角平分线辅助线拔高教师版

中考解决方案角平分线辅助线拔高角平分线辅助线拔高学生姓名：学生姓名：×××上学时间上学时间：.××.××角平分线辅助线拔高角平分线辅助线拔高自检自查必考点自检自查必考点知识点一角平分线性质（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．（3）天然的轴对称模型，三线合一模型知识点二角平分线辅助线秘籍一：往角两边作垂线解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是惯用的辅助线，能够运用边角边构造全等秘籍二：往角两边截取相等的线段解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线惯用的辅助线，惯用于解决线段和差问题秘籍三：过角平分线上的点作垂线解读：过角平分线上的点作垂线，惯用于构造三线合一，构造等腰三角形秘籍四：过角平分线上的点作角一边的平行线解读：能够构造等腰三角形，能够记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆知识点三角平分线模型模型一两角平分线相交模型解读：这些是三角形角平分线的典型题型，必须让学生掌握这些证明过程类型一：在中，如图1，为和的角平分线，与为推理办法：如图①，可得，，化简可得类型二：如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为推理办法：如图②，可得，，化简可得类型三：如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为推理办法：如图③，，，化简可得

模型二对角互补模型条件：①，②∠AOB+∠DCE=180结论：①②③难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）中考满分必做题中考满分必做题在中，平分，，为垂足，为的中点，求证：．【答案】延长交于，则得，所觉得中点，因此，因此含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形．【练1】如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，因此能够考虑将图形补成等腰，之后再证明是的中位线即可．如图所示，延长、相交于点，在和中，，，，故，从而，．而，故是的中位线，从而．【练2】如图，已知在中，，，．求证：．【答案】延长交于．∵，∴，，∴，又∵，∴∴∴∴．【练3】如图，在中，，、分别是、的平分线，，．求证：．【答案】如图，作，交于，交于．∵为等腰三角形，且平分∴为中点，且∵平分，且∴为等腰三角形，且为的中点又∵∴，且为中点，即能够发现四边形为矩形，于是∴在中，，的平分线交于，过作，为垂足，求证：．【答案】延长交的延长线于，过作交于，容易证得，且为之中点，故易得．【练1】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．【答案】如图所示，延长到，使，连接、．由于，故，则．由于，故．由于，，故．由于，故．由于平分，故．在和中，，，，故，从而，因此．【点评】实质上，本题还是运用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．【练2】如图，在中，是角平分线，，垂足为．求证：．【答案】如图，延长交于于．由于，，，因此．于是．由于，因此．【练3】如图，已知，，，．求证：．【答案】解法一：如图，取的中点，连接、．∵，，∴．∵，，公共，∴．∴．∴．解法二：如图，延长到，使，．∵，，公共，∴，．∵，∴，∴是等腰三角形底边上的中线，∴．解法四：如图，取、的中点、，连接、，∴，故．∵，∴，∴，∴．∵，，∴．而，公共，∴．∴，，∴是直角三角形．∴．如图，在中，，的平分线交于，过作，垂足为，求证：．【答案】解法一（角分线加中位线）：如图，延长、交于．∵，，∴，．过作，交于，则，，．∴，∴．解法二（角分线加中位线）：如图，延长、交于，过作交于．∵，，∴，．故有．∵，∴．∵，∴．解法三（直角三角形斜边中线）：如图，取的中点，连接交于，则是斜边上的中线．∴，．∴．故，，，有，故是的重心．∴为的中线，故．解法四（角平分线定理与面积比例）：如图，延长、交于．∵，，∴．∴．而，∴．∵平分，∴，，∴．故，∴．【练1】是的角平分线，交的延长线于，交于．求证：．【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形．延长交的延长线于点，易证得，所觉得的中点，又，所觉得的中位线，故．这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．【练2】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证且．【答案】如图所示，延长到，使，连接．在和中，，，，故，从而、、三点共线，且是的中点，是的中位线，故，且【练3】如图所示，在中，平分，，于，求证．【答案】如图所示，延长、相交于．取的中点，连接，则，故，则．容易证明，故．因此．已知在中，，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：．【答案】解法一：如图，由向作垂线，垂足为，连接．又∵，，∴，，公共．∴，．又∵，，∴，故，∴．而，∴为平行四边形，故．又∵，∴．而，故，∴．而，∴．解法二：如图，作，交于．∵，，∴．又∵，，∴．而，故．∴，．又∵，∴．∴，∴，即．∴．解法三：如图，过作，垂足为．过作，垂足为．又∵，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．又∵，，而．∴，，故．解法四：如图，延长到，使，连接，过作交于，显然．∴，．又，公共，∴，，．显然为平行四边形，∴．由另证1可知，故．【练1】如图所示，在中，，于，的角平分线交与，交于，平行于交于．，，则______．【解析】角平分线、直角．过作垂直交于点，易证；由角度分析易知，即；则有；又可证，则，则．【答案】4【练2】如图，在△中，，平分交于，于交于，∥交于，连接．求证：【答案】先证△≌△，再证△≌△【练2】如图所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，连接，证明：是直角三角形．【答案】过做垂直于；由角的关系易得，即；易证；；，；综合得到，，得证．【练3】在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：．【答案】解法一(四点共圆+垂径定理)：如图．，4点共圆，．又，，，故．解法二（证菱形）：如图，连接是的平分线，，，，．，，，，，，四边形是菱形．．解法三（三线合一）：如图．，，公共，．，．是的中垂线，故．解法四（截长补短）：如图，延长交于，连接．，，，．显然，．又，4点共圆，为等腰梯形，为等腰三角形．，．而，．【拓展】如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：．【答案】解法一：如图，过作，交于，垂足为，连接．∵，，，，∴．∴是的中垂线．又∵，∴，∴是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），∴，，，∴．∴．解法二：如图，过作．∵，，∴．∵，，∴．而，∴，∴．∵，∴．∵，，∴，故．∴，，∴．

中考真题拔高中考真题拔高已知，是的平分线．将一种直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重叠.（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.（昌平一模）【答案（1）与的数量关系是相等过点作，，垂足分别为点．∵，易得．，而，．∵是的平分线，，又∵，．．（2），，，∵，．又∵，∽．．∵，．（3）如图1所示，若与射线相交，则；如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则．（1）如图1，为的角平分线，于，于，，请补全图形，并求与的面积的比值；（2）如图2，分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，与相交于点，判断与的数