enx.2．已知f′(x)－nf(x)>0的形式，构造函数F(x)＝fx[应用体验]若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＋2f(x)>0，且f(0)＝1，则不等式f(x)>1e(0，＋∞)解析：令F(x)＝f(x)·e2x，所以F′