2024届一轮复习人教A版 第4章三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式 学案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求：1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosαta2．借助单位圆的对称性推导出π2±α，π±α一、教材概念·结论·性质重现1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα=tan(3)常见变形：sinα＝±1-cosα＝±1-(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.利用同角三角函数的基本关系可以实现正弦、余弦、正切值的转化，但一定要注意确定角的终边所在的象限．“同角”有两层含义：一是角相同，二是任意一个角(在有意义的前提下)．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角απ＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限．”其含义理解为：(1)所有诱导公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k(2)结果的符号与把α当成锐角时角k·π2±α(k∈Z二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (√)(2)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cosθ＝13. ((3)已知sinθ＝m-3m+5，cosθ＝4-2mm+5，其中θ∈π22．若α是第四象限角，tanα＝－512，则sinαA．15B．－14C．5D解析：因为tanα＝sinαcosα＝－512，sin2α＋cos2α＝1，所以sin因为α是第四象限角，所以sinα＝－5133．已知sinx-π3＝3A．35 C．－35 D．－C解析：因为sinx-π3所以cosx+π6＝cosπ2+x-故选C.4．若α是第三象限角且cosα＝－33，则sinα＝_______，tanα－632解析：因为α是第三象限角且cosα＝－33，所以sinα＝－所以tanα＝sinαcosα5．已知sinα＝12，则cosα-π2－14解析：原式＝cosπ2-αsin2π+π＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α考点1同角三角函数关系的基本应用——应用性考向1知弦求弦、切或知切求弦(1)(2022·济南一模)已知α∈(0，π)，若cosα＝－12，则tanα的值为()A．33B．－33C．3D解析：因为α∈(0，π)，cosα＝－12，所以sinα＝32，则tanα＝－(2)已知3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sinA．－31010C．31010A解析：由3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，可得3cosθ＝sinθ，可得tan而θ∈(－π，0)，可得sinθ＝－332+本例(2)条件不变，求cosθ的值．解：由3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，可得3cosθ＝sinθ，可得tanθ＝3.而θ∈(－π，0)，可得sinθ<0.又tanθ＝3>0，所以cosθ<0，所以cosθ＝－131．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现正弦、余弦的互化，利用tanα＝sinα2．由一个角的任意一个三角函数值可以求出这个角的另外两个三角函数值，求值时要注意角所在的象限，以免出现符号错误．考向2弦切互化求值(1)已知cosθ＝13，则sinθ·tanθA．13 B．－C．3 D．－3C解析：原式＝sinθsinθcosθ+cos(2)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则sinθA．－65 B．－C．25 C解析：将式子进行齐次化处理，得sinθ1+sin2θsinθ+cosθ＝sinθsin2θ+cos本例(2)条件不变，求cos2θ－sin2θ的值．解：cos2θ－sin2θ＝cos2θ-1．弦化切的常见结构(1)形如“asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α”的二次式，分母看作1，利用1＝sin2α＋cos2α将原式转化为齐次式求值．(2)形如“asin2．切化弦当要化简的式子中同时出现正弦、余弦、正切时，一般利用公式tanα＝sinα考向3sinα±cosα，sinαcosα之间的关系(1)已知sinα＋cosα＝15，且α∈(0，π)，则sinα－cosα＝()A．±75 B．－C．75 C解析：把sinα＋cosα＝15，两边平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1即2sinαcosα＝－2425<0.因为0<α<π，故sinα>0，cosα所以sinα－cosα＝sinα-cosα2＝1(2)已知sinx＋cosx＝3-12，xA．－33 C．3 D．－3D解析：由题意可知sinx＋cosx＝3-12，x∈(0，π)，则(sinx＋cosx)2因为sin2x＋cos2x＝1，所以2sinxcosx＝－32，即2sinxcosxsin2x+cos2x＝当tanx＝－33时，sinx＋cosx<0，不合题意，舍去．所以tanx＝－3注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．1．已知tanθ＋1tanθ＝4，则sin4θ＋cos4A．38 C．34 D解析：由tanθ＋1tanθ＝sinθ得sinθcosθ＝14，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×116＝2．若sinα＋cosα＝13，α∈(0，π)，则1+A．1717 B．－C．1515 D．－B解析：因为sinα＋cosα＝13，α∈所以两边平方，可得1＋2sinαcosα＝19可得2sinαcosα＝－89所以sinα＞0，cosα＜0，可得cosα－sinα＝－sinα-cosα2＝1所以1+tanα1-tanα＝考点2诱导公式的应用——综合性(1)sin4π3·cos5π6－334解析：原式＝sinπ+π3·cosπ-π6＝-32×-3(2)(2021·北京卷)若P(cosθ，sinθ)与Qcosθ+π6，sin5π12(答案不唯一)解析：因为P(cosθ，sinθ)与Qcosθ+故其横坐标相反，纵坐标相等，即sinθ＝sinθ+π6且cosθ＝－cos由诱导公式sinθ＝sin(π－θ)，cosθ＝－cos(π－θ)，所以θ＋π6＝π－θ，解得θ＝5则符合题意的θ值可以为5π1．诱导公式的两个应用口诀(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．2．角的变化的通式特殊角±已知角＝所求角．1．下列各选项中与sin2022°最接近的是()A．12 C．－12 D．－D解析：sin2022°＝sin(1800°＋222°)＝sin222°＝sin(180°＋42°)＝－sin42°≈－222．