第3课时 切线长定理

24.2.2直线和圆的位置关系

第3课时

切线长定理

R·九年级上册新课导入情景：如图，纸上有一个⊙O,PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？.OP.AB(1)知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.(2)会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.(3)能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.推进新课画一画：切线长定理知识点1

1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？2.这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出⊙O的切线PA..OP.AB

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线与切线长有什么区别与联系呢？切线长概念.OP.AB切线和切线长是两个不同的概念：1.切线是一条与圆相切的直线；2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点.切线和切线长比一比：.OP.AB如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，将⊙O沿着直线OP对折，图中的PA与PB，∠APO与∠

BPO有什么关系?思考折一折PA=PB∠APO=∠BPO发现：请证明你所发现的结论.证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点.∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.试用文字语言叙述你所发现的结论.PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

几何语言:

切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.

切线长定理探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形；△ABP△AOB（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.我们学过的切线，常有五个性质：1.切线和圆只有一个公共点；2.切线和圆心的距离等于圆的半径；3.切线垂直于过切点的半径；4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.六个如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢?思考三角形的内切圆知识点2．o外接圆圆心(外心)：三角形三边垂直平分线的交点.外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离.三角形外接圆三角形内切圆．o内切圆圆心(内心)：三角形三个内角平分线的交点.内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离.AABBCC如图,△ABC的内切圆⊙O与BC

、CA、AB

分别相交于点D

、E

、F

，且AB＝9，BC＝14,CA＝13,求AF、BD、CE的长.AECDBF.例2解：设AF=x,则AE=x,

CD=CE=AC-AE=13-x,

BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.因此，AF=4，BD=5，CE=9.随堂演练基础巩固1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为()A.3cm

B.4cm

C.5cm

D.9cmC2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=()A.172°B.130°C.133°D.100°C3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=

cm.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝

cm.34.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.解：由切线长定理可知PA=PB.∵PA是⊙O的切线.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.又∵PA＝PB,∴∠BAP=∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m，

并且XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少?解：设圆心为O，连接OW,OX.∵YW,YX均是⊙O的切线，∴OW⊥WY,OX⊥XY，又∵XY⊥WY,∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°，∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX.∴四边形OWYX是正方形.∴OW=WY=1.65m.即这个油桶底面半径是1.65m.6.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.(提示：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC)解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC.则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC综合应用7.如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm，求BC的长.

拓展延伸解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=90°.

1.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。练习【教材P100练习第1题】解：∵

点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∴∠OCB=∠ACB=×75°=37.5°

，∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5°ABCO解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则S△ABC=ar+ab+cr=(a+b+c)r=lr2.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的

面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)【教材P100练习第2题】课堂小结1.如图，PA,PB为⊙O切线，你能得到哪些信息？(1)PA=PB；(2)OA⊥PA,OB⊥PB；(3)OP平分∠AOB和∠APB；(4)