已知sinπ6+α＝－35A．45 C．－45 D．－B解析：cos4π3-α＝cos3π2-已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．[四字程序]读想算思求tanx的值1．同角的正弦、余弦和正切有什么关系？2．3cosx＋4sinx的最大值是多少？3．由已知条件联想点A(cosx，sinx)在哪条直线上1．求sinx和cosx．2．辅助角公式1．方程思想．2．数形结合．3．转化与化归3cosx＋4sinx＝51．sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinx2．3cosx＋4sinx的最大值为5.3．点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上1．联立3cosx＋4sinx＝5与sin2x＋cos2x＝1.2．3cosx＋4sinx＝5sin(x＋φ)1．tanx可看作直线的斜率．2．将已知条件变为35cosx＋45sin思路参考：解方程组3解：由sin2x+整理得(5sinx－4)2＝0，解得sinx＝45，cosx＝3故tanx＝sinxcosx思路参考：注意到3cosx＋4sinx的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．解：3cosx＋4sinx＝545sinx+35cosx＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos所以tanφ＝34所以x＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z于是tanx＝tan2kπ+π2-思路参考：令tanx＝t，借助已知条件用t表示sinx和cosx.解：令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，所以cosx＝54t+3，sinx＝5t再代入sin2x＋cos2x＝1，得54t+32＋5t4t+32＝1，解得t＝43思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝m2解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝m2把sinx＝nr，cosx＝mr代入已知等式得3·mr即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.显然m≠0，故tanx＝nm＝4思路参考：设点A(cosx，sinx)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tanx＝kOA.解：由3cosx＋4sinx＝5可知点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．由于直线3x＋4y＝5的斜率为－34，所以OA的斜率为43，即tanx＝思路参考：m＝(cosx，sinx)，n＝35，45，证明解：因为35cosx＋45sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝35，4所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，则有45cosx＝35sinx，即tanx＝1．本题考查同角三角函数基本关系的应用，基本解题方法是构建方程(组)、数形结合等．在求解过程中，应注意同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于课程标准，解答本题一般需要有良好的运算求解能力、转化与化归的能力．本题的解答体现了数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，对提升思维的灵活性起到了积极的作用．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－25，求sinθ＋cosθ解：因为sinθ－2cosθ＝－25所以sinθ＝2cosθ－25所以2cosθ-2所以5cos2θ－85cosθ－21即cosθ又因为θ为第一象限角，所以cosθ＝35所以sinθ＝45，所以sinθ＋cosθ＝7课时质量评价(二十二)A组全考点巩固练1．已知sinα＝23，α∈π2，A．52 B．－C．255D解析：因为sinα＝23，α∈π2，π，所以cosα＝－1-sin2α＝－2．已知α是第二象限角，sin(π－α)＝513，则cos(π＋αA．－1213 B．－C．513 D解析：因为α是第二象限角，sin(π－α)＝513，可得sinα＝513，所以cosα＝－1-sin2α＝－12133．已知tanα＝3，则sin2A．－719 C．±719 D解析：因为tanα＝3，所以sin2α-2cos2α4．(2022·安徽模拟)已知cos3π2-α＋cos(π＋α)＝2，则tanA．2 B．－2C．13A解析：因为cos3π2-α＋cos(π＋所以－sinα－cosα＝2，即sinα＋cosα＝－2，两边平方，可得1＋2sinαcosα＝2，所以sinαcosα＝12，所以tanα＋1tanα＝sin5．已知cosπ6-α＝13，则cos－1313解析：cos5π6+αsin2π3-α＝sinπ26．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2021)＝_________．－3解析：因为f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－3.B组新高考培优练7．(多选题)已知α是三角形内角，若sinα＋cosα＝1713，则sinα－cosαA．－1713 B．－C．713 BC解析：因为α是三角形内角，所以α∈(0，π)，又因为(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα＝1713解得2sinαcosα＝120169因为sinαcosα>0且α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα>0，所以sinα－cosα符号不确定，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－120169＝49所以sinα－cosα＝±7138．(2022·聊城模拟)已知α，β∈0，π2，且满足sinαcosβ－2cosαsinβ＝0，则tan(2π＋αA．2 B．2C．1 D．22D解析：因为sinαcosβ－2cosαsinβ＝0，α，β∈0，π2，所以tanα>0，tanβ>0，tanα＝2tanβ，所以tan(2π＋α)＋tanπ2-β＝tanα＋1tanβ＝2tanβ＋9．(2022·承德二模)若α∈π2，π，2sinα＋cosα＝3A．－2 B．2C．211 D．－A解析：由2sinα＋cosα＝35两边平方，可得(2sinα＋cosα)2＝95即4sin2α＋4sinαcosα＋cos2α＝95所以4sin所以4tan2α+4tanα+1tan2解得tanα＝－2或tanα＝211因为α∈π2，π10．(2022·浙江卷)若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝________，cos2β3101045解析：因为3sinα－sinβ＝10，α所以3sinα－cosα＝10，所以cosα＝3sinα－10.因为sin2